高三数学知识点大全.pdf

1、高 三 数 学 知 识 点 大全 第 - 2 - 页 共 130 页 引言 1.课程内容： 必修课程由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数） 、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、 数列、 不等式、解三角形、立体几何初步、 平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知识的发生、

2、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。 选修 33：球面上的几

3、何。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 41：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 第 - 3 - 页 共 130 页 选修 43：数列与差分。 选修 44：坐标系与参数方程。 选修 45：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑

4、:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、

5、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 第 - 4 - 页 共 130 页 高中数学 必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 1.1集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表

6、示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 第 - 5 - 页 共 130 页 （5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空 集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA （或 )AB A 中的任一元素都 属于 B

7、(1)AA (2)A (3)若BA 且BC，则AC (4)若BA 且BA，则AB ? A(B) 或 BA 真子集 A B （或 B A） BA ， 且 B 中至 少有一元素不属于 A （1）A （A 为非空子集） (2)若AB 且BC ，则AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都 属于 B，B 中的任 一元素都属于 A (1)AB (2)BA ? A(B) （7）已知集合A有(1)n n 个元素，则它有2n个子集，它有21 n 个真子集，它有21 n 个非空子集，它有22 n 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集 AB |,x

8、 xA且 xB （1）AAA （2）A 第 - 6 - 页 共 130 页 （3）ABA ABB 并集 AB |,x xA或 xB （1）AAA （2）AA （3）ABA ABB 补集 UA |,x xUxA且1 () U AA 2 () U AAU ()()() UUU ABAB ()()() UUU ABAB A 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 |(0)xa a |xaxa |(0)xa a |x xa 或xa |,|(0)axbc axbc c 把axb看成一个整体，化成|xa， |(0)xa a型不等式来求解 （2）一元二次

9、不等式的解法 判别式 2 4bac 0 0 0 二次函数 2 (0)yaxbxc a 的图象 O = O L O 一元二次方程 2 0(0)axbxca 的根 2 1,2 4 2 bbac x a （其中 12) xx 12 2 b xx a 无实根 第 - 7 - 页 共 130 页 2 0(0)axbxca 的解集 1 |x xx或 2 xx |x 2 b x a R 2 0(0)axbxca 的解集 12 |x xxx 1.2函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有 唯一确定的数(

10、 )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到 B的一个函数，记作:fAB 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设, a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的 实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间， 分 别 记 做 , )a b，( , a b； 满 足,xa xa xb xb的 实 数x的 集 合 分 别 记 做 ,),( ,),(, ,(, )aabb 注意

11、：对于集合 |x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ab， （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立） （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ( )f x是整式时，定义域是全体实数 ( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 ( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 第 - 8 - 页 共 130 页 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 tanyx中，() 2 xkkZ 零（负）指数幂的底数不能为零 若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域

12、一般是各基本初等函数的定义 域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数 ( )f g x的定义域 应由不等式( )ag xb解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小 （大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度 不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简

13、单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值 判别式法： 若函数( )yf x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 2 ( )( )( )0a y xb y xc y， 则 在( )0a y 时，由于, x y为实数，故必须有 2( ) 4 ( )( )0bya yc y ，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与

14、值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 第 - 9 - 页 共 130 页 函数的单调性法 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的 元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记 作:

15、fAB 给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元 素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 第 - 10 - 页 共 130 页 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2,当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 ) L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 L A C B A 第 - 27 - 页 共 130

16、 页 P L 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab

17、cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中 的一条上； 两条异面直线所成的角(0，)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 共面直线 =ac 2 第 - 28 - 页 共 130 页 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成

18、的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a来表示 aa=Aa 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b=a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内

19、的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 第 - 29 - 页 共 130 页 符号表示： a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a aab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： 第 - 30 - 页 共 130 页

20、 = aab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做 平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定

21、1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第 - 31 - 页 共 130 页 本章知识结构框图 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线

22、 l 向上方向之间所成的角叫 做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定= 0. 2、 倾斜角的取值范围：0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用

23、两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线与直线的位置关系 第 - 32 - 页 共 130 页 22 122221 PPxxyy 们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它

24、们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数， 那么它们互相垂直，即 3.2.1直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程：直线l经过点),( 000 yxP，且斜率为k)( 00 xxkyy 2、 、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为), 0(bbkxy 3.2.2直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),( 222211 yxPxxP其中),( 2121 yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为 A)0 ,(a，与y轴的交点为 B), 0(b，其中0, 0ba 3.2.3直线的一

25、般式方程 1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B 不同时为 0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220 xy xy 得 x=-2，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2） 3.3.2两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3点到直线的距离公式 第 - 33 - 页 共 130 页 1点到直线距离公式： 点),( 00 yxP到直线0:CByAxl的距离为： 22 00 BA CBy

26、Ax d 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 1 l和 2 l的一般式方程为 1 l：0 1 CByAx， 2 l0 2 CByAx，则 1 l与 2 l的距离为 22 21 BA CC d 第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程： 222 ()()xaybr 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 00 (,)M xy与圆 222 ()()xaybr的关系的判断方法： （1） 22 00 ()()xayb 2 r，点在圆外（2） 22 00 ()()xayb= 2 r，点在圆上 （3） 22 00 ()()xayb= 0 n,且nN)结论都成立。

27、 考点三 证明 1.反证法:2、分析法:3、综合法: 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1) 复数:形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)abi aR bR中,当0b ,就是实数;0b ,叫做虚数;当0,0ab时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实

28、数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 12 ,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则 （1） 12 ()()zzacbd i（2） 12 ()()zzacbdadbc i（3） 1 2 22 2 ()() (0) zacbdadbc i z zcd 2,几个重要的结论 (1) 2222 121212 |2(| )zzzzzz (2) 22 |zzzz(3)若z为虚数,则 22 | zz 第 - 88 - 页 共 130 页 3.运算律 (1) mnm n zzz ;(2)() mnmn zz;(3) 1212 ()( ,) nnn zzzz

29、m nR 4.关于虚数单位 i 的一些固定结论： （1） 2 1i （2） 3 ii （3） 4 1i （2） 234 0 nnnn iiii 数学选修 23 第一章 计数原理 知识点： 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1种不同的方法，在第二类办法中有 M2种不同的 方法，在第 N 类办法中有 MN种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+MN种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M2不同的方法， 做第 N 步有 MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2

30、.MN种不同的方法。 3、排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 4、排列数： ),( )!( ! ) 1() 1(Nmnnm mn n mnnnAm 5、组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 6、组合数： )!( ! ! ! ) 1() 1( mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n )!( ! ! ! ) 1() 1( mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n ; mn n m n CC m n

31、m n m n CCC 1 1 7、二项式定理：( )abC aC abC abC abC b n n n n n n n n rn rr n nn 011222 8、二项式通项公式二项展开式的通项公式：， TC abrn rn rnrr 1 01() 第二章 随机变量及其分布 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 、等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量

32、叫做离散型随机变量 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,. ,xi,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,）的概率 P(=xi）Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1+ p2+pn= 1 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为： 其中 06.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 回归分析 回归直线方程bxay 其中 x SS SP xx yyxx x n x yx n xy b 2 22 )( )( )( 1 1 ,xbya 高中数学选修 4-1 知识点总结 平行

33、线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 第 - 91 - 页 共 130 页 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数

34、） 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑 6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别 成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一

35、个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边。 定理： （1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角

36、边对应成比例，那么这两个直角三 角形相似。 相似三角形的性质： 第 - 92 - 页 共 130 页 （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论

37、1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1：圆的内接四边形的对角互补。 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切

38、线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 第 - 93 - 页 共 130 页 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 选修 4-4 数学知识点 一、选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求： 1

39、坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极 坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1 伸缩变换： 设点 ),(yxP 是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 ).0( , yy

40、0),(x,x : 的作用下， 点 ),(yxP 对应到点 ),(yxP ，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 第 - 94 - 页 共 130 页 3点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离 |OM 叫做点M的极径，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的 xOM 叫做点M的极角，记为。有序数对 ),( 叫做点M的极坐标，记为 ),(M . 极坐标 ),( 与 )Z)(2,

41、(kk 表示同一个点。极点O的坐标为 )R)(, 0( . 4.若 0 ,则 0 ,规定点 ),( 与点 ),( 关于极点对称，即 ),( 与 ),( 表示同一点。 如果规定 20 , 0 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ),( 表示；同时，极坐标 ),( 表 示的点也是唯一确定的。 5极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r ； 在极坐标系中，以 )0 ,(aC)0(a 为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 cos2a ； 在极坐标系中，以 ) 2 ,( aC )0(a 为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 sin2

42、a ； 7.在极坐标系中， )0( 表示以极点为起点的一条射线； )R( 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点 )0)(0 ,(aaA ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 acos . 8 参数方程的概念： 在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 yx, 都是某个变数t的函数 ),( ),( tgy tfx 并 且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点 ),(yxM 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参 )0(nt,sin ,cos, 222 x x y ay xyx 第 - 95 - 页 共 130 页 数方程，联系变数 yx, 的变数t叫做参变数，简称参数

43、。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9圆 222 )()(rbyax 的参数方程可表示为 )( .sin ,cos 为参数 rby rax . 椭圆 1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 的参数方程可表示为 )( .sin ,cos 为参数 by ax . 抛物线 pxy2 2 的参数方程可表示为 )( .2 ,2 2 为参数t pty pxx . 经过点 ),( ooO yxM ，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为 .sin ,cos o o tyy txx （t为参数）. 10在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方

44、程的互化中，必须使 yx, 的 取值范围保持一致. 高中数学选修 4-5 知识点 1、不等式的基本性质 （对称性）a bba （传递性） ,ab bcac （可加性）a bacbc （同向可加性） dbcadcba, （异向可减性） dbcadcba, （可积性） bcaccba0, bcaccba0, （同向正数可乘性） 0,0abcdacbd （异向正数可除性） 0,0 ab abcd cd （平方法则） 0(,1) nn ababnNn且 （开方法则） 0(,1) nn abab nNn且 第 - 96 - 页 共 130 页 （倒数法则） ba ba ba ba 11 0; 11 0

45、2、几个重要不等式 22 2abab abR， ,（当且仅当a b 时取“ “ 号）.变形公式： 22 . 2 ab ab （基本不等式） 2 ab ab abR， ,（当且仅当a b 时取到等号）. 变形公式： 2abab 2 . 2 ab ab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. （三个正数的算术几何平均不等式） 3 3 abc abc ()abcR 、 、 （当且仅当a bc 时取到等号）. 222 abcabbcca abR， （当且仅当a bc 时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc （当且仅当a bc 时取到等号）. 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时取等号） 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b 1 ， （其中 000)abmn， 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa 当时，或 22 .xaxaaxa 绝对值三角不等式 .ababab 第 - 97 - 页 共 130 页 3、几个著名不等式 平均不等式： 22 11 2 22 abab ab ab ， , a