向量的数量积向量积课件.ppt

1、一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW(其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积ab cos|baba ,Prcos|bjba因为,Prcos|ajab a

2、jbbabPr|所以.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba

3、 （3 3）若）若 为数为数：),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为解解ba)1(2)

4、4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()(垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面,指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积LFPQO 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac(其中其中 为为a与与b的

5、夹角的夹角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数：).()()(bababa )(,0 ba,0|a,0|b,0sin ,0 )(0sin .0sin|baba证证ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 kkjjii,jik ,ikj ,kij

6、 .jki ,ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000,0 yxaa补充补充xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0c

7、cc .5152 kj例例 4 4 在顶点为在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,1(C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD .5|BD例例 5 5 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4|m，2|n，3|p，计算，计算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm ,8124 0),(pnm pnm )(cos|pnm .2438 依依题题

8、意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba.cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混

9、合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面.0 cba 已知已知2 cba，计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba.4 例例6例例 7 7 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD,求四面体的体积求四面体的体积.解解由由立立体体几几何何知知，

10、四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条

11、件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 练练 习习 题题7 7、设、设kjia23 ，kjib 2,则则ba =_=_，ba =_=_ _,ba3)2(=_=_,ba2 =_=_，),cos(ba =_ _；8 8、设、设a=kji 32,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()(=_=_,_,)()(cbba _ _,_,cba )(=_=_

12、._.二二、已已 知知cba,为为 单单 位位 向向 量量，且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方向向为为Z轴轴负负方方向向）.练习题答案练习题答案一、一、1 1、30；2 2、3 3；3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积；4 4、以、以cba,为邻边的平行六面体的体积；为邻边的平行六面体的体积；5 5、零向量、零向量,垂直；垂直；6 6、零向量、零向量,平行；平行；7 7、3,3,2123,14210,18,75kjikji ；8 8、2,248kjkj .二、二、23.三、三、58805880 焦耳焦耳.四、四、2.六、六、141arccos),(,14 ass,141arccos),(bs,),(cs143arccos.七、七、25.