含参量正常积分课件.ppt
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- 参量 正常 积分 课件
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1、一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.1 含参量正常积分数学分析 第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、含参量正常积分的可积性五、例题(,)f x y,Ra bc d设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在,c d上以上以 y 为自变量的一元函数为自变量的一元函数.(,)f x y,c d在在上可积上可积,()(,)d,(1)dcxf x yyxa b 是定义在是定义在 ,a b上的函数上的
2、函数.二元函数二元函数.1 含参量正常积分定义连续性可微性含参量正常积分的定义例题可积性上的定值时上的定值时,函数函数 是是(,)f x y,a b当当 x取取倘若这时倘若这时 后退 前进 目录 退出则其积分值则其积分值(,)|()(),Gx yc xyd xaxb其中其中c(x),d(x)191 图图OyxbaG()yc x()yd x 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上的二元函数上的二元函数,一般地一般地,设设(,)f x y为定义在区域为定义在区域(),()c xd x 上可积上可积,()()()(,)d,(2)d xc xF xf x yy xa b是定义在是定义在 ,a
3、b上的函数上的函数.,a b若对于若对于上每一固定的上每一固定的 x 值值,(,)f x y作为作为 y 的函的函数在闭区间数在闭区间 则其积分值则其积分值 ,a b上的连上的连续函数续函数,为定义在为定义在()I x()F x用积分形式用积分形式(1)和和(2)所定义的这函数所定义的这函数 与与通称为定义在通称为定义在 ,a b上的含参量上的含参量 x 的的(正常正常)积分积分,或简称为含参量积分或简称为含参量积分.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性 定理19.1()()x 的的连连续续性性(,)f x y若二元函数
4、若二元函数在矩形区域在矩形区域,Ra bc d上连续上连续,()(,)ddcxf x yy 在在 a,b上连续上连续.则函数则函数由于由于(,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 R上连续上连续,1212|,|,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|.(4)f xyf xy()()(,)(,)d,(3)dcxxxf xx yf x yy于是于是1122(,)(,)xyxy与与,证证 设设 对充分小的对充分小的,xa b,xxxa b有有 (若若x 为区间的端点为区间的端点,则仅考虑则仅考虑 00 xx 或或),0,0,即对任意即对任意总存在总存在对对R 内任意两点内任意两点 1 含参量正
5、常积分定义连续性可微性例题可积性从而一致连续从而一致连续.只要只要|()()|xxx d().dcxdc即即 I(x)在在,a b 上连续上连续.同理可证同理可证:若若(,)f x y在矩形区域在矩形区域 R上连续上连续,量量 y的积分的积分()(,)d(5)bayf x yx 在在c,d 上连续上连续.所以由所以由(3),(4)可得可得,|,x 当当时时1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则含参则含参|(,)(,)|ddcf xx yf x yy 若若(,)f x y在矩形区域在矩形区域 R 上连续上连续,0,xa b都有都有 00lim(,)dlim(,)d.ddccxxxxf x
6、 yyf x yy这个结论表明这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数定义在矩形区域上的连续函数,其极其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,a bc dc d上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续 其其中中 为任意区间为任意区间.注注2 由于连续性是局部性质由于连续性是局部性质,定理定理19.1中条件中条件f 在在注注1 对于定理对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式的结论也可以写成如下的形式:1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则对任何则对任何 定理19.2(的连续性)()F x(,)f x y若二元函数若二元函数在区域在区域(,)|()(
7、),Gx yc xyd xaxb()()()(,)d(6)d xc xF xf x yy在在,a b上连续上连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性证证 对积分对积分(6)用换元积分法用换元积分法,()()().yc xt d xc x则函数则函数 其中其中c(x),d(x)为为 ,a b上的连续函数上的连续函数,上连续上连续,令令d()()d.yd xc xt所以从所以从(6)式可得式可得()()()(,)dd xc xF xf x yy10(,()()()()()d.f x c xt d xc xd xc xt由于被积函数由于被积函数(,()()()()()f x c xt d
8、xc xd xc x在矩形区域在矩形区域,0,1a b 上连续上连续,(6)所确定的函数所确定的函数 F(x)在在a,b连续连续.1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时,t 在在 0,1 上取值上取值,且且 由定理由定理19.1得积分得积分 含参量正常积分的可微性 定理19.3()()x 的的可可微微性性(,)f x y若函数若函数 与其偏导数与其偏导数(,)xfx y都在矩形区域都在矩形区域 ,Ra bc d 上连续上连续,则函数则函数 ()(,)ddcxf x yy 在在,a b上可微上可微,d(,)d(,)d.dddxccf x
9、 yyfx yyx且且1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,a b,xxa b 证证 对于对于 内任意一点内任意一点x,设设(若若 x为区为区间的端点间的端点,就讨论单侧导数就讨论单侧导数),()()(,)(,)d.dcxxxf xx yf x yyxx由拉格朗日中值定理及由拉格朗日中值定理及(,)xfx y在有界闭域在有界闭域 R上连续上连续(从而一致连续从而一致连续),就有就有(,)(,)(,)xf xx yf x yfx yx 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则则x 时时,只要只要 0,0,对对(,)(,),xxfxx yfx y(0,1).其其中中(,)ddxcfx
10、 yyx (,)(,)(,)ddxcf xx yf x yfx yyx ().dc ,xa b这就证明了对一切这就证明了对一切 有有1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因此因此d()(,)d.ddxcxfx yyx 定理19.4(的可微性)()F x,a bc(x),d(x)为定义在为定义在上其值含于上其值含于 p,q内的内的可微函数可微函数,()()()(,)dd xc xF xf x yy在在,a b上可微上可微,()()()(,)d(,()()d xxc xFxfx yyf x d x d x(,()().(7)f x c x c x1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,
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