反证法与放缩法课件.ppt

1、三反证法与放缩法【自主预习】【自主预习】1.1.反证法反证法(1)(1)方法方法:先假设先假设_,_,以此为出发点以此为出发点,结结合已知条件合已知条件,应用应用_等等,进行正进行正确的推理确的推理,得到和得到和_(_(或已证明的定理、性或已证明的定理、性要证的命题不成立要证的命题不成立公理、定义、定理、性质公理、定义、定理、性质命题的条件命题的条件质、明显成立的事实等质、明显成立的事实等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正以说明假设不正确确,从而证明从而证明_,我们把它称为反证法我们把它称为反证法.(2)(2)适用范围适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命对于那些直接证明比较困难的否

2、定性命题题,唯一性命题或含有唯一性命题或含有“至多至多”“至少至少”等字句的问等字句的问题题,常常用反证法证明常常用反证法证明.原命题成立原命题成立2.2.放缩法放缩法(1)(1)方法方法:证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分通过把不等式中的某些部分的值的值_或或_,_,简化不等式简化不等式,从而达到证明的目从而达到证明的目的的,我们把这种方法称为放缩法我们把这种方法称为放缩法.(2)(2)关键关键:放大放大(缩小缩小)要适当要适当.放大放大缩小缩小【即时小测】【即时小测】1.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作可把下列哪些作为条件使用

3、为条件使用()(1)(1)结论的反设结论的反设.(2).(2)已知条件已知条件.(3).(3)定义、公理、定理定义、公理、定理等等.(4).(4)原结论原结论.A.(1)(2)A.(1)(2)B.(2)(3)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)D.(1)(2)(4)【解析】【解析】选选C.C.根据反证法的定义可知根据反证法的定义可知,用反证法证明过用反证法证明过程中程中,可应用可应用(1)(1)结论的反设结论的反设.(2).(2)已知条件已知条件.(3).(3)定义、定义、公理、定理等推出矛盾公理、定理等推出矛盾.2.2.在在ABCABC中中,若若

4、AB=AC,PAB=AC,P是是ABCABC内的一点内的一点,APB,APB APC,APC,求证求证:BAPCAP:BAPCAP用反证法证明时的假设为用反证法证明时的假设为_._.【解析】【解析】反证法对结论的否定是全面否定反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAPBAPCAP.BAPCAP.答案答案:BAP=CAPBAP=CAP或或BAPCAP.BAPCAP.【知识探究】【知识探究】探究点探究点反证法与放缩法反证法与放缩法1.1.用反证法证明时用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能导出矛盾有哪几种可能?提示提示:与原命题的条件矛盾与原命题的条件矛盾;与假设矛盾与假设矛盾;与定义、公理、定理、

5、性质矛盾与定义、公理、定理、性质矛盾;与客观事实矛盾与客观事实矛盾.2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p p则则q q”时时,q,q假假,q,q即为真吗即为真吗?提示提示:是的是的.在证明数学问题时在证明数学问题时,要证明的结论要么正确要证明的结论要么正确,要么错误要么错误,二者中居其一二者中居其一,q,q是是q q的反面的反面,若若qq为假为假,则则q q必为真必为真.【归纳总结】【归纳总结】1.1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设设常见常见词语词语至少有至少有一个一个至多有至多有一个一个唯一唯一一个一个不不是是不可不可能

6、能全全都是都是否定否定假设假设一个也一个也没有没有有两个或有两个或两个以上两个以上没有或有没有或有两个或两个或两个以上两个以上是是有或有或存在存在不不全全不都不都是是2.2.放缩法证明不等式的理论依据放缩法证明不等式的理论依据(1)(1)不等式的传递性不等式的传递性.(2)(2)等量加不等量为不等量等量加不等量为不等量.(3)(3)同分子同分子(分母分母)异分母异分母(分子分子)的两个分式大小的比较的两个分式大小的比较.3.3.放缩法证明不等式常用的技巧放缩法证明不等式常用的技巧(1)(1)增项或减项增项或减项.(2)(2)在分式中增大或减小分子或分母在分式中增大或减小分子或分母.(3)(3)

7、应用重要不等式放缩应用重要不等式放缩,如如a a2 2+b+b2 22ab,2ab,(4)(4)利用函数的单调性等利用函数的单调性等.23abababcabab()abc(a,b,c0).223，类型一类型一利用反证法证明否定性命题利用反证法证明否定性命题【典例】【典例】设设0a2,0b2,0c2,0a2,0b2,0c1,(2-b)c1,(2-b)a1,(2-c)a1,(2-c)b1,b1,则则(2-a)(2-a)c c(2-b)(2-b)a a(2-c)(2-c)b1b1,因为因为0a2,0b2,0c2,0a2,0b2,0cb,ab,那么那么 ”时时,假设的内容是假设的内容是()33ab33

8、3333333333A.abB.abC.ababD.abab成立成立或成立且成立【解析】【解析】选选C.C.结论结论 的否定是的否定是 或或 成立成立.33ab33ab33ab2.2.已知三个正数已知三个正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列,但不成等差数列但不成等差数列.求证求证:不成等差数列不成等差数列.【证明】【证明】假设假设 成等差数列成等差数列,则则 即即a+c+=4b,a+c+=4b,又三个正数又三个正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列,所以所以b b2 2=ac,=ac,即即b=.b=.a,b,ca,b,cac2 b，2 acac所以所以a+c+2 =4 ,a+c+

9、2 =4 ,即即a+c-2 =0,a+c-2 =0,所以所以()()2 2=0,=0,所以所以 ,即即a=c.a=c.从而从而a=b=c,a=b=c,这与已知中这与已知中a,b,ca,b,c不成等差数列矛盾不成等差数列矛盾,所以原假设错误所以原假设错误,故故 不成等差数列不成等差数列.acacaca ca=ca,b,c类型二类型二利用反证法证明利用反证法证明“至少至少”“至多至多”型问题型问题【典例】【典例】已知已知f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q,求证求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|

10、,|f(3)|(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于 .12【解题探究】【解题探究】典例典例(2)(2)中待证结论的反设是什么中待证结论的反设是什么?提示提示:反设是反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 .12【证明】【证明】(1)(1)由于由于f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q,所以所以f(1)+f(3)-2f(2)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)(

11、2)假设假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 ,则有则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,(|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,a+b2,而而a a2 2-ab+b-ab+b2 2=但取等号的条件为但取等号的条件为a=b=0,a=b=0,显然不可能显然不可能,所以所以a a2 2-ab+b-ab+b2 20.0.则则a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)2(a)2(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),2213(ab)b024，而而a a3 3+b+b3 3

12、=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.a1+aba2 2+b+b2 22ab.2ab.从而从而ab1.ab1.所以所以a a2 2+b+b2 21+ab2.1+ab2.所以所以(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab2+2ab4.+2ab2+2ab2,a+b2,得得(a+b)(a+b)2 24,4,出现矛盾出现矛盾,故假设不成立故假设不成立,原结论成立原结论成立,即即a+b2.a+b2.2.2.将典例中的条件改为将典例中的条件改为“设二次函数设二次函数f(x)=xf(x)=x2 2+px+1+px+1”,求求证证:|f(1)|,|f(-1)|:|f(1

13、)|,|f(-1)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于2.2.【证明】【证明】假设假设|f(1)|,|f(-1)|f(1)|,|f(-1)|都小于都小于2,2,则有则有|f(1)|+|f(-1)|4,(|f(1)|+|f(-1)|0,a+b+c0,这与这与a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾.故故a,b,ca,b,c中至少有一个大于零中至少有一个大于零.222(x2y)(y2z)(z2x)236类型三类型三利用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式【典例】【典例】求证求证:(nN(nN+且且n2).n2).【解题探究】【解题探究】典例中如何将典例中如何将 中的分母适中的分母适当放大或缩小转化为求和

14、的形式当放大或缩小转化为求和的形式?提示提示:(nN (nN+且且n2).n2).2231111122n12nn221112n2111n n1nn n1【证明】【证明】因为因为k(k+1)kk(k+1)k2 2k(k-1),k(k-1),所以所以 即即 (kN (kN+且且k2).k2).分别令分别令k=2,3,nk=2,3,n得得2111,k k1kk k1211111kk1kk1k221111 111111,2322 34323 将这些不等式相加得将这些不等式相加得211111,nn1nn1n所以所以 即即(nN(nN+且且n2)n2)成立成立.222111111111 1,2n123nn

15、 222311111122n123nn【方法技巧】【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式的技巧放缩法就是将不等式的一边放大或缩小放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个寻找一个中间量中间量,如将如将A A放大成放大成C,C,即即AC,AC,后证后证CB.CB.常用的放缩技常用的放缩技巧有巧有:(1)(1)舍掉舍掉(加进加进)一些项一些项.(2)(2)在分式中放大在分式中放大(缩小缩小)分子分子(分母分母).).(3)(3)应用基本不等式进行放缩应用基本不等式进行放缩.【变式训练】【变式训练】已知已知S=S=(n(n是大于是大于2 2的自然数的自然数),),则有则有()A.S1A

16、.S1B.2S3B.2S3C.1S2C.1S2D.3S4D.3S1.S=1.n23n 1111111112111 2 31 2 3n222212 k 111111,得S1 2 3k1 2 22211 2 n 112.22 21111 21 2 3n 【补偿训练】【补偿训练】已知已知a an n=4=4n n-2-2n n,T,Tn n=求证求证:T:T1 1+T+T2 2+T+T3 3+T+Tn n n12n2aaa，3.2【证明】【证明】因为因为a a1 1+a+a2 2+a+an n=4=41 1+4+42 2+4+43 3+4+4n n-(2(21 1+2+22 2+2+2n n)=(4

17、)=(4n n-1)+2(1-2-1)+2(1-2n n),),所以所以T Tn n=nn4 1 42 1 241 41 23（）（）nnnn 1n 1nnn 1n 122244442412 1 222233333（）（）nnnn 1n 1n 2nnn3 2323243 222 223 212(2 21)21（）（）nn 1311.2 2121（）从而从而T T1 1+T+T2 2+T+T3 3+T+Tn n=nn 131111131.233721212（）自我纠错自我纠错用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式【典例】【典例】设设n n为大于为大于1 1的自然数的自然数,求证求证11111.n1n2n32n2【失误案例】【失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确正确解答过程如下解答过程如下:【证明】【证明】1111n1n2n32n1111n1.2n2n2n2n2n2