单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件.ppt

1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，sinsin，coscos，tantan分别叫作角分别叫作角的正弦、余弦和正切，的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？它们的值分别等于什么？B Csi n=A BA Ccos=A BB Ctan=A CA AB BC C 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，以适应任意角的需的值进行推广，以适应任意角的需要要.如何定义任意角的三角函数呢如何定义任意角的三角函数呢?1.1.正确

2、理解三角函数是以实数为自变量的函数正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.（重点）（重点）2.2.理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符号号.（重点）（重点）3.3.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义数的定义.(难点难点)思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角单位圆，对于任意角 ，使角，使角 的顶点与原点重的顶点与原点重合，始边与合，始边与x x轴非负半轴重合，终边与单位圆交轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点于唯一的点P P(u u,v

3、v),),正弦函数、余弦函数又该如正弦函数、余弦函数又该如何表示呢？何表示呢？探究点探究点1 1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，点如图所示，点P P的纵坐标的纵坐标v v叫作叫作的正弦函数，的正弦函数，记作记作v v=sin=sin，点点P P的横坐标的横坐标u u叫作叫作的余弦函数，的余弦函数，记作记作u u=cos=cos.(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mxyyyy小结：小结：1.1.对于给定的角对于给定的角，点，

4、点P P的纵坐标的纵坐标v,横坐标横坐标u都是唯一确定的，所以都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是正弦函数、余弦函数都是以角以角为自变量，以单位圆的点的坐标为函数值的为自变量，以单位圆的点的坐标为函数值的函数函数.(1,0)(1,0)OP P(x,(x,y)yMxPMyOMxsin=y cos=x.OP1OP1 ，3.3.如图，在给定的单位圆中，对于任意角如图，在给定的单位圆中，对于任意角可以是正角、可以是正角、负角或是零角，所以正弦函数负角或是零角，所以正弦函数v v=sin=sin，余弦函数，余弦函数u u=cos=cos的定义域为全体实数的定义域为全体实数(1,0)(1,0)OP

5、P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mx(1,0)(1,0)OP P(u,v)Mxyyyy思考：思考：由三角函数的定义，如何求任意角由三角函数的定义，如何求任意角的正弦、的正弦、余弦值？余弦值？提示：提示：求任意角求任意角的正弦、余弦值分两步，第一步的正弦、余弦值分两步，第一步求出角求出角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P P，第二步写出点，第二步写出点P P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.探究点探究点2 2 三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号思考思考1 1

6、角角的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有关？关？提示：提示：与角与角终边所在的象限有关终边所在的象限有关.思考思考2 2 如何判断角如何判断角的正弦、余弦、正切值的正负？的正弦、余弦、正切值的正负？提示：提示：角角的正弦、余弦、正切值的正负只与点的正弦、余弦、正切值的正负只与点P(u,v)P(u,v)的坐标的坐标u,vu,v的正负有关，所以可通过的正负有关，所以可通过u,vu,v的正的正负来判断角负来判断角的正弦、余弦、正切值的正负的正弦、余弦、正切值的正负.根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号的符号

7、.OxyOxysiny cosx sincos+_+_口诀：口诀：全正，全正，正弦，正弦，全负，全负，余弦余弦提升总结：提升总结：正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号 象限象限 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 图示图示 正弦函正弦函数符号数符号 余弦函余弦函数符号数符号 +-+-(1,0)(1,0)OMxyQ QP PN N解：解：（1 1）如图，以原点为角的顶）如图，以原点为角的顶点，以点，以 x x轴非负半轴为始边，顺时轴非负半轴为始边，顺时针旋转针旋转 ，与单位圆交于点，与单位圆交于点P P，即为所求作的角，即为

8、所求作的角.例例2 2 在直角坐标系的单位圆中，在直角坐标系的单位圆中，(1)(1)画出角画出角.(2)(2)求出角求出角的终边与单位圆的交点坐标的终边与单位圆的交点坐标.4 4MOP ,4 Oy yM Mx x1 1P P-422.422 ，点点标为（，）(2)由于P在第四象限，所以P坐例例3 3 已知角已知角 终边上一点终边上一点P P 求角求角 的正弦的正弦函数值、余弦函数值函数值、余弦函数值.解解:因为点因为点P P 在角在角 的终边上，的终边上，所以所以 可知可知则则sin =cos =sin =cos =3(,2),23(,2)23 3x=-,y=2,x=-,y=2,2 22222

9、3535r=OP=(-)+2=.r=OP=(-)+2=.2222y24,5r523x32.5r52 120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212-1 1 在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表函数值填入下表观察此表格中的数据观察此表格中的数据,你能发现函数你能发现函数y=sinx和和y=cosx的变化有什么特点吗？的变化有什么特点吗？总结：总结：用用x

10、 x表示自变量，即表示自变量，即x x表示角的大小，表示角的大小，用用y y表示函数值，于是任意角三角函数可以表示函数值，于是任意角三角函数可以表示为表示为 它们的定义域为它们的定义域为全体实数全体实数.ysinx,ycosx.1.1.已知角的终边经过已知角的终边经过 ，求的正弦函数，求的正弦函数值、余弦函数值值、余弦函数值P23，解：解：y33 13sin,r1313x22 13cos.r1313 所以22x2,y3,r(2)(3)13,因为所以x xy yO OP P2.2.确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号:13(1)cos250(2)sin(4.）.解解:,13133333si n(-)=si n(-4si n(-)=si n(-4+)=si n+)=si n444444313,sin()0.44所以而而是是第第二二象象限限角角（1 1）因为）因为250250是第三象限角是第三象限角,所以所以cos250cos2500.0.（2 2）因为）因为1.1.理解正弦函数、余弦函数的定义理解正弦函数、余弦函数的定义.2.2.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为道它的最小正周期为 2 2.回顾本节课的收获回顾本节课的收获一个人即使已登上顶峰，也需要自强不息.罗素贝壳