微积分第2章极限与连续课件.ppt

1、第二章 极限与连续1第二章第二章 极限与连续极限与连续 2.1 数列的极限数列的极限 2.2 函数的极限函数的极限 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2.4 连续函数连续函数第二章 极限与连续2一、问题的提出一、问题的提出二、数列极限的定义二、数列极限的定义三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质五、数列收敛的准则五、数列收敛的准则2.1 数列的极限数列的极限第二章 极限与连续3一、问题的提出一、问题的提出按自然数按自然数顺序顺序排列的一列数排列的一列数 y1,y2,yn,称为一个称为一个无穷数列无穷数列，简称，简称数列数列，记作，记作yn；

2、yn 称为数列的称为数列的通项通项.1.数列对应于数轴上的点列数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值一动点在数轴上依次取值).2.数列可视作整标函数：数列可视作整标函数：f:nyn.1)2,4,8,2,n1 1 112),2 4 82n13)1,1,1,(1),n 2 n12n1(1)n 第二章 极限与连续4庄子言庄子言“一尺之棰，日取其半，万世不竭也一尺之棰，日取其半，万世不竭也”观察观察 当当n不断增大时的变化趋势不断增大时的变化趋势;12nny 观察观察 当当n不断增大时的变化趋势不断增大时的变化趋势1(1)1nnyn 2 NN第二章 极限与连续5能否用数学语言刻画能否用数学语言

3、刻画“当当n无限增大无限增大,yn无限接近无限接近A”?1(1)1,1nnyAn 以以 为例，为例，用用(0)刻画刻画 yn 与与 1 的接近程度，则的接近程度，则110.1,nyn 对于对于 只要只要 有有0.1,10,n 对于对于 只要只要 有有0.01,110.01,nyn 100,n 对于对于 只要只要 有有0.001,110.001,nyn 1000,n+0,N,s.t.,.有有nNnNyA 第二章 极限与连续6二、数列极限的定义二、数列极限的定义1.刻画刻画yn与与A的接近程度，的接近程度，N刻画刻画 n 充分大的程度；充分大的程度；具有任意性，具有任意性，N的存在常依赖于的存在常

4、依赖于.对于数列对于数列yn,若存在数若存在数 A 使得使得则称则称yn当当n收敛于收敛于A 或或 以以A为极限为极限，+0,N,s.t.,.有有nNnNyA 若若yn不收敛不收敛(无极限无极限)，则称其，则称其发散发散.lim.()或或nnnyAyA n 记作记作2.考察数列极限，只关心考察数列极限，只关心 n 充分大时数列的趋势充分大时数列的趋势.了解了解第二章 极限与连续72).1,0lim qqnn其中其中证明证明1).lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设1.用定义证明：用定义证明：0,设设 从从 解出解出 n 的范围；的范围；nyA 2.用定义只能验证极限，不能求极

5、限用定义只能验证极限，不能求极限.4)21lim2.nnn 证明证明3)1lim0(0).anan 证明证明按数列极限定义证明：按数列极限定义证明：第二章 极限与连续8三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则(课本课本p.662.5)lim()lim);l(1imnnnnnnnxyxyAB lim()(lim)(lim(2);)nnnnnnnAxyyBxlim,lim,nnnnxAyB设设则则lim()limnnnnCxCxCA lim()(lim)mmmnnnnxxA特别地，特别地，limliml(0i3)m,其中。其中。nnnnnnnxABBxyy 证明证明会应用会应用第二章 极限与连

6、续9设函数设函数 ，求极限，求极限()(0,1)xf xaaa21limln(1)(2)()nfff nn(考研题考研题)(上下同除以上下同除以n3)233213)lim,35nnnnn 1115)lim.242nn 求极限：求极限：2)lim(1),1nnnaaa 2121)lim,nnn 极限四则运算只适用于极限四则运算只适用于有限项运算，且各项极限存在有限项运算，且各项极限存在!1011014)lim,mmmkknka na nab nb nb ()mk(先求括号内各项之和先求括号内各项之和)第二章 极限与连续10收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有

7、一个极限.四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质(课本课本p.60-62 2.2,2.3)如果如果,limaxnn 且且0 a),0(a,0 N则则,Nn 当当0 nx有有(0)nx 。了解了解设设lim,lim,nnnnxayb0,N且且,nnxy nN 使得使得 时，时，则则 。ab 第二章 极限与连续11五、数列收敛的准则五、数列收敛的准则(课本课本p.712.6)夹逼准则夹逼准则(1)(1,2,3),nnnyxzn,lim)2(aynn ,limaznn lim.nnxa 若数列若数列 xn,yn,zn 满足：满足：则数列则数列xn收敛，且收敛，且(可放宽至可放宽至“nN”)222111

8、2)lim().(1)(2)nnnn 求下列极限：求下列极限：2221111)lim(),12nnnnn会应用会应用第二章 极限与连续12单调有界准则单调有界准则 单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛.2)*证明数列证明数列11nnxn收敛收敛.（课本（课本p.75-76）ennn )11(lim)045459828281718.2(e1.单调、有界，两条件缺一不可；单调、有界，两条件缺一不可；2.反过来，反过来，收敛数列必有界，但未必单调收敛数列必有界，但未必单调!1)*设设112,2,Nnnxxxn ,证明证明xn收敛并求极限收敛并求极限.了解了解第二章 极限与连续132.2 函数的极限函

9、数的极限一、一、x 型的函数极限型的函数极限二、二、xx0 型的函数极限型的函数极限三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则四、函数收敛的性质与准则四、函数收敛的性质与准则五、两个重要的函数极限五、两个重要的函数极限对于对于U(+)上的函数上的函数 f(x),若存在数若存在数 A 使得使得则称则称f(x)当当x+时收敛于时收敛于A 或或 以以A为极限为极限，0,0,s.t.,().有有MxMf xA 1)证明证明1lim0,xx 1,0yxx 第二章 极限与连续14一、一、x 型的函数极限型的函数极限lim()()().或或xf xAf xAx 记作记作了解了解0A 2M1.数列极限是其特

10、殊情形数列极限是其特殊情形.1lim0.2xx 2.观察函数图象特征可以确观察函数图象特征可以确定某些极限定某些极限.如如第二章 极限与连续15类似可定义类似可定义:0,0,sli.t.,()m().有有xMxMf xfAAx 0,0,slim.t.,().()有有xMxMfAf xAx .)(lim)(limAxfAxfxx 且且lim()xf xA lim 20,xx 2)1lim0.xx 记住结论记住结论了解了解第二章 极限与连续16)(xfy 二、二、xx0 型的函数极限型的函数极限对于对于Uo(x0)上的函数上的函数 f(x),若存在数若存在数 A 使得使得则称则称f(x)当当xx0

11、时收敛于时收敛于A 或或 以以A为极限为极限，00,0,s.t.(,),().有有oxUxf xA 00lim()()().或或xxf xAf xAxx 记作记作AAA0 x0 x0 xxyo 与与f(x0)无关！无关！0lim()xxf x1).lim00 xxxx 证明证明2)证明证明2lim(32)4.xx 了解了解第二章 极限与连续17类似可定义类似可定义:xx0的左、右极限的左、右极限000,0,s.t.(,li),()(.m)有有xxoxUfAfxxAx 000,0,s.t.(,li),()(.m)有有xxoxUfAfxxAx 000lim()lim()lim().xxxxxxf

12、xAf xf xA讨论下列函数当讨论下列函数当x0时有无极限：时有无极限：1)();xf xx 1,022)().1,02xf xxx 记住结论记住结论了解了解lim(),lim(),xXxXf xAg xB(1)lim()()lim()lim();xXxXxXf xg xf xg xAB 设设则则第二章 极限与连续18三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则（xX:任意一类函数极限）任意一类函数极限）(2)lim()()lim()lim();xXxXxXf xg xf xg xA B lim()()(3)lim,0.()lim()xXxXxXf xf xABg xg xB其其中中会应用会

13、应用lim()lim()nnxXxXf xf x lim()lim(),xXxXCf xCf x 特别地，特别地，第二章 极限与连续多项式函数求单点极多项式函数求单点极限限,只需计算函数值；只需计算函数值；有理分式函数有理分式函数(分母极限不为分母极限不为0)求单点极限求单点极限,只需计算函数值；只需计算函数值；有理分式函数有理分式函数(分母分母0)求单点极限求单点极限,约分去零因子约分去零因子有理分式函数求有理分式函数求极限，必要时除以最大方幂极限，必要时除以最大方幂计算下列极限计算下列极限:21lim(321)xxx 22252)lim31xxxx 3244214)lim,31xxxx 2

14、333)lim9xxx 101101lim()nnnmmxma xa xanmb xb xb 2121)lim,lim(52),xxxx 0115)limxxx 19有理化去零因子有理化去零因子第二章 极限与连续20略略四、函数收敛的性质与准则四、函数收敛的性质与准则.),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若0lim(),xxf xA 若若则则000,()(,).f xUx 在在上上有有界界(以以 xx0 型函数极

15、限为例型函数极限为例)了解了解第二章 极限与连续21夹逼准则夹逼准则(1)()()()(R),g xf xh xx lim().xXf xa 若函数若函数 f(x),g(x),h(x)满足：满足：则则(2)lim(),lim(),xXxXg xah xa(可放宽至可放宽至“xU(X)”)0limsin0.xx 证明：证明：0sin xx 会应用会应用设设lim()xXg xA lim(),uAf uB 则则lim()lim().xXuAf g xf uB，且且()g xA 令令u=g(x)会应用会应用令令 u=1/x:311)limxx令令 u=x2202)limsinxx1 31lim.3u

16、u0limsin0.uu 第二章 极限与连续23五、两个重要的函数极限五、两个重要的函数极限1.0sinlim1xxx(0,),sintan2xxxx 有有，11sincosxxx，同除以同除以 sin x 得得sincos1xxx，即即00lim coslim 11,xxx 而而由夹逼准则知由夹逼准则知0sinlim1.xxx 先证先证0sinlim1.xxx 令令 u=-x，则，则000sinsi()sinlimlimm1nli.xuuuuxuux 0sinlim1.xxx(如图如图)BDABAC xOABDC0sinlim1.记结论记结论,会用会用第二章 极限与连续24求下列极限：求下列

17、极限：xxxtanlim0 xxxxcossinlim0 1 20cos1limxxx xxx3sinlim3303330sinlim31 xxx31 2202sin2limxxx 21 2022sinlim21 xxx1)2)3)利用利用 求极限求极限:step 1.找找 sin，step 2.凑凑 sin/.0sinlimxxx第二章 极限与连续252.1lim 1xxex1lim(1)e 11111111nxnnxn 设设 n x n+1,则则1lim 1xxex 再由变量替换法则，可证得再由变量替换法则，可证得1lim 1.xxex 根据夹逼准则，有根据夹逼准则，有记结论记结论,会用会

18、用第二章 极限与连续263)xxxx 21lim2)xxx20sin1lim 利用利用 求极限求极限:step 1.判断是否判断是否(1+0)型型极限极限,step 2.凑凑(1+1/).1lim 1xxx 求下列极限：求下列极限：1)1lim 12xxx 32233lim12xxxxx 3lim2xxxe 2sin1sin0lim1sinxxxxx02sinlimxxxe e 3e 2e 1221lim12xxx2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小量的阶三、无穷小量的阶四、无穷小量等价代换四、无穷小量等价代换一、无穷小量一、无

19、穷小量若若 ，则称，则称 f(x)为当为当xX 时的时的无穷小量无穷小量.lim()0 xXf x 1.无穷小量与其极限过程有关；无穷小量与其极限过程有关；2.无穷小量是函数，不同于很小的数；无穷小量是函数，不同于很小的数；4.3.为为x xX 时的无穷小量；时的无穷小量；lim()(),xXf xAf xA x2,sinx,0 是是 x0 时的无穷小量；时的无穷小量；若若 f(x)在在 X 某邻域内有界，则称某邻域内有界，则称 f(x)为为xX 时的时的有界量有界量.cos x,sin x/x 是是 x0 时的有界量时的有界量.000,0,s.t.(,)li,().m()有有xxoExf x

20、U xf xE 二、无穷大量二、无穷大量 若若 ，则称，则称 f(x)为当为当x时的时的无穷大量无穷大量.lim()xXf x 1.无穷大量与其极限过程有关；无穷大量与其极限过程有关；2.无穷大量是函数，不同于很大的数；无穷大量是函数，不同于很大的数；4.1/x 是是 x0 时无穷大量；时无穷大量；tan x 是是 x/2 时无穷大量时无穷大量.3.无穷大量是函数发散的一种情况；无穷大量是函数发散的一种情况；0,0,s.t.,(lim().有有xfMxxEMf xE 了解了解225l m,43)ixxx 324)li21,87mxxxx 01sin,1)limxxx202)limarct n.

21、1axxx101101lim()nnnmmxma xa xanmb xb xb sliimn,xxx利用无穷小量、无穷大量的性质计算下列极限：利用无穷小量、无穷大量的性质计算下列极限：0 0 若若则称则称 f 是比是比 g 高阶高阶的无穷小量，的无穷小量，()()()f xo g xxXlim()0,lim()0,xXxXf xg x设设且且()0g x ()lim0,()xXf xg x()()()f xO g xxX若若则称则称 f 与与 g 同阶同阶的无穷小量，的无穷小量，()lim(0),()xXf xC Cg x 记作记作三、无穷小量的阶三、无穷小量的阶特别地若特别地若 C=1，则称

22、，则称 f 与与 g 是是等价等价的无穷小量，的无穷小量，()()()f xg xxX记作记作记作记作 比较比较 x0 时下列各时下列各无穷小量的阶：无穷小量的阶：1)sin x 与与 x,tan x 与与 x；2)与与 x；4)1-cos x 与与 x2/2；11x3)与与 x (x0+)；sinxx arcsin x arctan x ln(1+x)e x-1 sin x tan x 1-cos x ；(1)1(0)aaxxa等价等价同阶同阶等价等价(sin)(0)xoxxx 要记要记四、无穷小量等价代换四、无穷小量等价代换 1.极限式的分子极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积分母如果为

23、若干因子的乘积,则对任意则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换,不改变极限值不改变极限值1)若若 存在，则存在，则lim)()(xXf xh xA 定理定理设设 f(x),g(x)是是 xX 时的等价无穷小量，时的等价无穷小量，()lim()xXh xAf x 2)若若 存在，则存在，则()lim();xXh xAg x ()lim.()xXh xAg x 2.等价无穷小量代换等价无穷小量代换 应用于加减运算应用于加减运算 有有 条件限制条件限制.用等价无穷小量代换完成下列各题：用等价无穷小量代换完成下列各题：.cos12tanlim20 xxx 求求

24、.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求.1.8.2sinsintanlim30 xxxx 求求.161 1)4)2)3)求求20tanln(1)lim.sinxxxx.1(注意注意:分子不可换为分子不可换为x-x)2.4 连续函数连续函数一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则四、利用函数连续性求函数极限四、利用函数连续性求函数极限五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质一、连续函数的概念一、连续函数的概念设函数设函数 f 在某在某U(x0)内有定义内有定义.则称则称 f 在点在点 x0 连续连续.

25、00lim()(),xxf xf x 若若2.连续意味着连续意味着“”.1.连续的连续的.x 在在 R R 上处处连续上处处连续;在在 x=0连续连续1sin,0()0,0 xxxf xx 其中其中x=x-x0与与y=f(x)-f(x0)为自变量为自变量/函数的函数的增量增量.f 在在 x0 连续连续0lim0.xy 3.：00lim()(lim).xxxxf xfx 设函数设函数 f 在某在某U(x0)内有定义内有定义.则称则称 f 在点在点 x0 右右 连续连续.00lim()()xxf xf x 若若(U-(x0)00lim()()xxf xf x （）(左左)f 在点在点x0 连续连续

26、 f 在点在点 x0 左连续且右连续左连续且右连续.讨论函数讨论函数 在点在点 x=0 的连续性的连续性.2,0,()2,0 xxf xxx 若称若称 f 在在 a,b)上连续，则端点上连续，则端点 a 处实际只要求右连续，处实际只要求右连续，若若 f 在在 I 上的每一点都连续上的每一点都连续,则称则称 f 为为 I 上的上的连续函数连续函数.对于区间对于区间 a,b 或或(a,b,情况类似情况类似.y=sin x 在在 R 上连续上连续.在在 0,+)上连续；上连续；yx 二、函数的间断点二、函数的间断点设函数设函数 f 在某在某Uo(x0)内有定义内有定义.则称点则称点 x0 为为 f

27、的的间断点间断点或或不连续点不连续点.若若 f 在点在点 x0 不连续，不连续，00lim()()xxf xf x 可去型可去型跳跃型跳跃型xyO0 x0 xxyO无穷型无穷型振荡型振荡型xyOxyO0 x第一类第一类(左右极左右极限均存在限均存在)第二类第二类(其他情况其他情况)会分类会分类求下列函数的间断点，并判断其类型：求下列函数的间断点，并判断其类型：221,10().4,122xxxf xxxxx 且且且且三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则若函数若函数 f 和和 g 在点在点x0连续，则连续，则 fg，fg，f/g(对除法要求对除法要求g(x0)0)也都在也都在x0连续连续

28、.若若 y=f(u),u=g(x)都连续都连续,则则 y=fg(x)亦连续亦连续.一切基本初等函数都是其一切基本初等函数都是其定义域定义域上的连续函数上的连续函数.任何初等函数都是其任何初等函数都是其定义区间定义区间上的连续函数上的连续函数.强调强调“区间区间”旨在排除定义域中可能有的孤立点，旨在排除定义域中可能有的孤立点，例如，例如，是初等函数，但在其定义域为单点是初等函数，但在其定义域为单点 0.xx了解了解四、利用函数连续性求函数极限四、利用函数连续性求函数极限求下列极限：求下列极限：0ln(1)3)limxxx 24)lim arccos()xxxx222)lim sin(4)lg(8

29、)xxx0ln(1)1)limcosxxx 10limln(1)xxx00lim()().xxf xf x 若若 f 在在 x0 连续连续,则则 复合函数求极限，复合函数求极限，外层极限符号可依次与外层极限符号可依次与连续函数则交换次序连续函数则交换次序.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有最大、最小值上有最大、最小值.若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有界上有界.最小值之间的任何实数，则至少存在一点最小值之间的任何实数，则至少存在一点 x0(a,b)，使得，使得f(x0)=.若若 f 在在a,b上

30、连续，若上连续，若 是介于是介于f 在在a,b上最大、上最大、xyObaMmy=f(x)了解了解证明方程证明方程 x3-4x2+1=0 在在(0,1)内至少有一个根内至少有一个根.若若 f 在在a,b上连续，上连续，且且f(a),f(b)异号，则至少存在异号，则至少存在f(x0)=0.一点一点 x0(a,b),使得使得1.图像观察图像观察2.按定义验证按定义验证3.四则运算（拆分后各部分极限应存在）四则运算（拆分后各部分极限应存在）4.夹逼准则夹逼准则 5.两个重要极限及其应用两个重要极限及其应用6.无穷小、无穷大的性质无穷小、无穷大的性质 7.无穷小等价代换无穷小等价代换8.f 在连续点在连续点 x0 处的极限为处的极限为 f(x0)9.多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位 10.变量替换变量替换1.幂指函数幂指函数 2.分段函数（求单侧极限）分段函数（求单侧极限）3.有理函数有理函数1)单点极限，能代入单点的直接求单点函数值单点极限，能代入单点的直接求单点函数值2)型极限，分子分母同除以最大方幂型极限，分子分母同除以最大方幂0/0型、型、/型、型、型函数极限型函数极限