微积分学基本定理课件.ppt

1、5.2.2 5.2.2 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 如果物体以速度如果物体以速度)(tvv)0)(tv作直线运动，作直线运动，那么物体从时刻那么物体从时刻at 到时刻到时刻bt 所经过的路程为：所经过的路程为：,)(badttvAB另另一一方方面面，如如果果物物体体经经过过的的路路程程)(tSS，那那么么 物物体体从从时时刻刻at 到到时时刻刻bt 所所经经过过的的路路程程为为 ).()(aSbSAB 即即：)()()(aSbSdttvba ，其其中中)()(tvtS 。简简记记为为 badxxf )(babaxFxF)()(。证证：任任取取 ,ba的的一一组组分分点点 bxxxxxxx

2、annii 1121则则)()()()(11 iinixFxFaFbF，定理定理 设设)(xf在在 ,ba上可积，且存在上可积，且存在 ,ba上一个上一个 可微函数可微函数)(xF，使得，使得)()(xfxF ，则，则 (牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 由由Lagrange中中值值定定理理可可知知，),(1iiixx ，使使得得 ,)()()()(1iiiiiixfxFxFxF niiiniiixfxFaFbF11)()()()(从而从而,max 1inix 令令 )(xf在在 ,ba上上可可积积，)()()(lim)(10aFbFxfdxxfniiiba 。

3、定义定义 设设)(xf是定义在区间是定义在区间上的上的 I函数，函数，Ix 若若，存在函数存在函数)(xF，使，使)()(xfxF （或（或dxxfxdF)()(），），则称则称)()(xfxF为为上上在在 I的一个的一个原函数原函数。.)()()()(,)()(,)(babaxFaFbFdxxfxfxFbaxf 则则的一个原函数的一个原函数是是上可积上可积在在设设 牛牛顿顿莱莱布布尼尼兹兹公公式式 揭揭示示了了定定积积分分与与原原函函数数之之间间的的内内 在在联联系系，它它把把定定积积分分的的计计算算问问题题转转化化为为求求原原函函数数的的问问题题，从从而而给给定定积积分分的的计计算算提提供

4、供了了一一个个简简便便而而有有效效的的方方法法。例例 1 1计算计算 2 202sindxx 解：解：2000222sin21)cos1(212sin xxdxxdxx 214)00()12(21 。的的A面面积积。解解：2 0 sin dxxA 20sinsinxdxxdx 2coscos0 xx.4)11()11(xyo 2解解：3 1 1 0 3 1 1 0 3 0 )()()(dxexdxdxxfdxxfdxxfx eeexx 331221210。解解：sin2sinsin1limnnnnnn 0 1sin1sinlim1xdxnninin.2cos10 x例例4.利用定积分求极限利用

5、定积分求极限解：原式解：原式)(1)2(1 2)1(1 1lim222nnnnnnnnnnnn nnininin1)(1 lim12 上上式式右右端端和和式式的的极极限限可可以以看看作作函函数数21)(xxxf 在在 1 ,0上上的的定定积积分分。将将区区间间1 ,0等等分分为为个个小小区区间间 n 2211lim222222nnnnnn 1 0 21211)(1 limdxxxnnininin.2ln21)1ln(21120 x ,1nini),2 ,1(ni，nxi1 nii 并取并取。1 ,01)(2Cxxxf ，从从而而在在1 ,0上上可可积积。1 1变变上上限限的的定定积积分分 设设

6、)(xf在在,ba上连续，则对上连续，则对,bax ，定积分，定积分 xadttf)(存在，这就确定了存在，这就确定了,ba上的一个函数，记为上的一个函数，记为)(x，即，即 xabaxdttfx,)()(。积分。积分 xadttf)(称称 为为变上限的定积分变上限的定积分。)()()(xfdttfxxc ，,bax。2定理定理 1 设设)(xf在在,ba上连续，上连续，,bac，则，则 xcdttfx )()(在在,ba上上可可导导，且且 )()()(xxxx xcxx cdttf dt tf )()(.)()()()(c xxxxxxxxcdttfdttfdttfdttf 证明：设证明：设

7、,bax，且，且 xx,ba，则，则 由积分中值定理知，在由积分中值定理知，在xxx 与与之间至少存在之间至少存在 一一点点，)()(lim)(lim)(0 xffxxxxx ，即即)()(xfx 。,)(baCxf，当当0 x时时，有有x，)()(xff，使使,)()()(xfdttfxxxx 定定理理 1 说说明明当当,)(baCxf 时时，x adttfx)()(是是)(xf 在在,ba上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原函数，上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原函数，故定理故定理 1 也称为也称为原函数存在定理原函数存在定理。3 3.变限求导公式变限求导公式（1 1）)()(x

8、fdttf x a ；（2 2）)()(xfdttf b x ；（3 3）)()()(xxfdttf(x)a ；（4 4）)()()()(xxfdttf bx ；（5 5）)()()()()()()(xxfxxfdttfx x 。例例 1求求下下列列函函数数的的导导数数dxdy。（1）.02 x tdtey 解解：22)(0 xx tedtedxdy 。（2）.13cos0 x)dtt(y 解解：)13cos x(dxdy。（3）.)sin(0 2 xdtty 解解：xxxxdxdysin21)()sin(2 。（4）xxdttfyln1)(，求求dxdy。解：解：)1(1)(ln1)1)(1

9、()(ln(ln2xfxxfxxxfxxfdxdy 。（5）20 21sinxdttxy 解解：2021sinx dttxy xxxdttxdxdyx 2)(1sin1cos22022 .1sin21cos4022xxxdttxx 例例 2求求 xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2 解：解：xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2.12216limcos16limsin2lim2202030 xxxxxxxxxx)sin(sin2lim2230 xxxxxx ,)()()1 (0 T T x xdttfdttf0)()()()()(xfxfxfTxfxF，)

10、(xF是是一一个个常常数数，从从而而)0()(FxF，即即 TTxxdttfdttf 0 )()(。.)()()2 (0 T nT a adttfndttf（1 1）证证明明：令令 T x xdttfxF)()(，则则.)()()(0 0 TxxdttfdttfxF 由由（1）得得：nT nT a adttfdttf0)()(nTTn T T T dttfdttfdttf)1(20)()()(.dttfndttfdttfdttf T T T T 0000)()()()(（2 2）证明证明：T 为为)(xf的周期，的周期，nT也也为为)(xf的的周周期期。证证明明：当当0 x时时，0)()3(0

11、22 x dttftx。证证明明：令令 x dttftxxF022)()3()(，则则 x x dttftdttfxxF0202)(3)()(，)(3)()(2)(220 xfxxfxdttfxxF x )(2)(22xfxxfx （积分中值定理积分中值定理）).()(22xffx （其中（其中x 0）)(xf在在),0 上上的的单单调调减减少少，)()(xff ，从从而而0)(xF，故故)(xF为为单单调调增增加加函函数数。当当0 x时时，,0)0()(FxF .0)()3(0 22 xdttftx 作作 业业 习习 题题 1 1 （P151P151）7 7；8 8；9 9；10;11(4);12;13 10;11(4);12;13。