微积分学的实际应用课件.ppt

1、 T0 xxoxy)(xfy CNM的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf 的斜率为的斜率为切线切线MT0000()()lim(),xxf xf xkfxxx曲线的切线问题曲线的切线问题1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ttsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得瞬瞬时时速速度度00000limlimlimtttttsssvvttt 2.2.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 3.3.非均匀的物体非均匀的物体:质

2、量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为物的导数为物体体 的线的线(面面,体体)密度密度.?,05.0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05.0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205.0102 ).(2厘米厘米 00 xxxxdyy .)(0 xxf 1 边际函数的应用边际函数的应用定义定义1：如果函数：如果函数f(x)在区间在区间I可导，可导，则称导函数则称导函数f(x)为为f(x)的边际函数。的边际函数。在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。在经济应用上相应地有

3、边际收益，边际利润，边际成本等。由导数的定义知，由导数的定义知，f(x)是是f(x0)在在x点的变化率。点的变化率。即当即当x=x0时，时，x改变一个单位，改变一个单位，y改变了改变了f(x0)个单位。个单位。如边际成本如边际成本C(x0)表示生产表示生产x0个单位产品时，再生产一个个单位产品时，再生产一个单位产品，成本增加单位产品，成本增加C(x0)。这表明当生产第这表明当生产第901台时所花费的成本为台时所花费的成本为1.5元。元。同时也说明边际成本与平均成本有区别。同时也说明边际成本与平均成本有区别。2 极值在经济中的应用极值在经济中的应用利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，利用

4、微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。某厂每天生产某商品某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为单位的总成本函数为C(x)=0.5x2+36x+9800（元），（元），那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？平均成本平均成本:C(x)=0.5x+36+9800/xC(x)=0.5-9800/x2 令令C(x)=0，x=140又又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此当生产最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。个单位时平均成本最低。设某生物

5、种群在其适应的环境下生存，设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。试讨论该生物种群的数量变化情况。()()()N ttN tN tt 文字方程改写为符号方程文字方程改写为符号方程在在t时段种群数量的净增加量时段种群数量的净增加量=在在t+t时刻时刻的种群数量的种群数量在在t时刻的种群数量。时刻的种群数量。00()()()dN tN tdtNN Malthus模型模型0()tN tN e 易拉罐问题易拉罐问题:分析和假设：分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.要求饮料罐内体积一定时要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料

6、最求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上实际上,用几何语言来表述就是用几何语言来表述就是:体积给定的直圆柱体体积给定的直圆柱体,其表面积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为为多少多少?表面积用表面积用 S 表示表示,体积用体积用 V 表示表示,则有则有22222(,)2 2 ,/.S r hr hrrrrhVr h hVr0,0min(,)rhS r h2(,)0g r hVr h于是我们可以建立以下的数学模型：于是我们可以建立以下的数学模型：其中其中 S 是目标函数是目标函数,是约束条件是约束条件(V 已知已

7、知,即罐内体积一定即罐内体积一定),.即要在体积一定的条件下即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的求罐的体积最小的 r,h.222()2 2 VVS rrrrrr3302220()2(2)(2)2VVVS rrrrrr2233330022220448 22VVVVhrdrVV2/hVr(,)S r h把把 代入代入,得到得到求驻点求驻点(临界点临界点,critical point),302Vr2300()662VS rr知道知道是一个局部极小值点是一个局部极小值点.实际上实际上,它也是全局最小值点它也是全局最小值点,因为临界点是唯一的因为临界点是唯一的.最小面积为最小面积为00032()2(2)0 0rrVSrrr又由于又由于几何：平面图形的面积；几何：平面图形的面积；体积；体积；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理：功；物理：功；水压力；水压力；引力和平均值等引力和平均值等在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在某区间的总量。在某区间的总量。