微分中值定理与导数的应用整章课件.ppt
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- 微分 中值 定理 导数 应用 整章 课件
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1、 中值定理及其应用中值定理及其应用2.3.12.3.1 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题四、小结思考题1一、罗尔(Rolle)定理罗尔罗尔(R Rolleolle)定理)定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等,即值相等,即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零,在该点的导数等于零,即即0)(f)1()2(
2、)3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf2点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC3证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此
3、得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf4,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有5注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,
4、2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f .0)(2-2 xf使使内找不到一点能内找不到一点能,但在区间但在区间;0,01,0(,1 xxxy.1,0,xxy又例如又例如,6例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满
5、足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根7二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理)中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使等式,使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).(
6、)()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成8ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba9作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至
7、少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.10,),(,)(内可导内可导在在上连续,上连续,在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定
8、理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf11例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx12例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)
9、(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即13三、柯西(Cauchy)中值定理柯西(柯西(CauchyCauchy)中值定理)中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零,那末在内每一点处均不为零,那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()
10、()(FfaFbFafbf 成立成立.14几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba15,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在
11、一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf16例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(
12、2)(fff 即即17四、小结四、小结RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理CauchyCauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系;之间的关系;注意定理成立的条件;注意定理成立的条件;注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.18思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.19思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续
13、的条件;的条件;,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件;的条件;以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.20一、一、填空题:填空题:1 1、函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理,则定理,则=_=_ _ _.2 2、设设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf,方 程方 程0)(xf有有_个根,它们分别在区间个根,它们分别在区间_上上.3 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、微分中值定理
14、精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系.5 5、如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _,那,那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.练练 习习 题题21二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间.三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x.四、设四、设0 ba,1 n,证明,证明 )()(11banababanbnn
15、nn .五、五、证明下列不等式:证明下列不等式:1 1、baba arctanarctan;2 2、时时当当1 x,exex .22六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数,阶导数,且且)0()0()0()1(nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明:证明:!)()()(nxfxxfnn ,(,(10 ).七七、设、设)(xf在在 ba,内上连续,在内上连续,在(ba,)内可导,若内可导,若 ba 0,则在则在(ba,)内存在一内存在一 点点,使,使 )()()()(baffabfbaf .23一、一、1 1、3415;2 2、3,(1,2),(2,
16、3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4);3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可;即可;4 4、增量、增量,导数;导数;5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案242.3.2 2.3.2 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 三、小结三、小结25洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能
17、存在、也可能不存极限极限大,那末大,那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时,两个函数时,两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(26.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一
18、定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.27证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 28
19、.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x使用洛必达法则,即使用洛必达法则,即定理的条件,可以继续定理的条件,可以继续满足满足型,且型,且仍属仍属如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相应的洛必达法则也有相应的洛必达法则时的未定式时的未定式当当 xax29例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 x
20、xxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(30例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 31例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2
21、.3)(32注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好但与其它求极限方法结合使用,效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 33型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),
22、00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或34例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:35步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 36例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111l
23、im1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式37例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意:注意:洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件38三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00
24、型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 39思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限,如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在,是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在?举举例例说说明明.40思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在41一、一、填空题:填空题:1 1、洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00”,及”,及“”两种”两种类型
25、的未定式的极限外,也可通过变换解决类型的未定式的极限外,也可通过变换解决_,_,_,_,_,等型的未定式,等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题42二、二、用洛必达法则求下列极限:用洛必达法则求下列极限:1 1、22)2(sinlnlimxxx ;2 2、xxxarctan)11ln(lim;3 3、xxx2cotlim0;4 4、)1112(lim21 xxx;5 5、xxxsin0lim;6 6、xxxtan0)1(lim;7 7、xxx)arctan2(lim .43
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