常微分方程21变量分离方程与变量变换课件.ppt
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- 关 键 词:
- 微分方程 21 变量 分离 方程 变换 课件
- 资源描述:
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1、第二章 一阶微分方程的初等解法 2022-9-292.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换yxyedxdy122yxdxdy先看例子:xyeye2022-9-29定义1形如)1.2()()(yxfdxdy方程,称为变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf),(yxFdxdy2022-9-29一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解,10分离变量,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.)2.2()()(cdxxfydy的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由cxy)1.2()()(yxfdxdy两边积分得0
2、2写成将时当)1.2(,0)(y2022-9-29例:122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分离变量:两边积分:2022-9-29.,)2.2(,)1.2(,0)(,000必须予以补上的通解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在yyyy注:例1求微分方程)101(yydxdy的所有解.解:再积分方程两边同除以),101(yy1)101(cdxyydy积分得:110lncxyy2022-9-29得再将常数记为从上式中解出,cy,110 xcey.0c,100,0)101(yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为:,110为任常数cceyx.0y和1
3、10lncxyy2022-9-29解:分离变量后得dxxdyy123两边积分得:121ln2cxy整理后得通解为:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231无意义在由于函数其中xxyecc.00之一中有意义或故此解只在xx.,0应补上这个解未包含在通解中此外还有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.2022-9-29例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解:将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得:1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey2022-9-29即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0,0,0也包括在上式中即知若在
4、上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为1)(cdxxpey2022-9-29例4.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解:,xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分离时当,0yxdxydycos2两边积分得:,sin1cxy因而通解为:,sin1cxy.为任意常数其中c.,0得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy 再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为:.sin111sin1xxy2022-9-292022-9-29二、可化为变量分离方程类型二、可化为变量分离方程类型(I)齐次方程)齐次方程.,)(2221
5、11222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII2022-9-29(I)形如)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10 xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原2022-9-29例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux2022-9-29两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,0)
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