微积分的基本思想方法及其应用课件.ppt

1、马知恩西安交通大学微积分的基本思想方法及其应用国际数学教育委员会前主席荷兰数学家H.Freudenthal说过:“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽”。任何事物微观微观宏观宏观运动速度位移物质细棒线密度棒的质量容器中液体压强对底或壁的压力数量关系变化率变化率改变量改变量空间物体面(体)密度质量 方向导数空间场变化率改变量(流体)梯度 源的强度 散度通量旋转趋势与方向 旋度环流量 l 导数导数 积分积分 微积分的基本思想方法及其应用1o 均匀与非均匀 (质量)分布 均匀 非均匀变化变化率：常量 变

2、量函数：线性 非线性图形：直线 曲线cxxxmxm00)()(cxmmxab0 xxx0)()()(00 xxcxmxm 2o 微积分方法的本质微 观 宏 观均匀分布：(除法)(乘法)非均匀分布：导数积分“匀”“分”“匀”“精”“合”“精”l 不同类型的问题，解决的基本思想方法是一样的.“局部均匀化求近似局部均匀化求近似”，“利用极限得精确利用极限得精确”l 导数与定积分分别是处理均匀量的除法除法和乘法乘法在处理相应的非均匀量中的发展bakknkddxxxm)()(lim10kknkxm)(1dxdmxmxx0lim)(xxxmlmxmx)(nkkxba1,kkxm)(xba3o 积分与微分的

3、关系回顾已知线密度 求质量 。关键在于在 上对 以“不变代变”与 是原函数与导函数的关系 在a,b上通过对导函数 “不变代变”求原函数 增量的近似值 积分和式中 是否都是 的有无普遍性 原函数的增量的近似值？若是，是怎样的近似值？)(xm,xxx)(xbakknkddxxxmxxm)()(lim)(10)(),(xmxdxdm)(x)(x)(xmkkxf)()(xf若 设 或 若 为 的原函数 在点 关于 的微分,当然是 增量的近似值。定积分是微分的无限累加。两种解释 bxaduufxFdxxfFxaba,)()()()(,xfdxdFbaCfdxxfdF)(bankkkdxxfdxxfbaC

4、f110)(lim)(,kkxxf)(1f)(xF,1kkxx)(xF1kxkxbankkkdxxfdxxf110)(lim)(bankkkdxfdxxf10)(lim)(4o 微元法 把量 用积分式表达：的关键在于求微分 (微分)无限累加：问题：待求，未知；怎样的函数 是 的导函数(变化率)？已知：只需找到与 成线性关系的 ，且使即 的线性主部或 的与 成线性关系的等价无穷小。FbadxxfF)(dxxfxxfdF)()(badxxfF)(F)(xF)(xf)(xF)()()(xoxAxxxxFFxxA)(|xoxAFFFx例1(1)求圆锥体积。V非均匀分布在 上，截圆半径kx变化。是否 的

5、微分？观察故 是 的微分 ,hokxxkxV2)()(xV)()(2(|)()(|)(|22222xoxxxkxkxxxkxkxVxkx2)()(xV320223hkdxxkVh求光滑曲线 绕 轴旋转所得旋转体的体积。故bxaxfy),(xbadxxfVxMxfxfxfxxfxfxfxfxxfxfxxfV)(|)(|)()(|)()(|)()(|)()(|)(|22212121212222(2)(2)求圆锥体的侧面积若取 xkxxkxS2,2ABABkxxSxx)(xxk(2)(2)求圆锥体的侧面积若取 是否是 的微分？将圆锥面沿母线剪开展平如图弧长 即 xkxxkxS2,2)(xS22222

6、221)()(221221kxkxxOAOAOBOAOBAOABOBSkxAAOA222211kkkxkx22222()=12hoSkh hkhkhkSkxcxkhAAABABkxxSxx)(xxk所以若 非高阶无穷小。)2(11)(112222222xxxkkxkxxkkkS2221)11(2|2|xkkxkkxxkxS,0k2220211212hkkxdxkkSxxkkSh似乎而故xxxkSxkx)(22)(0|2|xxkxS)(2|2)(2|2xoxkxkxxxxk 事实上)1|0(,221222xkxkxkxxxkkS)2(1(22xxxkkSxxxkSxkx)(22三句话：三句话：1

7、.导数和积分分别是除法和乘法的发展；2.积分是微分的无限累加，求积分的关键在于求微分；3.求微分就是寻找所求量的微小增量的线性主部，通常 可先寻找导致所求量非均匀分布的某一量，由于此量的变化造成非均匀分布。将此量在微小局部以“不变”代“变”，便可得到所求微分。5o 微元法在建立微分方程中的应用求 ：微元分析法(微小增量法)例 问10分钟后，车间内CO2的浓度为多少？解：关键在求10分钟时，车间内CO2的含量。设 t时刻车间内CO2的含量为 ，改察 的输入量-的输出量。（内）含量取决于其浓度。FbadxxfFxxfF)(,)()()(,)()()(lim0aFbFFcxFdxxfxfxFdxdF

8、xmin1033m2%04.0COmin1033m234%12.010COm)(tx,ttt2COx 2COtmin1033m2CO输入：浓度恒定0.04%输入量 输出：车间内 浓度连续变化 输出量连续变化。微元法：在 对车间内 浓度“不变代变”：输出量于是解 浓度下降到 t31010004.02CO,ttt2CO410)(txttx341010)(txttxtx)10104(1010)(101004.03432121010012.0)0(104104xxdtdx96.6)10(48)(10 xetxt%0696.01096.642CO6o 推广至多元情形面密度 上分布物质 质量区域函数均匀分

9、布 (常数)面密度非均匀分布体密度压强 散 度2)(R),(mm)(mddmmpp)(lim)()(dVdmVVmpp)(lim)()(ddPPMpM)(lim)()(dVdVSdsMAVMdivAMVSMV)(lim)(1lim)()()()()()(),(mm 区域函数 称为区域函数 在 点对区域(面积)的导数.则称 为区域函数F在 点对区域(面积)的微分。积分 非均匀分布在区域 上。“分”“匀”“合”“精”)()(),(),()(,)(2FR)()(lim)(PfddFFPPFP)()()(oPfFF2)(R)()()()(PfF)()(PfFdPfaPfFd)()(0)()(limP)(Pf积分与微分的关系 设 在 上连续 中值定理从而 即或故 是区域函数 在点 处对区域 的微分，求积分关键在于求此区域函数的微分，即关于的线性主部，而重积分仍然是 对区域微分的无限累加。)(Pf)()()()(dPfF)(,)(PPf),()(lim)(PfFP)(PfddF,)(dPfdF)()()(PfdPfdddPf)()(FPF谢谢!