微分方程习题课64788课件.ppt

1、第十二章 习题课 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、二阶微分方程求解二、二阶微分方程求解一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,一阶线性方程,贝努利方程二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypd

2、d)(dppf(y,p)dy逐次积分求解 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法二阶线性微分方程解的结构定理),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数齐次线性微分方程.3.二阶常系数齐次线性微分方程:)(xfyqypy),(为常数qp4.二阶常系数线性非齐次微分方程:其通解为：Yy y*非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定

3、形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法型)()(xPexfmx（为实数,)(xPm为 m 次多项式）)2,1,0()(*kexQxyxmk当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解：()()cos()sinxlnf xeP xxQ xx型xRxRexymmxksincos*可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1)时,ilnm,max（1）（2）例例1.求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示提示:(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxyxeyeyxydd32Ceexy3312(4)0.yyy方程两

4、边同除以 x 即为齐次方程,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为（4）20.yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶方程)故所求通解为xCeCy12解解:,yp 设xpydd 则xyypddddyppdd例例2.求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxx

5、yyxxyxy22363)3(22uxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努利方程)(分离变量方程)原方程化为令 y=u tyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t=x 1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)()()()()(xgxfxg

6、xfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee2221220,0,2rrrr2xy2ye2y2yx1求微分方程 解解:特征方程为2x2y2yex1211,2xybxeb因此特解为：232121113*2644xyyyxexxx特解为：的一个特解。特解为：22012012113(),644yx a

7、 xa xaaaa 例例4.例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32,1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例6.xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb