排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)课件.pptx

1、1.相邻问题捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.例1（2016湖南对口高考第14题）6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）。解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有2405522AA2.可重复的排列问题求幂法:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数

2、为 种.例2.有3封信和4个邮筒，则将信全部投入邮筒的所有不同的投法种数为（）。A.B.C.D.解析：完成此事共分三步:把第一封信投到邮筒有4种投法.把第二封信投到邮筒也有4种投法，依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法nm34A344334C343.名额分配问题隔板法:将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 .例3.（2012湖南对口高考第9题）将5个培训指标全部分配给3所学校，每所学校至少有1个指标，则不同的分配方案有（）A.5种 B.6种 C.10种 D.12种解析：因为5个培训指标没有差别

3、，把它们排成一排。相邻名额之间形成4个空隙。在4个空档中选2个位置插个隔板，可把名额分成3份，对应地分给3所学校，每一种插板方法对应一种分法共有 分配方案。11mnC624C3.名额分配问题隔板法:将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 .例3.（2012湖南对口高考第9题）将5个培训指标全部分配给3所学校，每所学校至少有1个指标，则不同的分配方案有（）A.5种 B.6种 C.10种 D.12种另解：分二类，有一个班3个名额，其余二个班每班1个；有一个班2个名额，其余两个班每班2个名额，所以共有 种分

4、配方案。11mnC62313CC4.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A.B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析：（1）B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 。602155P4.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例4.（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300

5、种 C、464种 D、600种解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个 ，个，合并总计300个,或 个 。55A3313331312331313331314,AAAAAAAAAAA300)(215566PP5.不相邻问题插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.例5.10名男生，5名女生站成一排，使女生互不相邻，其不同的站法总数为（）解析：由于5名女生站成一排互不相邻，10名男生可以相邻也可以互不相邻，研究对象是学生，为此优先排男生共有 排法，由于男生的

6、空隙（把全体男生队伍的左边和右边也视作空隙）有11个，5个女生插空有 种，由乘法原理得共有 种。1010A511A5111010AA 6.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步分组法.。.例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解析：（1）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 。25201713210CCC7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法

7、:“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合元素不能分步抽.例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 （）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有70353439CCC7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合元素不能分步抽.例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 （）A、140种 B、80种 C、

8、70种 D、35种解析：方法二（分类法）：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台和乙型2台；甲型2台和乙型1台，故不同的取法有7024151425CCCC8.“全员问题分组法:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常先用先分组再分配的办法.例8.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有多少种解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校有种,则不同的保送方案共有 种24C363324PC解决排列组合问题的一般过程如下：1、认真审题弄清要做什么事。2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。作业布置作业布置学习通上：排列与组合的应用举例（三）