抛物线的焦点弦性质(共20张)课件.pptx

1、二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。OyABF112(7)AFBFp二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y 2=2 p x(p

2、0)的x xy yo oAABBFxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2px O y A B F 过抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点的一条直线和AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AAB

3、BAFBFABMM故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.A X y O F B l A 1 M1 B 1 M过抛物线y 2=2 p x(p 0)的XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB 证明：如图，1=，4=，又 14，1，即X y F A O B A 1 B 1 过抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点的一抛物线的焦点弦

4、性质(共2 0 张)课件2222212224212222()2220(2244ypxpyp mypxmyypmypy ypyyppppp 12即：（定值）x x定值）2pABxmymR设方 程法 二：由 题 知 AB不为，（与 x轴 平 行）xOyABFx O y A B F抛物线的焦点弦性质(共2 0 张)课件代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）22221212

5、22224yypsx xsppp（）122syyp (2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证明证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122pAByyxxyy直线方程为（）21121022yyy ypxpx令得2112ypx12因为，y y=-2ps代入上式得0 xsABs 直线必过点（，）lyy2=2pxAMxB代入抛物线得y 2 m s，练习(1).若直线过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的

6、一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明:思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|=12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（，），B（，-），222pAB=2P=sin 9002290tantankyxpx12p（）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用韦达定理得 ABxsin思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短过抛物线y 2=2 p x(p 0)的

7、焦点的一条直线和抛物线相交,12121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppx xxxxxxxpppxxpxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则112AFBFpx O y A B F 过抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点的一条直线和例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物的一条直线和抛物线相交于线相交于A(x

8、1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x，），（x，）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x121221y yypyy11c211pypyy-y2x22p|BCX轴yFABCO例2.过抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点F 的一条直线和抛物例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物线的一条直线和抛物线相交于相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2

9、)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线.(2001年高考题年高考题)22221212:,2,220.ABpxmyypxypmypAyByy yp 12证明 设直线的方程代入得设（x，），（x，）则|BX轴2Cyp（-，），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk|OC OAO且共点，ACO直线过点yFABCO例2.过抛物线y 2=2 p x(p 0)的焦点F 的一条直线和抛物例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐

10、标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题例3.A、B 是抛物线 y 2 =2 p x(p 0)上的两点例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，2211,xykxyk

11、OBOA OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 022212221 yypypy y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.例3.A、B 是抛物线 y 2 =2 p x(p 0)上的两点，例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)2121212yypxxyy 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直线线21112122yypx

12、yyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB过定点过定点T(2p,0).例3.A、B 是抛物线 y 2 =2 p x(p 0)上的两点，)2,2(2kpkpA同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).k1 )1()1(0220kkpykkpx例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；2)1(1222kkkk2)(200 pypx即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程

13、轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，同理，以代k 得B(2 p k 2,-2 p k).例(4)求AOB面积的最小值；(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;A、B是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且OAOB，y12=2px1，y22=2px2(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。求证：直线过定点(s,0)(s0)解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;思考：焦点弦何时最短？(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p(

14、5)以AB为直径的圆与准线相切.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),证明：设AB 的方程为=ms（m）(3)设OA y=kx，代入y2=2px 得:k 0，求O在AB上的射影M轨迹方程.抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.AB过定点T(2p,0).y10,y20,y1y2

15、=4p2 x1x2=4p2.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。(2)过B作BC准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.M在以OT为直径的圆上(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.(2001年高考题)证明：设AB 的方程为=ms（m）(2)求证：直线AB过定点；若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.法二：AB过定点T(2p,0).(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为2 p求O在AB上的射影M轨迹方程.|)|(|)|(|212121yypyyOTSSSBOMA

16、OMAOB(4)2214|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；(4)求A O B 面积的最小值；求O 在A B 上的射影M轨迹方程.抛物线的焦点弦性质(共2 0 张)课件 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点T(2

17、p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.M在以O T 为直径的圆上 O MT=9 0小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子不法分子”掺掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无无“漏网之鱼漏网之鱼”“逍遥法外逍遥法外”，应将其找回。，应将其找回。小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对