渗透数学思想发展数学思维课件.ppt
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1、渗透数学思想渗透数学思想 发展数学思维发展数学思维【新闻】n2017年6月7日,有两台机器参加全国高考数学考试。n仅用了10分钟和22分钟完成,得了134分和105分。机器的学习量与记忆力远超人类,人工智能最有可能替代甚至超越人类通过死记硬背大量做题获得的知识。【案例案例】二战中美军飞机返回后留下弹孔,机二战中美军飞机返回后留下弹孔,机身弹孔比引擎上的多,军方认为,应该保护身弹孔比引擎上的多,军方认为,应该保护机身,加装装甲。机身,加装装甲。亚伯拉罕亚伯拉罕.瓦尔德却说:需要加装装甲的不应瓦尔德却说:需要加装装甲的不应该是留有弹孔的部分,而恰恰应该装在没有该是留有弹孔的部分,而恰恰应该装在没有
2、弹孔的地方,即飞机的引擎。弹孔的地方,即飞机的引擎。n亚伯拉罕亚伯拉罕.瓦尔德(哥伦比亚大学统计学教授)瓦尔德(哥伦比亚大学统计学教授)n飞机各部分受到损坏的概率均等,但是引擎罩上的飞机各部分受到损坏的概率均等,但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少,为什么?胜利返航的飞机引弹孔却比其余部位少,为什么?胜利返航的飞机引擎上的弹孔少,是因为引擎被击中的飞机未能返回擎上的弹孔少,是因为引擎被击中的飞机未能返回。机身千疮百孔仍能返回,充分说明机身可以经受。机身千疮百孔仍能返回,充分说明机身可以经受打击。打击。n军官的假设:返航飞机是所有飞机的随机样本。军官的假设:返航飞机是所有飞机的随机样本。n瓦尔德拥有
3、的空战知识远不及军官,但他瓦尔德拥有的空战知识远不及军官,但他却看到了军官们无法看到的问题。却看到了军官们无法看到的问题。n思维习惯思维习惯“你的假设是什么?合理吗?你的假设是什么?合理吗?”问题的基本框架问题的基本框架“幸存者偏差幸存者偏差”现象现象,是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱,从,是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱,从而得出错误的结论。而得出错误的结论。n2018新课标全国新课标全国II卷高考作文卷高考作文n“二战二战”期间,为了加强对战机防护,英美军方调查了作战期间,为了加强对战机防护,英美军方调查了作战后幸存飞机上的弹痕的分布,决定哪里弹痕多就加强哪里,后幸存飞机上的弹痕的分布,决定哪
4、里弹痕多就加强哪里,然而统计学家沃德力排众议,指出更应该注意弹痕少的部位然而统计学家沃德力排众议,指出更应该注意弹痕少的部位,因为这些部位收到重创的战机,很难有机会返航,而这部,因为这些部位收到重创的战机,很难有机会返航,而这部分数据被忽略了,事实证明,沃德是正确的。分数据被忽略了,事实证明,沃德是正确的。n要求:综合材料内容及含意,选好角度,确定立意,明确文体,自拟标题:不要套作,不得抄袭:不少于800字。n(青海、甘肃、吉林、宁夏、内蒙古、黑龙江、新疆、海南、辽宁、陕西、重庆)n义务教育阶段义务教育阶段数学学科的数学学科的核心词核心词n 数数 感感 符号意识符号意识 空间观念空间观念 几何
5、直观几何直观 数据分析观念数据分析观念 运算能力运算能力 推理能力推理能力 模型思想模型思想 n高中阶段数学学科的核心素养高中阶段数学学科的核心素养 数学抽象数学抽象 逻辑推理逻辑推理 数学建模数学建模 直观想象直观想象 数学运算数学运算 数据分析数据分析知识知识立意立意 能力能力立意立意 素养素养立意立意【问题问题】n渗透数学思想,发展数学思维渗透数学思想,发展数学思维n中学教师需要具备些什么?n怎样做才能更有效?【案例】一次函数的图像n教学流程教学流程n出示(或者通过问题情景得到)一个一次函数的关系式;n学生列表、描点、连线发现它的图像是一条直线;n再出示一个一次函数的关系式,同样的操作后
6、学生发现它的图像也是一条直线.n师生得到一致的结论:一次函数图像是一条直线.学生:“老师,一次函数图像为什么是一条直线?”【讨论】你将如何处理呢?n思路思路1 先选择满足函数关系式的两点确定直线,然后再检验发现其他满足关系式的点也在这条直线上;n思路思路2 取满足条件的三点,求任意两点组成的直线的斜率,发现斜率是一样的,所以三点共线;n思路思路3 在函数y=kx+b的图像上任取两点,相应纵坐标的增量与横坐标的增量之比是定值,也就是k不变,所以函数y=kx+b的图像是直线.(初三或高中的知识)师:举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了 吗
7、?吗?生1:指着y=2x+1的图象,认为y每次增加的幅度是x的2倍 加1,增加的幅度是一样的,所以它的图象应该是一条 直线而不可能是折线段.(从变量的角度思考函数的问题 ,而且这一解决问题的思路在有了解析几何的知识后)生2:燃香的图片放在坐标系里看会更清晰一些.于是师生共同完成了下面的过程:于是师生共同完成了下面的过程:n【讨论】n1.“为什么一次函数图像是一条直线?”明显是个难点,但不是重点,我们应该如何对待这样的课堂现象呢?n2.改进设计与原设计都设计了探究,差别在哪里?中小学数学学科的价值是什么?中小学数学学科的价值是什么?数学教师的作用?数学教师的作用?你要给学生留下些什么?你要给学生
8、留下些什么?互动互动【案例案例】内角和内角和180度度 你是怎么想到要研究内角和?性质是怎么获得你是怎么想到要研究内角和?性质是怎么获得的?的?【案例案例】相似多边形的性质(二)(北师大版八相似多边形的性质(二)(北师大版八年级)年级)问题问题如何发现如何发现、提出提出、分析、解决分析、解决?思考什么思考什么、怎么思考怎么思考?n 在学校学习的数学知识工作后没有机会用,一在学校学习的数学知识工作后没有机会用,一两年后,很快忘记了,然而,不管从事什么工作两年后,很快忘记了,然而,不管从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的,唯有深深铭刻在心中的数学的精神数学的精神、数学的思数学的思维方法维方法、研究方
9、法研究方法、推理方法推理方法和和看问题的着眼点看问题的着眼点等,却随时随地地发生作用,使他们终生受益。等,却随时随地地发生作用,使他们终生受益。米山国藏米山国藏 数学的精神、思想和方法数学的精神、思想和方法 n 真正有价值的教育是真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍使学生透彻理解一些普遍的原理,这些原理适用于各种不同的具体事例的原理,这些原理适用于各种不同的具体事例。在。在随后的实践中,这些成人将会忘记你教他们的那些随后的实践中,这些成人将会忘记你教他们的那些特殊细节,但他们潜意识里的判断力会使他们想起特殊细节,但他们潜意识里的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于具体的情况,直到你摆脱了
10、如何将这些原理应用于具体的情况,直到你摆脱了教科书,烧掉了你的听课笔记,忘记了你为考试而教科书,烧掉了你的听课笔记,忘记了你为考试而背熟的细节,这时,你学到的知识才有价值。背熟的细节,这时,你学到的知识才有价值。【英英】怀特海怀特海教育的目的教育的目的 许多世纪以来,数学是被看作训练“推理”能力的最佳学科,为什么在中小学有这么多数学课呢?无论过去还是现在,对于这个问题最普遍的回答是:“它教你思考”。国际展望:九十年代的数学教育 数学核心素养数学核心素养数学数学思维思维让让学生学生学习思考学习思考教师要教师要教思考教思考教师需要具备什么?教师需要具备什么?理解数学 理解教学 理解学生 理解技术
11、(章建跃)(章建跃)n课程性质课程性质认识数学是一门怎样的课认识数学是一门怎样的课n课程目标课程目标数学课对学生发展的作用数学课对学生发展的作用n课程实施课程实施如何教数学课如何教数学课n课程评价课程评价是否实现课程的目标是否实现课程的目标 (义务阶段数学课程标准(义务阶段数学课程标准(2011年版)年版)n 中学教师首先需要具备课程意识中学教师首先需要具备课程意识n数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力,而且要让他们具有必需的数学知识和能力,而且要让他们具有数学的思维,并能数学的思维,并能应用数学的思维应用数学的思维去分析和去分析和解
12、决生活、工作和科学研究中的问题解决生活、工作和科学研究中的问题。义务阶段数学课程标准(2011年版)【案例案例】教学教学“自然数按能否被自然数按能否被2整除分为偶数和奇数整除分为偶数和奇数”时,时,让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数,并形成让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数,并形成下列板书,然后引导探究偶数和奇数的特点。下列板书,然后引导探究偶数和奇数的特点。n自然数自然数:偶数与奇数:偶数与奇数【中考试题中考试题】某体育用品店为推销某一品牌运动某体育用品店为推销某一品牌运动服,先做了市场调查,得到数据如表:服,先做了市场调查,得到数据如表:n以以x作为点的横坐标,作为点的横坐标,p作为纵
13、坐标,把上表中的数据,作为纵坐标,把上表中的数据,在图中的直角坐标系中描出相应的点,观察连接各点所在图中的直角坐标系中描出相应的点,观察连接各点所得的图形,判断得的图形,判断p与与x的函数关系,并求出的函数关系,并求出p与与x的函数的函数式。式。n这道题仅通过表中的四组数据,无法判断这道题仅通过表中的四组数据,无法判断p与与x的函数的函数关系的具体表达式,满足上述四组数据的函数表达式关系的具体表达式,满足上述四组数据的函数表达式可能很多,因而根本不能求出其解。可能很多,因而根本不能求出其解。n事实上,就题目提供统计信息看,事实上,就题目提供统计信息看,p与与x的关系是随的关系是随机关系,是不确
14、定数学的问题,而不是确定性数学中机关系,是不确定数学的问题,而不是确定性数学中的函数关系。的函数关系。n【讨论讨论】n案例的启示?案例的启示?n一只木桶的水容量,不是取决于那块桶帮最长的木一只木桶的水容量,不是取决于那块桶帮最长的木板,板,而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素质的缺失,有时会影响其他能力的发挥。质的缺失,有时会影响其他能力的发挥。n一堂好课,不仅与执教老师先进的一堂好课,不仅与执教老师先进的教育理念教育理念、巧妙、巧妙的设计、高超的调控能力有关,根本上还取决于他的设计、高超的调控能力有关,根本上还取决于他的的数学学科素养数学学科素养。
15、启示启示n数学教师数学教师创造思考的环境,创造对知识的理解创造思考的环境,创造对知识的理解。n教师的学科深度直接影响你的教学高度。教师的学科深度直接影响你的教学高度。n数学课程内容的再创造、教学法的加工,必须先数学课程内容的再创造、教学法的加工,必须先理解数学,理解数学,数学学科素养数学学科素养是基石。是基石。数学教师的数学学科素养数学教师的数学学科素养n扎实的数学专业基础;扎实的数学专业基础;n 全面把握数学学科知识;全面把握数学学科知识;n 准确把握教材的新特征,明确重点、难点准确把握教材的新特征,明确重点、难点与关键与关键n数学是研究数学是研究数量关系数量关系和和空间形式空间形式的科学。
16、数学源于对现实的科学。数学源于对现实世界的世界的抽象抽象,基于抽象结构,通过符合运算、形式推理、,基于抽象结构,通过符合运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中的事物本质、关系与规模型构建等理解和表达现实世界中的事物本质、关系与规律。律。n数学是思维的科学数学是思维的科学,数学教学是思维的教学数学教学是思维的教学n数学是一门数学是一门语言语言,它有自己一套独立的符合系统和严谨的,它有自己一套独立的符合系统和严谨的表达方式表达方式-阅读、表达的工具。阅读、表达的工具。u 数学学科数学学科 n 数学教学中存在三种思维活动数学教学中存在三种思维活动n教师的思维活动教师的思维活动n学生的思维活动
17、学生的思维活动n数学家的思维活动数学家的思维活动(教材教材)读懂教材读懂教材【案例案例】“实数实数”教材的阅读和教学教材的阅读和教学思考思考问题问题1 1 章引言说了什么?章引言说了什么?为什么要学,学什么,怎么学。为什么要学,学什么,怎么学。问题问题2 2 这一章的结构是怎样的?为什么这样安排?这一章的结构是怎样的?为什么这样安排?结构:算术平方根结构:算术平方根平方根平方根立方根立方根实数实数实实数的运算数的运算编写意图:从具体到抽象,先让学生感受到编写意图:从具体到抽象,先让学生感受到“已知一个正已知一个正数的平方求这个数数的平方求这个数”是可以进行的,但会出现与有理数不是可以进行的,但
18、会出现与有理数不一样的数,建立引入新的符号表示这种新数的心向,然后一样的数,建立引入新的符号表示这种新数的心向,然后类比有理数及其运算引入实数及其运算。类比有理数及其运算引入实数及其运算。引入算术平方根概念要做哪些事引入算术平方根概念要做哪些事n背景(现实问题、数学问题):背景(现实问题、数学问题):n具体实例共同特征的归纳;具体实例共同特征的归纳;n定义:内涵、要素(算术平方根的意义)定义:内涵、要素(算术平方根的意义)-符号符号表示、读法表示、读法性质性质n问题问题1:算术平方根的性质是什么?:算术平方根的性质是什么?n问题问题2;为什么要讲根号;为什么要讲根号2?如何使学生认识它?如何使
19、学生认识它?n形、数结合,利用已有的数,在与有理数的比形、数结合,利用已有的数,在与有理数的比较中认识新数。较中认识新数。平方根平方根重复与拓展重复与拓展从数学内部提出问题(已知一个正数的平方从数学内部提出问题(已知一个正数的平方已知已知一个数的平方);一个数的平方);n具体实例共同特征的归纳;具体实例共同特征的归纳;n定义:内涵、要素(平方根的意义)定义:内涵、要素(平方根的意义)符号表示符号表示、读法、读法性质性质n思考思考1 1:如何使学生在算术平方根的基础上发现和:如何使学生在算术平方根的基础上发现和提出问题?提出问题?n思考思考2 2:从哪些角度理解平方根概念?:从哪些角度理解平方根
20、概念?n思考思考3 3:如何使学生发现平方根的性质?:如何使学生发现平方根的性质?n思考思考4 4:开平方运算与数系扩充的关系是什么?:开平方运算与数系扩充的关系是什么?立方根立方根重复与拓展重复与拓展思考思考1:如何使学生在学习平方根的基础上发现:如何使学生在学习平方根的基础上发现和提出问题?和提出问题?思考思考2:“立方根立方根”的教学与的教学与“平方根平方根”的教学的教学可以有哪些不同?是否可以让学生自学可以有哪些不同?是否可以让学生自学 (章建跃,章建跃,深化数学课程改革落实数学深化数学课程改革落实数学核心素养,核心素养,2017-112017-11,天津师范大学),天津师范大学)【案
21、例案例】相似多边形的性质(二)(北师大版八相似多边形的性质(二)(北师大版八年级)年级)【案例案例】设设 111,1ccacbbcbaabaabc求的值的值 n数学思想数学思想是指对数学知识的本质和数学规律是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识,是从某些数学内容和对数学认的理性认识,是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的识过程中提炼上升的数学观点数学观点;n数学方数学方法则是从数学的角度提出问题、解决法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种问题的过程中所采用的各种方式、手段、途方式、手段、途径等;径等;n“数学思想方法数学思想方法”是指对数学内容的本质认识,是指对数学内
22、容的本质认识,是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。n【案例案例】函数值域函数值域n教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的认识水平,决定了理解数学的高度,最终认识水平,决定了理解数学的高度,最终决定了你教学所达到的高度。决定了你教学所达到的高度。n弗赖登塔尔:没有一种数学的思想,以它被发现时弗赖登塔尔:没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火
23、热的发明变成冰冷的美丽一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。n 教材是教材是“教学法的颠倒教学法的颠倒”【问题问题】n为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定了水平很高的高等教育?了水平很高的高等教育?n为什么孔子的学生中没有出柏拉图?为什么孔子的学生中没有出柏拉图?n苏格拉底的启发式:苏格拉底的启发式:产婆术产婆术n 平等、开放的探讨问题式对话平等、开放的探讨问题式对话n孔子的启发式孔子的启发式n 语录式的封闭式对话语录式的封闭式对话【案例案例】瑞典小学数学教育代表团的学术瑞典小学数学教育代表团的学术交流活动中瑞教师观点的差异交流活动中瑞教师观点的差异n观摩
24、课教师出了一道题:观摩课教师出了一道题:“鸡兔共鸡兔共20头头,54 腿,鸡兔各多少个?腿,鸡兔各多少个?”n教师如何教学生学会思考?教师如何教学生学会思考?数学的题目是无法穷尽的,但是指导着思维数学的题目是无法穷尽的,但是指导着思维方向的数学思想方法,是可以逐一研究和掌方向的数学思想方法,是可以逐一研究和掌握的,我们可以用有限去解决无限。握的,我们可以用有限去解决无限。授人以鱼,更要授人以渔授人以鱼,更要授人以渔n 该如何教学生思考?该如何教学生思考?n数学思想方法为学生提供了有关如何学习、数学思想方法为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。如何思考的策略性知识。n教师示之以思维之道
25、教师示之以思维之道,教给学生思维的方法教给学生思维的方法,数学思想方法数学思想方法是切入点是切入点。数学教学中存在三种思维活动:数学教学中存在三种思维活动:n教师的思维活动教师的思维活动n学生的思维活动学生的思维活动n数学家的思维活动数学家的思维活动(或隐或显存在于教材或隐或显存在于教材)n选拔教师试题选拔教师试题(王尚志)n从你做过的题里挑出两个,用最简洁的语言概括其思路?解决的关键在哪里?n这道题要考学生什么?能考出来吗?n这道题出的好吗?n分析这道题是怎么出出来的?n为什么要出这样的试题?n数学知识数学知识数学思维活动的结果数学思维活动的结果n数学教学数学教学数学思维活动或再现数学思维数
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