n阶行列式的性质与计算课件.ppt

1、第二节第二节 n n阶行列式的性质与计算阶行列式的性质与计算n n阶行列式的性质阶行列式的性质 n n阶行列式的计算阶行列式的计算一、n阶行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对

2、行成立的对列也同样成立.上、下三角形行列式的值都等于主对角线上上、下三角形行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。的元素的乘积。例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853性质性质3 3 n n阶行列式等于任意一行（列）所阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即即 nni1i1i2i2ininikikk=1nn1j1j2j

3、2jnjnjkjkjk=1D=a A+a A+.+a A=a AD=a A+a A+.+a A=aA(i,j=1,2,.,n)性质4 n n阶行列式中任意一行（列）的元阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零。式的乘积之和等于零。1122112211221122 .0.0.0.0(,1,2,.,)(,1,2,.,)kikikninkikikninkikinknikikinkniikika Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Ai kni kn+=+=+=+=即即 行列式的某一行（列）中所

4、有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa

5、k21212111211.0 性质性质6 6若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninj

6、jinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、n阶行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr210104461475314

7、0202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例2 计算行列式111122223333000000000000

8、11111111aaaaaaaaaaaa-一般地，我们有111122223 31212000000000000000000000000001111111111(1)(1)nnnnn naaaaaaaaa aaaaan a aan a aa-=+=+例3计算4111141111411114D 41117777111114111411141171141114111411114111411141111300030077 0307 2718900300030003解一般地，我们有1 1(1)()(1)()n nn nbaaaabaaaaabaaaabaaaaabaaaabaaD Daaabaaaaba

9、aaaabaaaabnabbanabba-=-+-=-+-例4 计算行列式5 521000210001210012100012100121000121001210001200012D D=解 观察行列式的元素可知，具有以对角线为对称轴的对称性，按第一列展开得5 5210010002100100012101210121012102 201210121012101210012001200120012D D=-=-由此得到递推公式543543323323322123221221212 22(2)2(2)323(2)2323(2)221214343264343261212DDDDDDDDDDDDDDD

10、DDDDDDDDDDD=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-*=-=-*=一般地，我们有210002100012100121000120001200000210002100012000121 1n nD Dn n=+=+例5计算2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 3423231234(1)(1)(1)(1)(1)(1)400023200203630030002000rrrrrabcdabcdaababcaababcaababcaabaababcaababcdaababcaaaba34r解 D=例6计算n阶范德蒙德（Vandermo

11、nde)行列式122221211112111nnnnnnnxxxVxxxxxx122211221212112212122211221111212121122111121110001(1)1(1)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxVxx xxx xxxxxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx 1211222121111)nnnnnnxxxxxxx12111111122111112211()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnjiij nVxxxxxxVxxxxx

12、xxxVxxxxxxxxxxxx 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公

13、公按按第第)(11xxi)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 例例 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbna

14、babbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n,3,2 abbbabbbabbbbna1111)1(babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运

15、算作运算对对22,DkccDji.0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 .0