工程光学基础1课件.pptx

1、2011.3 简历李林，1957年生。北京理工大学光电学院教授，博士生导师，北京市教学名师。主编出版了七本著作。获得部级科技一等奖1次，二等奖1次，三等奖4次。应用光学课程获北京市精品课程。主要研究领域为光学系统设计，光电仪器设计与检测，光学CAD软件研制，照明光学系统研究，光引擎研究，红外仿真研究，空间光学研究。现为中国照明学会理事，全国光学和光学仪器标准化技术委员会委员，中国兵工学会光学专业委员会委员，中国宇航学会光学专委会委员，中国光学学会会员，中国兵学会会员，SPIE会员，长春光机所学报光学精密工程编委，光学技术编委。绪论2011.3 广义的说，光学是研究从微波、红外线、可见光、紫外线

2、直到 X射线的宽广波段范围内的，关于电磁辐射的发生、传播、接收和显示以及跟物质相互作用的科学。光学是一门有着悠久历史的学科，它的发展史可追溯到2000多年前。人类对光的研究，最初主要是试图回答“人怎么能看见周围的物体？”之类问题。2011.3 约在公元前400多年(先秦时代)，中国的墨经中记录了世界上最早的光学知识。它有八条关于光学的记载，叙述影的定义和生成，光的直线传播性和针孔成像，并且以严谨的文字讨论了在平面镜、凹球面镜和凸球面镜中物和像的关系。公元11世纪阿拉伯人伊本海赛木发明透镜 公元1590年到17世纪初，詹森和李普希同时独立地发明显微镜；17世纪上半叶，斯涅耳和笛卡儿将光的反射和折

3、射的观察结果，归结为今天大家所惯用的反射定律和折射定律。2011.3 1665年，牛顿进行了太阳光的实验，把太阳光分解成简单的组成部分光谱。牛顿还发现了牛顿环。牛顿根据光的直线传播性，认为光是一种微粒流。惠更斯创立了光的波动说。提出“光同声一样，是以球形波面传播的”。19世纪初，波动光学初步形成，其中托马斯杨圆满地解释了“薄膜颜色”和双狭缝干涉现象。菲涅耳于1818年以杨氏干涉原理补充了惠更斯原理，圆满解释了光的干涉和衍射现象，也能解释光的直线传播。2011.3 1846年，法拉第发现了光的振动面在磁场中发生旋转；1856年，韦伯发现光在真空中的速度等于电流强度的电磁单位与静电单位的比值。他们

4、的发现表明光学现象与磁学、电学现象间有一定的内在关系。1860年前后，麦克斯韦指出光是电磁波。1900年，普朗克提出了辐射的量子论。光的量子称为光子。1905年，爱因斯坦运用量子论解释了光电效应。第一次提出了狭义相对论基本原理。1922年发现了康普顿效应，1928年发现了喇曼效应量子力学和狭义相对论都是在关于光的研究中诞生和发展的。2011.3 1960年，梅曼用红宝石制成第一台可见光的激光器；同年制成氦氖激光器；1962年产生了半导体激光器；1963年产生了可调谐染料激光器。由于激光具有极好的单色性、高亮度和良好的方向性，所以自1958年发现以来，得到了迅速的发展和广泛应用，引起了科学技术的

5、重大变化。光学的另一个重要的分支是由成像光学、全息术和光学信息处理组成的。这一分支最早可追溯到1873年阿贝提出的显微镜成像理论，和1906年波特为之完成的实验验证；1935年泽尔尼克提出位相反衬观察法，并依此由蔡司工厂制成相衬显微镜，为此他获得了1953年诺贝尔物理学奖；1948年伽柏提出的现代全息照相术的前身波阵面再现原理，为此，伽柏获得了1971年诺贝尔物理学奖。2011.3 自20世纪50年代以来，开始把数学、电子技术和通信理论与光学结合起来，给光学引入了频谱、空间滤波、载波、线性变换及相关运算等概念，更新了经典成像光学，形成了“傅里叶光学”和光学信息处理学科。光纤通信就是依据这方面理

6、论的重要成就，它为信息传输和处理提供了崭新的技术。在现代光学研究中，由强激光产生的非线性光学现象正为越来越多的人们所注意。激光光谱学，包括激光喇曼光谱学、高分辨率光谱和皮秒超短脉冲，以及可调谐激光技术的出现，已使传统的光谱学发生了很大的变化，成为深入研究物质微观结构、运动规律及能量转换机制的重要手段。它为凝聚态物理学、分子生物学和化学的动态过程的研究提供了前所未有的技术。2011.3通常把光学分成几何光学、物理光学和量子光学。几何光学利用光线的概念，用折射和反射定律来描述光在各种媒质中的传播现象和传播规律。物理光学是从光的波动性出发来研究光在传播过程中所发生的现象的学科，所以也称为波动光学。它

7、可以比较方便的研究光的干涉、光的衍射、光的偏振，以及光在各向异性的媒质中传插时所表现出的现象。量子光学从光子的性质出发，来研究光与物质相互作用的学科。它的基础主要是量子力学和量子电动力学。2011.3应用光学主要研究光学的应用问题。技术光学：光学系统设计及光学仪器理论，光学制造和光学测试，干涉量度学，薄膜光学，纤维光学和集成光学等光度学、辐射度学:有关电磁辐射物理量的测量和计算色度学:以人眼为接收器，研究电磁辐射所引起的彩色视觉，及其心理物理量的测量和计算与其他学科交叉的分支:天文光学、海洋光学、遥感光学、大气光学、生理光学及兵器光学等。光学是由许多与物理学紧密联系的分支学科组成；由于它有广泛

8、的应用，所以还有一系列应用背景较强的分支学科也属于应用光学范围。2011.3常见光电仪器观察仪器：望远镜测量仪器：测距机瞄准：火炮周视瞄准镜摄像：照相机2011.3望远镜2011.32011.3显微镜2011.3常见光电仪器照相机2011.3不管光电仪器多复杂，大体由三大部分构成：机械部分：仪器的传动机构、联接机构、调 整机构、壳体等电器部分：各种电子线路、照明、显示、计算机控制等2011.3 光学部分：由各类透镜、棱镜、平面镜、光栅等光学元件组合而成2011.3设计一个光电仪器的步骤 1.初步设计 原理方案拟定，外形尺寸计算，各分系统确定 2.光学设计（像差设计）确定具体的结构参数，校正像差

9、，达到要求的成像质量2011.3 光学系统是光学仪器核心 应用光学是后续其它专业课程的基础 实际工作中必备的基础知识特点：理论联系实际学习目的第一章 几何光学基本定律与成像概念2011.3对成像的要求本章要解决的问题：像与成像的概念 光是怎么走的？光的传播规律 2011.3第一节 几何光学的基本定律 研究光的意义:90%信息由视觉获得,光波是视觉的载体 光是什么？弹性粒子弹性波电磁波波粒二象性 1666年：牛顿提出微粒说，弹性粒子 1678年：惠更斯提出波动说，以太中传播的弹性波 1873年：麦克斯韦提出电磁波解释，电磁波 1905年：爱因斯坦提出光子假设 20世纪：人们认为光具有波粒二象性2

10、011.3 一般情况下,可以把光波作为电磁波看待，光波波长：2011.3 光的本质是电磁波 光的传播实际上是波动的传播物理光学：研究光的本性，并由此来研究各种光学现象几何光学：研究光的传播规律和传播现象2011.3可见光：波长在400-760nm范围红外波段：波长比可见光长紫外波段：波长比可见光短2011.3可见光：波长在0.40.7um范围红外波段：波长比可见光长紫外波段：波长比可见光短2011.3 可见光：400-760nm 单色光：同一种波长 复色光：由不同波长的光波混合而成频率和光速，波长的关系在透明介质中，波长和光速同时改变，频率不变2011.3几何光学的研究对象和光线概念 几何光学

11、研究对象 不考虑光的本性 研究光的传播规律和传播现象特点：不考虑光的本性，把光认为是光线光线的概念：能够传输能量的几何线，具有方向光线概念的缺陷2011.3采用光线概念的意义：1.用光线的概念可以解释绝大多数光学现象影子、日食、月食 2011.3 2.绝大多数光学仪器都是采用光线的概念设计的 望远镜，显微镜，照相机 光波的传播问题就变成了几何的问题,所以称之为几何光学 当几何光学不能解释某些光学现象，例如干涉、衍射时，再采用物理光学的原理2011.3光线与波面之间的关系 波面：波动在某一瞬间到达的各点组成的面At时刻t+t时刻2011.3 光线是波面的法线 波面是所有光线的垂直曲面同心光束：由

12、一点发出或交于一点的光束；对应的波面为球面2011.3像散光束：不严格交于一点，波面为非球面，任意曲面波2011.3平行光束波面为平面2011.3光的传播现象的分类几何光线基本定律灯泡空气玻璃光的传播可以分类为：1、光在同一种介质中的传播；2、光在两种介质分界面上的传播。2011.3二、几何光学基本定律1、光线在同一种均匀透明介质中时：直线传播定律成分均匀透光例如：影子形成，日蚀，月蚀，小孔成像，精密测量仪器 2011.32、光的独立传播定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播干涉：当两束光是由光源上同一点发出，经过不同途径传播后在空间某点交会时，交会点处光的强度将

13、不再是两束光强度的简单叠加，而是根据两束光所走路程的不同，有可能加强，也有可能减弱。2011.33、光线在两种均匀介质分界面上传播时:反射定律，折射定律 反射定律：反射光线位在入射面内；反射角等于入射角 I1=R1。折射定律：折射光线位在入射面内；入射角正弦和折射角正弦之比，对两种一 定介质来说是一个和入射角无关的常数。n1,2称为第二种介质相对于第一种介质的折射率2011.3AO:入射光线OB:反射光线OC:折射光线NN:过投射点所做的分界面法线I1:入射光线和分界面法线的夹角，入射角R1:反射光线和分界面法线的夹角，反射角I2:折射光线和分界面法线的夹角，折射角2011.3相对折射率与绝对

14、折射率相对折射率：一种介质对另一种介质的折射率绝对折射率介质对真空或空气的折射率2011.3相对折射率与绝对折射率之间的关系相对折射率：第一种介质的绝对折射率：第二种介质的绝对折射率：所以 2011.3用绝对折射率表示的折射定律由有反射时：n=-nI=-I2011.3对于不均匀介质可看作由无限多的均匀介质组合而成，光线的传播，可看作是一个连续的折射直线传播定律反射定律折射定律几何光学的基本定律2011.3Exercise:judgehowtherayisrefractedAirn=1Watern=1.33I1I2Glassn=1.5Airn=1I12011.3Air,nlowerGlass,n

15、highercI1Air,nlowerGlass,nhigher作业：P.13,4,7,2011.3光的全反射现象Water AirAI1R1I2O1O2O3O4I0在一定条件下，入射到两种介质界面上的光会全部反射回原来的介质，而没有折射光产生，这种现象称为光的全反射现象 n2n12011.3发生全反射的条件 必要条件：n1n2 由光密介质进入光疏介质 充分条件：I1I0 入射角大于全反射角 1870年，英国科学家丁达尔全反射实验2011.3当光线从玻璃射向与空气接触的表面时，玻璃的折射率不同、对应的临界角不同 n1.51.521.541.561.581.601.621.641.66 I041

16、4841840303952391638413773773732011.3全反射的应用u 用棱镜代替反射镜：减少光能损失2011.3全反射光纤2011.3u 测量玻璃的折射率Sample for testing nB Low nA HighI0Dark areaIlluminated area作业：P.13,8,9 2011.3光路可逆AB光路可逆：求焦点 光学设计中，逆向计算：目镜，显微物镜等2011.3费马原理 光从一点传播到另一点，期间无论经过多少次折射和反射，其光程为极值。光是沿着光程为极值（极大、极小或常量）的路径传播的。光程 光线在介质中所走过的几何路程和折射率的乘积称为光程。光程等

17、于在相同的时间内，光在真空中传播的几何路程。两个波面之间的所有光线的光程都相等。2011.3马吕斯定律 光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。2011.3第二节 成像的基本概念与完善成像条件各种各样的光学仪器 显微镜:观察细小的物体 望远镜:观察远距离的物体各种光学零件反射镜、透镜和棱镜2011.3光学系统：把各种光学零件按一定方式组合起来，满足一定的要求2011.3 光学系统分类 按介质分界面形状分：球面系统：系统中的光学零件均由球面构成 非球面系统：系统中包含有非球面 共轴球面系统：系统光学零件由球面构成，并且具有一条

18、对称轴线今后我们主要研究的是共轴球面系统和平面镜、棱镜系统 按有无对称轴分：共轴系统：系统具有一条对称轴线，光轴 非共轴系统：没有对称轴线 2011.3成像基本概念透镜类型正透镜：凸透镜，中心厚，边缘薄，使光线会聚,也叫会聚透镜会聚：出射光线相对于入射光线向光轴方向折转 负透镜：凹透镜，中心薄，边缘厚，使光线发散，也叫发散透镜发散：出射光线相对于入射光线向远离光轴方向折转2011.3透镜作用成像AAA点称为物体A通过透镜所成的像点，A称为物点A为实际光线的相交点，如果在A处放一屏幕，则可以在屏幕上看到一个亮点，这样的像点称为实像点。A和A称为共轭点。A与A互为物像关系，在几何光学中称为“共轭”

19、。2011.3透镜成像原理正透镜：正透镜中心比边缘厚，光束中心部分走的慢，边缘走的快。AOPQPQOAPQ成实像2011.3负透镜:负透镜边缘比中心厚，所以和正透镜相反，光束中心部分走得快，边缘走得慢。AA成虚像2011.3思考：正透镜是否一定成实像？负透镜是否一定成虚像？2011.3完善成像：一个物点发出的球面波经过光学系统后仍然是以像点为球心的球面波，此像点即为物点的完善像点完善成像的条件：入射波面为球面波，出射波面也是球面波2011.3 名词概念 像：出射光线的交点 实像点：出射光线的实际交点 虚像点：出射光线延长线的交点 物：入射光线的交点 实物点：实际入射光线的交点 虚物点：入射光线

20、延长线的交点2011.3像空间：像所在的空间 实像空间：系统最后一面以后的空间 虚像空间：系统最后一面以前的空间 整个像空间包括实像和虚像空间物空间：物所的空间 实物空间：系统第一面以前的空间 虚物空间：系统第一面以后的空间 整个物空间包括实物和虚物空间注意：虚物的产生 虚像的检测2011.3 物像空间折射率确定物空间折射率：按实际入射光线所在的空间折射率计算像空间折射率 按实际出射光线所在的空间折射率计算2011.3第三节 光路计算与近轴光学系统一、基本概念与符号规则 求一物点的像，即求所有出射光线位置，交点就是该物点的像点。因为所有的球面的特性是一样的，只须导出光线经过一个球面折射时由入射

21、光线位置计算出射光线位置的公式,即球面折射的光路计算公式。因为所有出射光线位置的求法是相同的，只须找出求一条出射光线的方法即可。2011.3LrLIIQ表示光线位置的坐标物方截距：入射光线与光轴的交点A到球面顶点的距离L物方孔径角：入射光线与光轴的夹角U像方相应地用L、U表示2011.3符号规则实际光学系统中，光线和球面位置可能是各种各样的。为了使公式普遍适用于各种情况，必须规定一套符号规则。符号规则直接影响公式的形式2011.35O102011.3各参量的符号规则规定如下：1线段：由左向右为正，由下向上为正，反之为负。规定线段的计算起点：L、L由球面顶点算起到光线与光轴的交点r由球面顶点算起

22、到球心d由前一面顶点算起到下一面顶点2011.3d由前一面顶点算起到下一面顶点。2011.3 角度：一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。角度也要规定起始轴：U、U由光轴起转到光线；I、I由光线起转到法线；由光轴起转到法线，2011.3应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。推导公式时，也要使用符号规则。注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何图形上各量一律标注其绝对值，永远为正2011.3球面半径r折射率n、n入射光线坐标L、u 法线与光轴的夹角已知 求折射光线坐标L、U 二.单个折射球面光路计算公式 2011.3对APC应

23、用正弦定理得到 由此得到 (1-9)根据折射定律（1-5），可由入射角I求得折射角I （1-10）2011.3对APC和APC应用外角定理得到 =U+I=U+I 故 U=U+I-I （1-11）求得折射光线的一个坐标U2011.3对APC同样应用正弦定理 故 （1-12）L即可求出。L，U顺利求出。当L一定时，L是U的函数，同一物点发出的不同孔径的光线，出射后有不同的值,球差。2011.3 转面公式计算完第一面以后,其折射光线就是第二面的入射光线2011.3反射情形 看成是折射的一种特殊情形：n=n 把反射看成是n=n 时的折射。往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形，只需将n用n代入即

24、可，无需另行推导。2011.3三.球面近轴范围内成像性质和近轴光路计算公式 研究光线通过球面后的成像规律和特性找出理想成像的范围2011.3首先我们看一个例子 共轴球面系统中的光路计算举例 计算通过一个透镜的三条光线的光路。n1=1.0空气r1=10d1=5n1=n2=1.5163玻璃（K9）r2=-50n2=1.0空气2011.3 A距第一面顶点的距离为100，由A点计算三条和光轴的夹角分别为1、2、3度的光线：2011.32011.3上面计算了由轴上物点A发出的三条光线计算结果表明，三条光线通过第一个球面折射后，和光轴的交点到球面顶点的距离L1随着U1（绝对值）的增大而逐渐减小：2011.

25、3 这说明，由同一物点A发出的光线，经球面折射后，不交于一点。球面成像不理想。U1越小，L1变化越慢。当U1相当小时，L1 几乎不变。靠近光轴的光线聚交得较好。光线离光轴很近则，U、U、I、I都很小。2011.3 正弦都展开成级数：将展开式中以上的项略去，而用角度本身来代替角度的正弦，即令公式组中 得到新的公式组 2011.3转面公式：上述公式称为近轴光线的光路计算公式。2011.3 靠近光轴的区域叫近轴区，近轴区域内的光线叫近轴光线 近轴光路计算公式有误差 相对误差范围 问题：u=0的光线是不是近轴光线2011.3 近轴光线的成像性质 1.轴上点由轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后

26、聚交于轴上同一点 轴上物点用近轴光线成像时，符合理想 计算近轴像点位置时，u1可任取2011.3假设B点位在近轴区，当用近轴光线成像时，也符合理想，像点B位在B点和球心的连线上（辅助轴上）轴外点 结论：位于近轴区域内的物点，利用近轴光线成像时，符合（近似地）点对应点的理想成像关系。2011.3 近轴光路计算的另一种形式 光线的位置:L,L,u,u 在有些情况下，采用光线与球面的交点到光轴的距离h以及光线与光轴的夹角u,u表示比较方便,h的符号规则是：h以光轴为计算起点到光线在球面的投射点 2011.3 将公式 展开并移项得：同样可得：显然 ,代入上式，并在第一式两边同乘以n，第二式两侧同乘以n

27、2011.3将以上二式相减，并考虑到得：转面公式第二公式两侧同乘以u1,得：这就是另一种形式的近轴光路计算公式。2011.3把公式（2-11）两侧同除以h，得：将 代入上式，即可得到以下常用的基本公式：或者式中Q称为阿贝不变量近轴光学基本公式2011.3一.单个折射面成像1.垂轴放大率：=1的一对共轭面第四节 球面光学成像系统用y和y表示物点和像点到光轴的距离。符号规则：位于光轴上方的y、y为正，反之为负。y/y称为两共轭面间的垂轴放大率，用表示 2011.3 由图得 或 移项并通分，得：2011.3近轴光学基本公式的作用近轴光学公式只适于近轴区域，有什么用？第一，作为衡量实际光学系统成像质量

28、的标准。用近轴光学公式计算的像，称为实际光学系统的理想像。第二，用它近以地表示实际光学系统所成像的位置和大小。今后把近轴光学公式扩大应用到任意空间2011.3 垂轴放大率与物距和像距有关，当物像共轭面确定，垂轴放大率就确定了。若0，y与y同号，成正像 若0，L与L同号，物像虚实相反 若1，|y|y|，成放大的像|1，|y|y|，成缩小的像2011.3 当物平面沿着光轴移动微小的距离dl时，像平面相应地移动距离dl，比例 称为光学系统的轴向放大率，用表示。2.轴向放大率2011.3根据公式 求上式对l和l的微分，得有 同时有 折射球面的轴向放大率恒为正 轴向放大率与垂轴放大率不等 2011.33

29、.角放大率 角放大率是共轭面上的轴上点A发出的光线通过光学系统后，与光轴的夹角u和对应的入射光线与光轴所成的夹角u之比因为 有 2011.3三种放大率的关系 三种放大率并非彼此独立，而是互相联系的2011.3例1：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上。试求：箭头经玻璃棒成像后的像距为多少？整个玻璃棒的垂轴放大率为多少？解 已知参数：两端面的半径、间隔和玻璃棒材料的折射率n，以及物体的位置和大小，求经玻璃棒之后所成像的位置和大小。2011.3首先计算物体(箭头)经第一球面所成像的位置和垂

30、轴放大率，利用公式，有 将 代入得第一球面所成的像作为第二球面的物，根据转面公式求出第二面物距2011.3又已知 对第二球面得求得像距:即箭头经玻璃棒成像后，所成的像位于第二球面前方400mm处。垂轴放大率：整个玻璃棒的垂轴放大率应为第一球面放大率和第二球面放大率的乘积 =12=（-1）3=-32011.3 物像空间不变式 物像空间不变式:拉格朗日一亥姆霍兹不变式代表实际光学系统在近轴范围内成像的一种普遍特性 我们先考察单个折射球面的情形然后再考察共轴球面系统 2011.3根据单个折射球面近轴范围内的放大率公式 当光线位在近轴范围内时：由以上二式得 由此得到 2011.3以上是单个折射球面物像

31、空间存在的关系。对于由多个球面组成的共轴系统来说有由此得出对任意一个像空间来说，乘积nu y总是一个常数，用J表示：J=nuy=nuy 这就是物像空间不变式。J称为物像空间不变量，或拉格朗日不变量。2011.3把上述近轴范围内的物像空间不变式推广到整个空间，就得到理想光学系统的物像空间不变式。角放大率等于：得这就是理想光学系统的物像关系不变式。当物像空间的介质相同（如空气）时，变成：ytgU=ytgU反射时，每经过一次反射，介质的折射率的符号改变一次。奇数次反射，符号相反；偶数次反射，则符号相同。2011.3物像空间不变式的物理意义能量守恒 当折射率一定时，输入的总能量是nuy，输出的总能量是

32、nuy，根据能量守恒，二者相等。若y增大，则u减小，即像增大，则变暗若u增大，则y减小，即要像变亮，则像需减小2011.3二.球面反射成像物像关系式因为n=-n，有2011.3成像放大率拉赫不变量当物点位在球心：2011.3例2：凹面反射镜半径为-400，物体放在何处成放大两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？解 根据近轴光学基本公式可以得到单个球面的物像关系，反射情形可以看作是n=-n=1的折射，将n=-n=1代入以上两式，可得对于反射镜，实物成实像时，物和像均在球面镜的同一侧，此时0。根据题意，实物成实像时，=2，有同理，实物成虚像时，=2，重复上述运算，可得 =100，也就是说：当物体放

33、在反射镜前100mm处时，可在镜面后成一放大2的虚像。2011.3三.共轴球面系统对于由多个球面组成的共轴系统来说有由此得出对于宽光束同样有2011.3成像放大率对于由多个球面组成的共轴系统来说有还可得出2011.3例3：由两个同心的反射球面(二球面球心重合)构成的光学系统，按照光线反射的顺序第一个反射球面是凹的，第二个反射球面是凸的，要求系统的像方焦恰好位于第一个反射球面的顶点，求两个球面的半径r1，r2和二者之间的间隔d之间的关系。2011.3例3：由两个同心的反射球面(二球面球心重合)构成的光学系统，按照光线反射的顺序第一个反射球面是凹的，第二个反射球面是凸的，要求系统的像方焦恰好位于第一个反射球面的顶点，求两个球面的半径r1，r2和二者之间的间隔d之间的关系。解 利用公式对于第二反射镜有因为设平行光入射，第一面的物距为无限大所以或2011.3例4：位于空气中的一个平凸透镜对某一物平面成像，已知透镜前表面半径 ，后表面半径 ，透镜介质折射率为n，若物体恰好成像在透镜的后表面上，垂轴放大率为。证明：此透镜的中心厚度d与垂轴放大率之间存在关系 证明：对第一个表面，又因此2011.3 作业：P.14,16,17,18