chap1概率论的基本概念课件.ppt

1、第一章 随机事件与概率自然界中有两类现象：一类称为确定性现象，如：向上抛一石子必然下落，同性电荷互斥另一类称为不确定性现象，如：在相同条件下抛一枚硬币，其结果可能正面朝上也可能反面朝上；在一次射击之前，无法预测弹着点的确切位置这类不确定现象，人们经过长期实践并深入研究之后发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种规律性这种在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，就是我们以后所说的统计规律性统计规律性这类在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象随机现象概率论所研究的是随机现象的数量规律概率论的中心课题中心课题就是要给“可

2、能性”以确切的描述，并给出科学的估计方法，它是一门从数量的角度研究随机现象内部隐藏的必然规律的学科数理统计是一门有趣的学科，它为科研工作者提供所必需的科学方法，利用这些方法去收集数据，并用来确定所需的数据量通过样本进行推断，并且度量它们的不确定性，从而做出有意义的决定第一节随机事件在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验如：抛一枚硬币，观察正面，反面出现的情况：将一枚银币抛掷三次，观察正面，反面出现的情况：将一枚银币抛掷三次，观察出现正面的次数1、随机试验随机试验的特点：可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止

3、一个，并且能事先明确试验的所有可能结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现2样本空间 定义：定义：我们将随机试验 的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为样本空间的元素，即的每个结果称为样本点S1:H,TS2:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTS3:0,1,2,3S4:1,2,3,4,5,6S5:0,1,2,3,S6:tt0S7:(x,y)T0XYT1,这里x表示最低温度，y表示最高温度并设这一地区温度不会小于T0，也不会大于T1.3随机事件定义：定义：一般，我们称试验的样本空间的子集为的随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，

4、称这一事件发生特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件样本空间包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件4事件间的关系与事件的运算设试验E的样本空间S,而是 S的子集.若 则称事件B包含事件，这指的是事件发生必导致事件发生若 且 ，即 。则称事件A与事件B相等。2.事件 称为事件A与事件B的和事件。当且仅当中A，B至少有一个发生时，事件 发生。KABA,BA BA AB BA BxorAxBABA类似地，称knkA1为n个事件nAAA,2,1的和事件；称kkA1为可列个事件,2

5、,1AA的和事件。3.事件,BxandAxxBA称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A,B同时发生时,事件BA发生.BA也记作AB类似地，称knkA1nAAA,2,1为n个事件的积事件；称kkA1,2,1AA为可列个事件的积事件4.事件称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生,B不发生时,事件,BxandAxxBA,BxandAxxBA发生5.若则称事件A与B是互不相容的,或互斥的.这指的是事件A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.BA6.若BAandSBA则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A与事件B互为对立事件.记 AB 注:对立事件与互斥事件的区别:1.两事件对立必定互斥,

6、但互斥不一定对立2.互斥的概念适用于多个事件,但对立的概念只适用于两个事件3.两事件互斥只表明两事件不能同时发生,即至多只能发生一个但可以都不发生;两事件对立则表示有且仅有一个发生.事件的运算定律:设A,B,C为事件,则有交换律:结合律:分配律:德.摩根律:ABBAABBA;CBACBACBACBA)()()()()()()()()()(CABACBACABACBABABABABA此外还有，吸收律、重余律、幂等律、差化积:ABABABA例1：一个盒子有十个完全相同的球，分别标以号码1，2，,10.从中任取一球.令i=取得球号为i,则S=1,2,10.若A=球的标号为偶数,B=球的标号0,则称则

7、称 (1)()()|(APABPABPSABAB条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.条件概率P(B|A)与P(B)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率.条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)设设A是一事件，且是一事件，且P(A)0,则则1.

8、对任一事件对任一事件B，0P(B|A)1;2.P(S|A)=1；3.设设B1,B 互不相容，则互不相容，则而且，前面对概率所证明的一些重要性质而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.11)()(iiiiABPABPn 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0 掷骰子掷骰子例：例：B=掷出掷出2点点，A=掷出偶数点掷出偶数点P(B|A）=31A发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中B所含样

9、本点所含样本点个数个数例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:)()()|(APABPABP解法2:2163)|(ABP解:设A=第一颗掷出6点 B=掷出点数之和不小于10应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算21366363例2：一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P（B|A）由条件概率的定义：即 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)()()|(APABPABP而 P(AB)=P(BA

10、)2、乘法公式若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若 P(B)0,则P(BA)=P(B)P(A|B)(2)和和(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式,利利用它们可计算两用它们可计算两个事件同时发生个事件同时发生的概率的概率当P(A1A2An-1)0时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式:例3：设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、第

11、二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率。例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。例5：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率？若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率,它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法

12、公式P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)03、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记解：记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球即即 ，且且 B1A、B2A、B3A两两互斥两两互斥A发生总是伴随着

13、发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，之一同时发生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式得123)()()(321ABABABA将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得 31)()()(iiiBAPBPAP代入数据计算得：代入数据计算得：P(A)=8/15P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)定义：设S为试验E的样本空间，n21B,B,B为E的一组事件。若SBBB)ii(n,2,1j,i,ji,BB)i(n21ji则

14、称为样本空间S的一个划分。n21B,B,Bn21B,B,B为样本空间的一个划分，那么对每次试验，事件n21B,B,B中必有一个且仅有一个发生。全概率公式全概率公式定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，nBBB,21为S的一个划分，且),2,1(0)(niBPi则)()|()()()()()()()(12211iniinnBPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(A)不易不易,但但A总是总是伴随着某个伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiBAPBPAP1)()()(全概率

15、公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果A是由原因是由原因Bi所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起A发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从

16、另一个角度去理解例3 甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品。从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取一个产品，求这个产品是正品的概率。例2 采购员要购买10个一包的电器元件，他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果3个元件都是好的，他才买下这一包，假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含一个次品。求采购员拒绝购买的概率。该球取自哪号箱的可能该球取自哪号箱的可能性最大性最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的

17、是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从中任意摸出一球，发现是红

18、球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.)()()|(11APABPABP记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球求求P(B1|A).3111)()()|()(kkkBAPBPBAPBP运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(该公

19、式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它它是在观察到事件是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致A发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式：设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S。A为为E的事件，的事件，B1,B2,Bn为为S的一个划分，且的一个划分，且P(A)0，ni,21),2,1(0)(niBPi则 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因.例例 4 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0

20、.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.CCC已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果

21、的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得:P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为概率为 P(CA)

22、=0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义有癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中

23、大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认.该球取自哪号箱的可能该球取自哪号箱的可能性最大性最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:下面我们再回过头来

24、看一下贝叶斯公式下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 niiiiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Bi)和和P(Bi|A)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不是在没有进一步信息（不知道事件知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸发生），人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计有了新

25、的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。例5 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.第六节第六节 两事件的独立性两事件的独立性B=第一次掷出第一次掷出

26、6点点，A=第二次掷出第二次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，独立时，有有 P(AB)=P(A)P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.两事件独立的定义两事件独立的定义例例1 从一副不含大

27、小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 前面我们是根据两事件独立的定义作前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的

28、 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立.则则 由于由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 P(A)=P(A|B),说明事件说明事件A、B独立独立.在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否

29、并不影响另一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）的概率）一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响第一次抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？即即:若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0,P(B

30、)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互斥不互斥.而而P(A)0,P(B)0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB)P(A)P(B)即即ABS 问：能否在样本空间问：能否在样本空间S中找两个事件中找两个事件,它们它们既相互独立又互斥既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 S和和P(S)=P()P(S)=0 与与S独立且互斥独立且互斥s不难发现，不难发现，与任何事件都独立与任何事件都独立.设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论

31、中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系前面我们看到独立与互斥的区别和联系.1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.B=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)BP(A )=P(A-A B)A、B独立独立故故A与与 独立独立.B概率的性质概率的性质=P(A)-P(A

32、)P(B)证明证明:仅证仅证A与与 独立独立B容易证明容易证明,若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时四个等式同时 P(AC)=P(A)P(C)成立成立,则称事件则称事件 P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互相互 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立独立.推广到推广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：包含等式总数为：包含

33、等式总数为：1201)11(32nnnnnnnnn对n个事件A1,A2.An，若对任意k=2,3,n和任意一组 都有,则称事件A1,A2.An是相互独立的.nii1k1)A(P)A(P)A(P)AAA(Pk21k21iiiiii请注意多个事件两两独立与相互独立请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三

34、人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用所求为所求为 P(A1 A2 A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3所求为所求为 P(A1+A2+A3)已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)6.0

35、534332541n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立,则则）nAAP1(1)(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21 也就是说，也就是说，n个独立事件至少有一个发生个独立事件至少有一个发生的概率等于的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(1nAAPnAAA,21则则“至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：n

36、AAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(21nAAAP=1-p1 pn)1()1(1)(11nnppAAP 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.它它们下方的数是它们各自正常工作的概率们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立，由于各元件独立工作，有工

37、作，有其中其中973.0)()()(EPDPCPP(C+D+E)=1-9375.0)()(GPFPP(F+G)=1-P(W)0.782代入得代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0 例例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概被两人击中而击落的概率为率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.设设A=飞机被击

38、落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)则则 A=B1A+B2A+B3A求解如下求解如下:依题意，依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1于是于是 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.141、要验收一批（10

39、0件）乐器，验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一批音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接收的概率是多少？一位老战士向新伙伴介绍经验；当敌一位老战士向新伙伴介绍经验；当敌人向我们的阵地打炮时，你最好滚到新弹人向我们的阵地打炮时，你最好滚到新弹坑里藏身坑里藏身.因为短时间内不大可能有两发因为短时间内不大可能有两发炮弹落到同一个地点！炮弹落到同一个地点！”他说

40、得对吗？他说得对吗？这种想法的产生，是因为他们没有认这种想法的产生，是因为他们没有认识到独立事件的识到独立事件的“独立独立”性性.一发炮弹落一发炮弹落在什么地方，和另一发炮弹之间没有关系在什么地方，和另一发炮弹之间没有关系，它们是相互独立的，它们是相互独立的.类似地，昨天从香港飞往纽约的飞机类似地，昨天从香港飞往纽约的飞机是否失事，与今天从北京飞往上海的飞机是否失事，与今天从北京飞往上海的飞机是否安全它们是相互独立的事件是否安全它们是相互独立的事件.头胎头胎生女生男与二胎生男生女，前几次掷硬币生女生男与二胎生男生女，前几次掷硬币的结果与下一次出正面还是反面，都是彼的结果与下一次出正面还是反面，都是彼此独立的此独立的.