32简单的三角恒等变换课件.ppt

1、学习了简单的和（差）角公式，倍学习了简单的和（差）角公式，倍角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒等变化，比如已知等变化，比如已知2求求，已知，已知y=sin2xcos2x,求最小正周期、最大最小求最小正周期、最大最小值、单调区间是否能求呢值、单调区间是否能求呢?通过复习前面所学过的公式，以已通过复习前面所学过的公式，以已有的十一个公式为依据，可以解决简单有的十一个公式为依据，可以解决简单的三角变换的，就可以解决比如已知的三角变换的，就可以解决比如已知cos的三角函数值，求的三角函数值，求/2的三角函数的三角函数值以及诸如通过三角恒等变化求最值得值以及诸如通过三角

2、恒等变化求最值得问题。问题。简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式。、两角和与差的正弦、余弦、正切公式。2 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式。、二倍角的正弦、余弦、正切公式。3 3、利用公式进行简单的恒等变形。、利用公式进行简单的恒等变形。4 4、三角恒等变换在数学中的应用。、三角恒等变换在数学中的应用。1 1、以已有的公式为依据，以推导、以已有的公式为依据，以推导半角公式、积化和差、和差化积作为基半角公式、积化和差、和差化积作为基本训练。本训练。2 2、学习三角变换的内容、思路和、学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三方法，在与代数

3、变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理运算能力。角变换的特点，提高推理运算能力。1 1、培养学生联系变化的观点。、培养学生联系变化的观点。2 2、认识三角变换的特点，并能运用、认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换教程的设计，不断数学思想方法指导变换教程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。提高从整体上把握变换过程的能力。引导学生以已有的十一个公式为依据，引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会

4、三路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。角变换的特点，提高推理、运算能力。认识三角变换的特点，关能运用数认识三角变换的特点，关能运用数学思想方法指导变换教程中的计，不断学思想方法指导变换教程中的计，不断高从整体上把握变换过程的能力。高从整体上把握变换过程的能力。)cos(sinsincoscos1、两角和与差的余弦公式：、两角和与差的余弦公式：2、两角和与差的正弦公式：两角和与差的正弦公式：sin()sincossinsin3、两两角和与差的切公式：角和与差的切公式：tantantan()1tantan1222 coscos 2212sincos R coss

5、insin22 222sincoscos 2122tantantan 4、二倍角公式、二倍角公式,且且 ，42 k2 k Z kR学习了上述公式，我们就有了进行三角学习了上述公式，我们就有了进行三角变换的新工具。从而使三角变换的内容、思变换的新工具。从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台。运算能力提供了新的平台。：2221cossin,cos,tan222例试以表示22cos2=1-2sin 2cos2=2cos-12、。分析：是的二倍角，分别将公式中的 换成即可2 cos2=1-2sin解：由得2cos=1-

6、2sin221-cossin=22所以2cos=2cos-122cos2=2cos-1由得21+coscos=22所以21-cos1-cos2tan=1+cos21+cos21-cossin=221+coscos=221-cossin1-costan=21+cos1+cossin半角公式：半角公式：注意：1sincostan2222、。（）的符号有所在的象限决定(2)正切半角公式的推导：sinsin2cos222tan=2coscos2cos222sin=1+cossinsin2sin222tan=2coscos2sin2221-cos=sin代数变换与三角变换的不同：代数变换与三角变换的不同

7、：三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的关系，并以此为依据选择可以各个角之间的关系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式。联系它们的适当公式。代数变换往往着眼于式子结构形式的变换。代数变换往往着眼于式子结构形式的变换。：21(1)sincos=sin(+)+sin(-)2+-(2)sin+sin=2sincos22例求证：证证明明：(1)(1)sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossin将上两式相加得sin(+)+sin(-)=2sincos1sincos=sin(+)+sin(-)2即积化和差公式：1sinc

8、os=sin(+)+sin(-)21cossin=sin(+)-sin(-)21coscos=cos(+)+cos(-)21sinsin=cos(+)-cos(-)2(2)sin(+)+sin(-)=2sincos，+=-=设+-=22，。那么、把的值代入上式得+-sin+sin=2sincos22。和差化积公式：+-sin+sin=2sincos22+-sin-sin=2cossin22+-cos+cos=2coscos22+-cos-cos=-2sinsin22在本例中，用到换元的思想，如把在本例中，用到换元的思想，如把+看作看作，把，把看作看作 ，从而把包含，从而把包含、的三角函数式变换

9、成的三角函数式变换成、的三角函数式，的三角函数式，另外，把另外，把 看作看作x，看作看作y，把等式看作，把等式看作x、y的方程，通过解的方程，通过解方程求的方程求的x，就是方程思想的体现，就是方程思想的体现.sincoscossiny=sinx+3cosx。例3：求函数的周期，最大值和最小值y=sinx+3cosx解：13=2(sinx+cosx)22=2(sinxcos+cosxsin)33=2sin(x+)322-2。所以，所求函数的周期为，最大值为，最小值为例例4:如图，已知如图，已知OPQ是半径为是半径为1，圆心角为，圆心角为 的扇形，的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形弧上的动点，AB

10、CD是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记COP=COP=，问当角，问当角 取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积最大？的面积最大？并求出这个最大面积。并求出这个最大面积。3OABPCDQ分析分析:在求当在求当取何值时取何值时,矩形矩形ABCDABCD的面积的面积S S最最大大 ,可分二步进行可分二步进行:(1)(1)找出找出S S与与之间的函数关系之间的函数关系;(2)(2)由得出的函数关系由得出的函数关系,求求S S的最大值。的最大值。RtOBCOB=cos,BC=sin解：在中，o，DARtOAD=tan60=3OA在中333OA=3DA=BC=sin333所以3AB=OB

11、-OA=cos-sin3所以，ABCDS设矩形的面积为则S=AB BC3=(cos-sin)sin323=sincos-sin 313=sin2-(1-cos2)26133=sin2+cos2-2661313=(sin2+cos2)-226313=sin(2+)-6630 3由,得2o 2 35 2+0452k+x 2k+kZ4452k+2k+kZ440 1a 22sinx=131f(x)=a-42当即时当即时当时大2a 0a 2)42aa1M(a)=-+(0a2)4421a-(a 0)2410(2)M(a)=2a=a=-63当即时时即当时,解 得或1、证明：、证明：sinsin2cos222

12、tan=2coscos2cos222sin=1+cossinsin2sin222tan=2coscos2sin2221-cos=sin2、证明：、证明：(1)sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossin将上两式相减得sin(+)-sin(-)=2cossin1cossin=sin(+)-sin(-)2即(2)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin将上两式相加得cos(+)+cos(-)=2coscos1coscos=cos(+)+cos(-)2即(3)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos

13、+sinsin将上两式相减得cos(+)-cos(-)=-2sinsin1sinsin=-cos(+)+cos(-)2即3、证明：、证明：(1)sin(+)-sin(-)=2cossin，+=-=j设+-=22，。那么、把的值代入上式得+-sin-sin=2cossin22。(2)cos(+)+cos(-)=2coscos，+=-=设+-=22，。那么、把的值代入上式得+-cos+cos=2coscos22。(3)cos(+)-cos(-)=-2sinsin，+=-=设+-=22，。那么、把的值代入上式得+-cos-cos=-2sinsin22。，(3)y=2sin(4x+),325kk-+,+kZ,2;242242最小正周期为递增区间为最大值为、，(2)y=cosx+2,2+2k,2+2kkZ,3;最 小 正 周 期 为递 增 区 间 为最 大 值 为，1(1)y=sin4x,22kk1-+,+(kZ),;82822最 小 正 周 期 为递 增 区 间 为最 大 值 为