22二项分布及其应用课件.pptx

1、2.1 离散型随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第二章 小结2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.2 二项分布及其应用条件概率2.2.1返回目录 1.什么是条件概率?条件概率与两个事件同时发生的概率有什么区别?2.怎样计算条件概率?它有些什么计算公式?学习要点 问题1.买摇奖的体育彩票时,是否是先买的比后买的中奖率高?如果是某商店促销的括括奖又如何呢?要回答这个问题,我们不妨把奖券数设少一点.设有三张奖券中只有一张能中奖,由三名同学无放回地抽取,看看他们中奖的概率.设

2、三名同学为 1,2,3,奖券为 X1,X2,Y,Y 为那张中奖奖券.列出他们抽奖的全部结果如下:1 2 3X1 X2 Y1 2 3X1 Y X21 2 3X2 X1 Y1 2 3X2 Y X11 2 3Y X1 X21 2 3Y X2 X1不管先后,中奖的概率都是 问题1.买摇奖的体育彩票时,是否是先买的比后买的中奖率高?如果是某商店促销的括括奖又如何呢?要回答这个问题,我们不妨把奖券数设少一点.设有三张奖券中只有一张能中奖,由三名同学无放回地抽取,看看他们中奖的概率.问:如果已经知道第一位同学没有抽到中奖奖券,其他两位同学的中奖率又如何呢?1 2 3X1 X2 Y1 2 3X1 Y X21

3、2 3X2 X1 Y1 2 3X2 Y X11 2 3Y X1 X21 2 3Y X2 X1其他两位中奖的概率都是去掉第一位同学中奖的抽奖结果:已知第一位中奖与否,影响了另外两位中奖的概率.在三位同学抽奖的问题中,我们设第一位没有抽到奖券为事件 A,第三位抽到奖券为事件 B,在 A 发生的条件下 B 发生的概率用 P(B|A)表示.在 A 发生的条件下 B 发生等价于 A 和 B 同时发生,其基本事件个数记为 n(AB);在 A 发生的条件下的基本事件总数为 n(A).由古典概型得 (n(W)为全体基本事件个数)即 可以通过事件A和事件AB的概率来表示P(B|A).一般地,设 A,B 为两个事

4、件,且 P(A)0,称为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率,P(B/A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.条件概率具有概率的性质,0P(B|A)1如果 B 和 C 是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).问题2.P(AB)与P(B|A)各表示什么意思?它们有什么关系?(1)P(AB)表示事件 A 发生且事件 B 发生的概率.(2)P(B|A)表示事件 A 已知经发生的情况下事件B 发生的概率.(1)描述的是事件 A、B 同时发生的可能性.(2)描述的是事件 A 已经发生的情况下,事件 BP(AB),当且仅当事件 A 是必然事件时等号成立.发生的可能性

5、.例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(1)只要求第 1 次抽到理科题,第二次抽到什么题没可以.设第 1 次抽到理科题为事件 A,则 例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(1)在 5

6、道题中抽 1 道题,恰抽到理科题的概率.也可理解为:只要求第 1 次抽到理科题,与第二次无关,例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(2)不仅第 1 次抽到理科题,且第二次也抽到理科题.设第 2 次抽到理科题为事件 B,则 例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概

7、率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题是条件概率,其概率为由(1)得由(2)得 例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题是条件概率,其概率为 条件概率可以直接用基本事件数计算.例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某

8、人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=).(211AAA而且事件 A1 与事件 互斥.(1)得 P(A)=例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解

9、:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与事件 互斥.(2)最后位是偶数,即在 5 个偶数中选择按键,有 例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与事件 互斥.(2)可理解为在按偶数的条件下不超过 2

10、 次按对密码.设“按偶数”为事件 B,即 例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与事件 互斥.(2)可理解为在按偶数的条件下不超过 2 次按对密码.设“按偶数”为事件 B,即练习:(课本54页)1.从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次,每次抽 1 张

11、,已知第一次抽到 A,求第二次也抽到 A 的概率.解:52 张扑克牌中有 4 张 A,设“第 i 次抽到A”为事件 Xi(i=1,2).则在第一次抽到 A 的条件下,第二次也抽到 AP(X2|X1)的概率为或 2.100件产品中有 5 件次品,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 件,已知第一次抽出的是次品,求第二次抽出正品的概率.解:设“第一次抽出次品”为事件 A,则P(A)=设“第二次抽出正品”为事件 B,则P(AB)=则在第一次抽出次品的条件下第二次抽出正品的概率为【课时小结】1.条件概率 在已知事件 A 已经发生的条件下,事件 B 发生的概率称为条件概率,记作 P(B|A).P(B|A)不

12、等同于 P(AB).P(AB)描述的是事件 A、B 同时发生的可能性.P(B|A)描述的是在事件 A 已经发生的情况下,事件 B 发生的可能性.【课时小结】2.条件概率的计算公式0P(B|A)1.如果 B 和 C 是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率.解:设“摸到的都是白球”为事件 A,则(1)所以,摸出 n 个球都是白球的概率为习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-

13、1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率.解:(2)再设“摸到的 n 个球颜色相同”为事件 C=AB,又设“摸到的都是黑球”为事件 B,则则P(C)=P(A)+P(B)习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率.解:(2)再设“摸到的 n 个球颜色相同”为事件 C=AB,又设“摸到的都是黑球”为事件 B,则则P(C)=P(A)+P(B)则在摸出球颜色相同的情况下是白球的概率为因为摸

14、出的球既是同色且是白色的概率就是P(A),所以 P(CA)=P(A)4.设事件 A,B,C 满足条件 P(A)0,B 和 C 互斥,试证明:P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).证明:=P(B|A)+P(C|A)=右边.2.2.2事件的相互独立性返回目录1.什么是相互独立事件?2.相互独立事件同时发生的概率怎样计算?学习要点 问题1.三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件 A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件 B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”,事件A 的发生会影响事件 B 发生的概率吗?有放回地抽取,不管事件 A 是否发生,B 依然是从原来的 3 张奖券中抽

15、取,不受影响.P(B|A)=P(B).P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).在上述情况下,A、B 同时发生,是在 A 发生的由此得:条件下 B 也发生,得 设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立.反之,在一次试验中,事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,事件 B 是否发生对事件 A 发生的概率也没有影响,事件 A 和 B 就叫做相互独立事件.则P(AB)=P(A)P(B).如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立.问题2:下面的各组事件是否是相互独立事件?甲坛子里有 3

16、 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个坛子里分别摸出 1 个球.(1)甲坛子摸出白球,乙坛子摸出白球;(2)甲坛子摸出的不是白球,乙坛子摸出白球;(3)甲坛子摸出白球,乙坛子摸出的不是白球;(4)甲坛子摸出的不是白球,乙坛子摸出的不是白球.(1)A 与 B 相互独立.(2)A 与 B 相互独立.(3)A 与 B 相互独立.(4)A 与 B 相互独立.例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定

17、号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码”为事件 A,“第二次抽到指定号码”为事件 B.(1)“两次都抽到指定号码”则为事件AB.则 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025.事件 A 与 B 相互独立.例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码

18、”为事件 A,“第二次抽到指定号码”为事件 B.(2)“恰有一次抽到指定号码”为事件事件 A 与 B 相互独立.=0.050.95+0.950.05=0.095.则 例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码”为事件 A,“第二次抽到指定号码”为事件 B.(3)“至少有一次抽到指定号码”为事件事件 A 与 B 相互独立.=

19、0.095+0.050.05=0.0975.则 例(补充).一个同学投篮一次的命中率是 0.6,他连投 3 次,假设每次投中与否互不影响,计算:(1)3 次都投中的概率;(2)只第二次不中的概率;解:(1)设第一、二、三次投中分别为事件 A、B、C.每次投中与否互不影响,事件 A、B、C 是相互独立事件,“3 次都投中”的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.60.60.6=0.216.答:3 次都投中的概率是 0.216.例(补充).一个同学投篮一次的命中率是 0.6,他连投 3 次,假设每次投中与否互不影响,计算:(1)3 次都投中的概率;(2)只第二次不中的概率;解:(2)设

20、第一、二、三次投中分别为事件 A、B、C.每次投中与否互不影响,事件 A、B、C 是相互独立事件,“只第二次不中”的概率为=0.60.40.6=0.144.答:只第二次不中的概率是 0.144.练习:(课本55页)第 1 题.(补充1).某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 3 次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他仅第 3 次未击中的概率多少?(补充2).制造一种零件,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05.从它们制造的产品中各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少?练习:(课本55页)1.分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币,设“第 1 枚为正面”

21、为事件 A,“第 2 枚为正面”为事件 B,“2枚结果相同”为事件 C,A,B,C 中哪两个相互独立?解:抛掷 2 枚硬币的基本事件数n(A)=2;n(W)=4.根据古典概型得A 与 B,A 与 C,B 与 C 都相互独立.事件 A 的基本事件数n(B)=2;事件 B 的基本事件数n(C)=2.事件 C 的基本事件数AB 同时发生的基本事件数n(AB)=1;AC 同时发生的基本事件数n(AC)=1;BC 同时发生的基本事件数n(BC)=1.(补充1).某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 3 次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他仅第 3 次未击中的概率多少?设第

22、1、2、3 次击中目标分别为事件A、B、C.解:“仅第 3 次未击中”的概率为=0.90.90.1=0.081.答:仅第 3 次未击中的概率是 0.081.各次射击是否击中相互之间没有影响,那么事件相互独立.(补充2).制造一种零件,甲机床的废品率是 0.04,乙机床的废品率是 0.05.从它们制造的产品中各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少?解:设“甲产品中抽出 1 件,是废品”为事件A,“乙产品中抽出 1 件,是废品”为事件 B.A、B 相互独立.“其中恰有 1 件废品”为:则所求概率为=0.960.05+0.040.95=0.086.答:其中恰有 1 件废品的概率是 0.08

23、6.甲、乙产品中抽取互不影响,【课时小结】相互独立事件 设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立.【课时小结】相互独立事件 反之,在一次试验中,事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,事件 B 是否发生对事件 A 发生的概率也没有影响,事件 A 和 B 就叫做相互独立事件.则P(AB)=P(A)P(B).【课时小结】相互独立事件如果事件 A 与 B 相互独立,那么也都相互独立.即P(AB)=P(A)P(B).2.一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球.(1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?(2)先摸出 1

24、 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?解:设“先摸出一个白球”为事件 A,“再摸出一个白球”为事件 B,(1)被第一次摸出了 1 个白球后,袋中只有 3 个球,其中 1 个是白球,则再摸出1个白球的概率是 2.一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球.(1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?(2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?解:设“先摸出一个白球”为事件 A,“再摸出一个白球”为事件 B,(2)先摸出白球后放回,则袋中球还是 2 白 2 黑.3.天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2,乙地的降雨概率是 0.3,假定在这段时间

25、内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:(1)甲、乙两地都降雨的概率;(2)甲、乙两地都不降雨的概率;(3)其中至少一个地方降雨的概率.解:设甲地降雨为事 A,乙地降雨为事件 B.由题设知 A 与 B 相互独立.(1)p=P(AB)=P(A)P(B)=0.20.3=0.06.(2)=0.80.7=0.56.(3)=1-0.56“其中至少一个地方降雨”与“两地都不降雨”互斥,则=0.44.4.如果事件 A 与事件 B 相互独立,试证明 A 与B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立.证明:则相互独立.同理,得 相互独立.4.如果事件 A 与事件 B 相互独立,试证明 A 与B,A 与

26、B,A 与 B 也都相互独立.证明:相互独立.2.2.3独立重复试验与二项分布返回目录1.什么是独立重复试验?3.怎样计算 n 次独立重复试验中,事件 A 恰有 k 次发生的概率.学习要点2.什么叫二项分布?问题1.一枚图钉抛掷 1 次,设针尖向上的概率为p,那么针尖向下的概率是多少?如果连续抛掷 3 次,各次针尖向上是否相互独立?3 次中恰有 1 次针尖向上的概率是多少?恰有 2 次针尖向上呢?抛掷 1 次图钉,针尖不向上就向下,针尖向上和针尖向下是对立事件.针尖向上的概率为 p,则针尖向下的概率为 1-p.如果连续抛掷 n 次,各次是否针尖向上相互独立.一般地,在相同条件下重复做 n 次试

27、验称为 n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件 A1,A2,An 相互独立,P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An).问题1.一枚图钉抛掷 1 次,设针尖向上的概率为p,那么针尖向下的概率是多少?如果连续抛掷 3 次,各次针尖向上是否相互独立?3 次中恰有 1 次针尖向上的概率是多少?恰有 2 次针尖向上呢?连续抛掷 3 次图钉,设“针尖向上”为事件 Ai,(i=1,2,3).“有 1 次针尖向上”的结果如下:概率为:p(1-p)(1-p)+(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p=3p(1-p)2.是从 3 次独立重复试验中取 1 次发生,取 2 次不发生,即 (问

28、:若 P(A)=p,同学们能类推在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰有 k 次发生的概率吗?)一般地,有 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率.如:抛掷 3 次图钉,即为 3 次独立重复试验,n=3.恰有 1 次针尖向上,即 k=1.其概率为=3p(1-p)2.恰有 2 次针尖向上,即 k=2,其概率为=3p2(1-p).问题2.假设抛一次图钉针尖向上的概率是 0.6,你能作出抛 5 次图钉,针

29、尖向上的次数 X 的分布列吗?每次抛图钉针尖是否向上互不影响,出现针尖向上的次数 X 服从二项分布:XB(5,0.6).P(X=k)=C5k0.6k(1-0.6)5-k,k=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=C500.600.45P(X=1)=C510.610.44=0.01024.=0.0768.P(X=2)=C520.620.43=0.2304.P(X=3)=C530.630.42=0.3456.P(X=4)=C540.640.41=0.2592.P(X=5)=C550.650.40=0.07776.问题2.假设抛一次图钉针尖向上的概率是 0.6,你能作出抛 5 次图钉,针尖向上的次数

30、 X 的分布列吗?每次抛图钉针尖是否向上互不影响,出现针尖向上的次数 X 服从二项分布:XB(5,0.6).P(X=k)=C5k0.6k(1-0.6)5-k,k=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=C500.600.45P(X=1)=C510.610.44=0.01024.=0.0768.P(X=2)=C520.620.43=0.2304.P(X=3)=C530.630.42=0.3456.P(X=4)=C540.640.41=0.2592.P(X=5)=C550.650.40=0.07776.分布列为:X012345P(xi)0.010240.07680.23040.34560.25920

31、.07776 问题3.根据二项分布的概率公式 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,你能求出 k 从 0 到 n 的 n+1 项和吗?这是一个二项展开式,其二项式为p+(1-p)n=1n=1.即(1)二项分布的命名思想基于此.(2)一个事件所有结果的概率和为 1.例4.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率;(2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解:设击中目标的次数为 X,则 X 服从二项分布,即射手各次是否击中目标相互独立.XB(10,0.8).(1)射击 10 次恰有 8 次击中目标的概率为P(X=

32、8)0.30.例4.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率;(2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解:设击中目标的次数为 X,则 X 服从二项分布,即射手各次是否击中目标相互独立.XB(10,0.8).(2)射击 10 次至少有 8 次击中目标的概率为P(X8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)0.302+0.268+0.1070.68.练习:(课本58页)1.生产一种产品共需 5 道工序,其中 1 至 5 道工序的生产合格率分别为 96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取 1

33、件,抽到合格品的概率是多少?解:成品中的合格品必须 5 道工序都合格.因为产品在 5 道工序中是否合格相互独立.所以 P(A1A2A5)=P(A1)P(A2)P(A5)设各道工序中产品合格为事件 Ai,i=1,2,5,则成品中任抽 1 件合格的概率为P(A1A2A5).=0.960.990.980.970.960.87=87%.2.将一枚硬币连续抛掷 5 次,求正面向上的次数X 的分布列.解:抛掷硬币各次是否正面向相互独立,则X 服从二项分布,即XB(5,0.5).P(X=0)=C50(1-0.5)5=0.03125;P(X=1)=C510.5(1-0.5)4=0.15625;P(X=2)=C

34、520.52(1-0.5)3=0.3125;P(X=3)=C530.53(1-0.5)2=0.3125;P(X=4)=C540.54(1-0.5)=0.15625;P(X=5)=C550.55=0.03125.X012345P0.03125 0.156250.31250.32150.15625 0.03125 3.若某射手每次射击击中目标的概率是 0.9,每次射击的结果相互独立,则在他连续 4 次的射击中,第1 次未击中目标,但后 3 次都击中目标的概率是多少?解:设每次击中目标为事件 Ai,i=1,2,3,4,Ai 相互独立.所以第1 次未击中目标,但后 3 次都击中目标的概率为=0.10.

35、93=0.0729.【课时小结】1.n 次独立重复试验 在相同条件下重复做 n 次试验称为 n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件 A1,A2,An 相互独立.P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An).【课时小结】2.二项分布 n 次独立重复试验中,设事件 A 每次试验发生的概率为 p,则 n 次试验中,事件 A 恰有k 次发生的概率为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率.习题 2.2A 组 1.某盏吊灯上并联着 3 个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 0

36、.7,那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少?解:每个灯泡能否照明相互独立,设能正常照明的灯泡数为 X,则 X 服从二项分布,即 XB(3,0.7).于是得吊灯能照明的概率为P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.189+0.441+0.343=0.973.3.如果生男孩和生女孩的概率相等,求有 3 个小孩的家庭中至少有 2 个女孩的概率.解:由题设得生女孩的概率为 0.5.由于生男孩与生女孩设这个家庭有女孩的个数为 X,相互独立,所以 X 服从二项分布,即 XB(3,0.5).这个家庭中至少有 2 个女孩的概率为P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=0.5.(问:这一结果

37、是否说明一半的人家都女孩偏多?)其实至多只有一个女孩的概率也是 0.5.B 组 1.甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?你对局制长短的设置有何认识?解:设甲胜的局数为 X,X 服从二项分布.采用 3 局 2 胜制时,需甲前两局胜,或前两局胜1 局且第 3 局胜.其概率为p=0.62+=0.648.采用 5 局 3 胜制时,需甲前 3 局胜,或前 3 局胜2 局且第 4 局胜,或前 4 局胜 2 局且第 5 局胜.概率为p=0.63+=0.68256.B 组 1.甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲

38、胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?你对局制长短的设置有何认识?解:设甲胜的局数为 X,X 服从二项分布.采用 3 局 2 胜制时,需甲前两局胜,或前两局胜1 局且第 3 局胜.其概率为p=0.62+=0.648.采用 5 局 3 胜制时,需甲前 3 局胜,或前 3 局胜2 局且第 4 局胜,或前 4 局胜 2 局且第 5 局胜.概率为p=0.63+=0.68256.0.682560.648,我们认为采用5局3胜制对甲更有利.由此我们认为,在比赛中,对于实力较强的队来说,局制越长越有利.2.学校游园活动有这样一个项目:甲箱子

39、里装 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装 2 个白球、2个黑球,从这两个箱子里分别摸出 1 个球,若它们都是白球则获奖.有人认为,两个箱子里装的白球比黑球多,所以获奖的概率大于 0.5.你认为呢?解:不一定,因为获奖的概率是两次摸出白球的概率之积,两个小于 1 的数的积更小.设从甲箱子摸出白球为事件A,乙箱子摸出白球为事件 B,则获奖的概率为p=P(AB)=P(A)P(B)=0.3 0.5.3.某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验,问:(1)当 n=500,5000,50000 时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到 1 件次品的概率各是多少?(2)根据(

40、1),你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?解:(1)有放回地抽取,则各次抽取相互独立.抽取次品的件数服从二项分布,抽得 1 件次品的概率为=0.057624.此概率与这批产品数无关.无放回抽取,各次抽取相互不独立,抽取次品数服从超几何分布.3.某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验,问:(1)当 n=500,5000,50000 时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到 1 件次品的概率各是多少?(2)根据(1),你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?解:(1)有放回地抽取,则各次抽取相互独立.抽取次品的件数服从二项分布,抽得 1 件次品的概率为=0.057624.此概率与这批产品数无关.无放回抽取,各次抽取相互不独立,抽取次品数服从超几何分布.当 n=500 时,次品数为10,0.057853.当 n=5000 时,次品数为100,0.057647.当 n=50000 时,次品数为1000,0.057626.0.057624.(2)产品总数很大时,放回不放回影响不大,超几何分布近似等于二项分布.