2021流体力学势流优秀课件.ppt

1、流体力学势流51 有旋流动的运动学性质52 理想不可压缩流体的旋涡动力学特性53 兰肯涡和卡门涡街55 理想不可压缩流体恒定平面势流的奇 点分布解法54 有势流动及解法概述无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动?0 u这个分类是这个分类是 很重要的很重要的旋度 判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零51 有旋流动的运动学性质 有旋流动和无旋流动的判别有旋流动和无旋流动的判别 涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，涡线是涡量场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的曲线，该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的

2、切向。与流线与流线一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。一样，涡线是与欧拉观点相对应的概念。涡线涡线 涡量、涡线、涡管和涡通量涡量、涡线、涡管和涡通量 对于有旋流动，将流速场的旋度对于有旋流动，将流速场的旋度称为涡量，它是流体微团旋转角速称为涡量，它是流体微团旋转角速度矢量的两倍。涡量场是矢量场。度矢量的两倍。涡量场是矢量场。u2涡量涡量 根据定义，涡线的微分方程为根据定义，涡线的微分方程为0d lkjilzyxdddd),(d),(d),(dtzyxztzyxytzyxxzyx0dddzyxzyxkji 实际上这是两个微分方程，其中实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族是参数

3、。可求解得到两族曲面，它们的交线就是涡线族。曲面，它们的交线就是涡线族。其中其中涡线微分方程涡线微分方程 在流场中，取一条在流场中，取一条不与涡线重合的封闭曲不与涡线重合的封闭曲线线 L，在同一时刻过，在同一时刻过 L上上每一点作涡线，由这些每一点作涡线，由这些涡线围成的管状曲面称涡线围成的管状曲面称为涡管。为涡管。涡管涡管涡线涡线涡管涡管 与涡线一样，涡与涡线一样，涡管是瞬时概念管是瞬时概念涡通量涡通量AAAAAAId2d)(dnnundAAn涡管强度涡管强度 通过流场中某曲面通过流场中某曲面 A 的涡量通量的涡量通量AAdn称为涡通量。称为涡通量。通过涡管任一截面通过涡管任一截面 A 的涡

4、的涡通量又可称为涡管强度通量又可称为涡管强度A留下一个问题：为留下一个问题：为什么可取任一截面什么可取任一截面计算涡管强度计算涡管强度 速度环量、斯托克斯定理速度环量、斯托克斯定理速度环量速度环量 定义流速矢量定义流速矢量 u 沿有向曲线沿有向曲线 L 的线积分为速度环量的线积分为速度环量Llu d斯托克斯定理斯托克斯定理LAAlunddudlndA封闭曲线封闭曲线 L 是是 A 的周界，的周界，L 的方向的方向 与与 n 成右手系。成右手系。沿沿 L 的速度环量的速度环量通过通过 A 的涡通量的涡通量=例例已知已知 不可压缩流体速度分布不可压缩流体速度分布0,22zyxuuzyau 涡线方程

5、及涡线方程及沿封闭围线沿封闭围线的速度环量的速度环量求求0222zbyx22220zyayyuxuzyazxuzuzuyuxyzzxyyzx求涡量场求涡量场 求涡线求涡线yzyxdzd0d2122CxCzy 求速度环量求速度环量 在在 z=0平面上，涡量为平面上，涡量为ayzyx)sgn(,00d)sgn(ddAAzAAayAAnA 关于关于 x 轴对称轴对称 旋涡随空间的变化规律旋涡随空间的变化规律奥奥高定理高定理AVAVddnuunuVAdA矢量场通过一封闭曲面的通量矢量场通过一封闭曲面的通量（流出为正）等于矢量场的散度（流出为正）等于矢量场的散度在封闭曲面所围空间域上的积分。在封闭曲面所

6、围空间域上的积分。根据不可压缩根据不可压缩流体连续方程流体连续方程0 u 奥奥高定理可解释为：不可高定理可解释为：不可压缩流体通过任一封闭曲面的压缩流体通过任一封闭曲面的体积流量为零。体积流量为零。0)()()()(yuxuzxuzuyzuyuxuuuzyxxyzxyzzyxkjiu涡量场是无源场（管形场）涡量场是无源场（管形场）矢量场的散度表示矢量场的源汇强度。散度为零的矢量场也矢量场的散度表示矢量场的源汇强度。散度为零的矢量场也称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。称无源场，其矢量线必成管状，所以也称管形场。涡量的散度必为零涡量的散度必为零 由于涡管侧壁没有涡由于涡管侧壁没有涡通量，

7、所以根据涡量场是通量，所以根据涡量场是无源场可得如下结论：无源场可得如下结论：涡线涡线涡管涡管 在同一时刻，穿在同一时刻，穿过同一涡管的各断面的涡过同一涡管的各断面的涡通量都是相同的。即同一通量都是相同的。即同一时刻，一根涡管对应一个时刻，一根涡管对应一个涡管强度。涡管强度。结论结论这是个纯运动学这是个纯运动学范畴的定理范畴的定理回答了前面的问题回答了前面的问题 涡管不能在流体涡管不能在流体中产生与消失，要中产生与消失，要么成环形，要么两么成环形，要么两端位于流场的自由端位于流场的自由面或固体边界。面或固体边界。L是由确定流体质点组成的封闭线，是是由确定流体质点组成的封闭线，是一个系统，在流动

8、中会改变位置和形状。一个系统，在流动中会改变位置和形状。旋涡随时间的变化规律旋涡随时间的变化规律Llu dLttluddddd 封闭流体线封闭流体线上的速度环量上的速度环量对于时间的变对于时间的变化率等于此封化率等于此封闭流体线上的闭流体线上的加速度环量。加速度环量。加速度环量加速度环量L(t)tt+dt u(t+dt)u(t)速速 度度环量对环量对时间的时间的全导数全导数tddLtludddLtlu ddLt)(ddluLLttddddluluLLtuuluddLLut2dd2lu表表示示对对空空间间微微分分d表表示示对对时时间间微微分分简要的证明简要的证明 无旋与有势无旋与有势的等价性的等

9、价性无旋流动无旋流动有势流动有势流动0uzuyuxuzyxdddduzuyuxuzyx0ddAALnlu速度势速度势 MM0dlu与路径无关，在起点固定的与路径无关，在起点固定的条件下，是终点位置的函数。条件下，是终点位置的函数。),(),(0000ddd),(zyxMzyxMzyxzuyuxuzyx定义定义无旋流动无旋流动有势流动有势流动等价u0zyxxxxkjiu无旋流动无旋流动有势流动有势流动52 理想不可压缩流体的旋涡动力学特性 开尔文定理开尔文定理若质量力有势，理想不可压缩流体的运动方程为：若质量力有势，理想不可压缩流体的运动方程为：pWtddu加速度加速度有有 势势封闭流体线上的速

10、度环量不随时间变化封闭流体线上的速度环量不随时间变化 =const加速度加速度无无 旋旋封闭流体线上的封闭流体线上的加速度环量为零加速度环量为零tt+dt 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理v某时刻组成涡管某时刻组成涡管的流体质点将永的流体质点将永远组成涡管。远组成涡管。v涡管的强度在流涡管的强度在流动中保持不变。动中保持不变。容易通过开尔文定理予容易通过开尔文定理予以证明，上述以证明，上述亥姆霍兹定亥姆霍兹定理成立的条件应与开尔文理成立的条件应与开尔文定理相同。定理相同。开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可开尔文定理说明，若质量力有势，流体为理想不可压缩流体，那么涡通量不会产生，初始时刻为无旋

11、的流压缩流体，那么涡通量不会产生，初始时刻为无旋的流动将永远保持无旋，而有旋流动的涡通量则有保持性，动将永远保持无旋，而有旋流动的涡通量则有保持性，既不会消失，也不会扩散。既不会消失，也不会扩散。粘性对旋涡运动的影响粘性对旋涡运动的影响 开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运开尔文定理也反过来说明了之所以在实际流体的运动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中动中会有旋涡的产生、发展和消失，以及涡量在流场中的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素。的扩散现象，粘性的存在应该是最重要的因素。53 兰肯涡和卡门涡街 兰肯涡兰肯涡 平面组合涡：中心区是平面组合涡：中心区是强迫涡；外围区是

12、自由涡。强迫涡；外围区是自由涡。中心区是以涡心为圆心中心区是以涡心为圆心的圆，其中的速度与离涡的圆，其中的速度与离涡心的距离成正比，涡量为心的距离成正比，涡量为常数。外围部分的流速则常数。外围部分的流速则与离涡心的距离成反比，与离涡心的距离成反比，流动有势，涡量为零。流动有势，涡量为零。0u0uxyCrr0*兰肯涡是比较接近实际的兰肯涡是比较接近实际的平面旋涡模型，其中心部分平面旋涡模型，其中心部分的流体象刚体一样旋转，需的流体象刚体一样旋转，需有外力不断推动，中心部分有外力不断推动，中心部分也可用圆柱形刚体的转动来也可用圆柱形刚体的转动来代替。外围部分流体的运动代替。外围部分流体的运动在开始

13、时是由中心部分的转在开始时是由中心部分的转动通过粘性的作用形成的，动通过粘性的作用形成的，在流动稳定以后，则无须再在流动稳定以后，则无须再加入能量，粘性也就不再起加入能量，粘性也就不再起作用。作用。xCr0u0uyr00002ur绕绕 的速度环量的速度环量中心区的流动2yuxuxyz用涡通量计算得到用涡通量计算得到同样的结果同样的结果xuyuyx,00ru涡量处处为常数涡量处处为常数000020022urrur速度分布速度分布0rr xC r0u0uyr0 xC r0u0uyr0流速分布流速分布00urru 0yuxuxyz00022urur200200,rxururxuryururyuyx外

14、围区是无旋流动外围区是无旋流动绕任一绕任一 的圆周（任意的圆周（任意包住包住 的封闭曲线也可）的封闭曲线也可）的速度环量都等于的速度环量都等于00rr 0rr 外围区的流动xCr0u0uyr0压强分布 外围区流动恒定无旋，外围区流动恒定无旋，可用欧拉积分确定压强的可用欧拉积分确定压强的径向分布径向分布22upp0rr 2200upp 中心区流动恒定有旋，中心区流动恒定有旋，只能用伯努利积分，但得只能用伯努利积分，但得不到压强的径向分布。须不到压强的径向分布。须直接由理想流体运动方程直接由理想流体运动方程出发求解。出发求解。时时速度分布外围区的压强r0220u220u0ppCprprdd12压差

15、压差力力向心向心力力CuCrp22221212022221rrpp20221uuppxCr0u0uyr0中心区的压强2200upp20upC由由定定速度分布压强分布r0220u220u0ppCp2022221rrppxCr0u0uyr0中心区的压强速度分布压强分布r0220u220u0ppCp抛物线分布，涡心处最低抛物线分布，涡心处最低202rppC 中心区速度越快，压中心区速度越快，压强越高，速度越慢，压强越高，速度越慢，压强越低。与无旋区有本强越低。与无旋区有本质的不同。质的不同。Uduh/2h/2L/2L/2 卡门涡街卡门涡街 试验发现，定常来流试验发现，定常来流 U 绕过直径为绕过直径

16、为 d 的圆柱体时，在不同雷的圆柱体时，在不同雷诺数诺数 情况下，圆柱下游有不同的旋涡现象出现。当雷诺情况下，圆柱下游有不同的旋涡现象出现。当雷诺数大于数大于 90 后，可以看到有规则交错排列的双列线涡，称为卡门后，可以看到有规则交错排列的双列线涡，称为卡门涡列，其中尤以雷诺数等于涡列，其中尤以雷诺数等于 150 左右时最为典型。左右时最为典型。RUde-Uduh/2h/2L/2L/2 旋涡从圆柱体上交替地脱落到下游，因而形成周期旋涡从圆柱体上交替地脱落到下游，因而形成周期性的振动，旋涡从柱体上脱落的频率性的振动，旋涡从柱体上脱落的频率 f 将以斯特劳将以斯特劳哈尔数表达，并由雷诺数决定哈尔数

17、表达，并由雷诺数决定 -SfdUF Rte()Uduh/2h/2L/2L/2 从柱体上、下面分别脱落的旋涡，其旋转方向是彼从柱体上、下面分别脱落的旋涡，其旋转方向是彼此相反的，同时所有旋涡都以相同速度（因有旋涡间此相反的，同时所有旋涡都以相同速度（因有旋涡间相互干扰，此速度比来流速度小）向下游移动。相互干扰，此速度比来流速度小）向下游移动。-卡门的分析研究表明，当涡列的空间尺度为卡门的分析研究表明，当涡列的空间尺度为 时，时，涡列对于小扰动才是稳定的，实测证实了这一点。涡列对于小扰动才是稳定的，实测证实了这一点。281.0/Lh54 有势流动及解法概述 由开尔文定理可知，理想不可压缩流体从静止

18、或无旋状态开始由开尔文定理可知，理想不可压缩流体从静止或无旋状态开始的流动将保持为无旋流动。所以无旋流动往往是以理想流体为前的流动将保持为无旋流动。所以无旋流动往往是以理想流体为前提条件的。无旋流动即为有势流动。提条件的。无旋流动即为有势流动。一一.无旋流动的速度势函数无旋流动的速度势函数0 uu),(),(00000dddd),(zyxMzyxMzyxMMzuyuxuzyxlu速度势函速度势函数的定义数的定义),(),(),(),(),(),(000000000ddd),(zyxzyxzzyxzyxyzyxzyxxzuyuxuzyxM0M1),(zyx),(000zyx),(00zyx),(

19、0zyxOyxz速度势函数速度势函数的求法（一）的求法（一）与路径无关，与路径无关，可选一条简便可选一条简便的路径计算。的路径计算。MM0dlu 起点不同，速起点不同，速度势相差一个常度势相差一个常数，不会影响对数，不会影响对流场的描述。流场的描述。速度势函数速度势函数的求法（二）的求法（二）寻找全微分，寻找全微分，确定速度势确定速度势),(1zyf),(d1zyfxuxzuyuzyxux 要按照定义要按照定义求速度势，不求速度势，不要误认为做三要误认为做三个独立的不定个独立的不定积分。积分。给出流场，给出流场，求解速度势，求解速度势，要先检查流场要先检查流场是否无旋。是否无旋。zuyuxuz

20、yxdddd代入代入确定确定例例已知已知速度场速度场0,6,3322zyxubxyubybxu 此 流 动 是此 流 动 是不可压缩流体的不可压缩流体的平面势流，并求平面势流，并求速度势函数。速度势函数。求证求证由由066bxbxzuyuxuzyxbyxuyuyx6)(3)(d)33(2322yfbxybxyfxbybxbxyuyy60)(yfCyf)(知知yxyxxyxxybxyxbxyuxuyx002),()0,()0,()0,0(d6d3dd),(Cbxybx233ybxyxbybxyuxuyxyxd6d)33(dd),(22Cbxybxybx22333按定义求按定义求按三个不定积分求按

21、三个不定积分求ddddrururlu0)(2222222zyxu满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。极坐标中速度势函数的微分为极坐标中速度势函数的微分为 不可压流体无旋流动的速不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。度势函数满足拉普拉斯方程。dldrxyrddrururr1,例例已知已知速度场速度场0,2urqur 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流，并求速面势流，并求速度势函数。度势函数。求证求证22222,2yxyquyxxquyx0 xuyuyxCrqln20yuxuyxrrqrururd2dddr=0奇点奇点已知已知速度场

22、速度场ruur2,0例例 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流，并求速面势流，并求速度势函数。度势函数。求证求证22222,2yxxuyxyuyxCxyCtanArc220 xuyuyx0yuxuyxd2dddrururr=0奇点奇点uxuyxy 0uxuyxy()0二二.不可压缩流体不可压缩流体平面流动的流函数平面流动的流函数不可压缩流体平面流动的连续方程不可压缩流体平面流动的连续方程改写改写矢量场矢量场 无无旋，必有相应的势函数。旋，必有相应的势函数。jixyuu原流速场的流函数),(),(000dd),(yxMyxMxyyuxuyx定义其定义其势函数势函数流函数的微分为

23、穿过微元弧长的流量，所以把流函数的微分为穿过微元弧长的流量，所以把 称为流函数。称为流函数。将平面上一段有向微元弧长将平面上一段有向微元弧长jilyxdddjinxyldddlxuyuyxddddnu顺时针转顺时针转 900，方向为，方向为 dl 之法向之法向n，大小为大小为 dl，可记为，可记为 ndl根据流函数定义根据流函数定义dlndldx-dxdydyu表示穿过表示穿过 M0 至至 M 连线的流量，连线的流量，它与连线路径无关，在起点它与连线路径无关，在起点 M0 确定的情况下是终点确定的情况下是终点 M 的坐标的坐标的函数。的函数。(,)dd(,)(,)x yuxuyyxMxyM x

24、 y000 根据定义确定流函数时选根据定义确定流函数时选取不同的起点取不同的起点 M0，流函数，流函数将相差一个常数，但同样不将相差一个常数，但同样不会影响对流场的描述。会影响对流场的描述。M0M 对于不可压流对于不可压流体的平面流动是体的平面流动是容易理解的，而容易理解的，而三维流动就得不三维流动就得不到这样的结论。到这样的结论。两点流函数两点流函数的差表示穿过的差表示穿过两点间任意连两点间任意连线的流量。线的流量。（常数）（常数）C不可压流体平面流动的流线方程不可压流体平面流动的流线方程 表示有流量表示有流量自自M1M2连线左连线左侧流进右侧，侧流进右侧，由此可确定流由此可确定流动方向。动

25、方向。0)()(1212CCMM如图中所示如图中所示,若若M1M22C1C画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。画出穿过微元弧长的流量示意图，可以帮助记忆流函数定义。在直角坐在直角坐标系中标系中rururdddrurur,1xuyuyx,xuyuyxdddyuxddxuydxdyd在极坐在极坐标系中标系中ddrurru drddr说明流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。说明流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。流函数的概念本与流动是否无旋无关，在这里引出，是为了流函数的概念本与流动是否无旋无关，在这里引出，是为了下面建立不可压流体平面无旋流动复势的需要。下面建立不可压流体平面无旋

26、流动复势的需要。022222yxyuxuxy如果不可压流体平面流动是无旋的，那么如果不可压流体平面流动是无旋的，那么 若已知不可压缩流体平面流动的速度场，则流函数也可用定若已知不可压缩流体平面流动的速度场，则流函数也可用定义直接求或用寻找全微分的方法。义直接求或用寻找全微分的方法。不可压流体平面无旋流动既有速度势函数又有流函数，它们不可压流体平面无旋流动既有速度势函数又有流函数，它们都满足拉普拉斯方程，都是调和函数。都满足拉普拉斯方程，都是调和函数。三三.不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系xyuyxuyx 根据它们和流根据它们和

27、流速场的关系可知速场的关系可知 称这对调和函数满足称这对调和函数满足柯西柯西 黎曼条件，互黎曼条件，互为共轭调和函数。为共轭调和函数。等势线等势线 和等流函数线（流线）和等流函数线（流线）必是互相正交的。必是互相正交的。CCC上取一段微元弧长矢量上取一段微元弧长矢量 dl，则，则0ddlu)()(CC)(Cu 以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流体平面无旋流动的条件下建立的。体平面无旋流动的条件下建立的。v在不可压缩流体在不可压缩流体平面有旋流动中就平面有旋流动中就只有流函数，没有只有流函数，没有速度势。速度势。v在不可压缩流体在不可压缩流体三维

28、无旋流动中就三维无旋流动中就只有速度势，没有只有速度势，没有流函数。流函数。注意：注意：如不可压缩流体平面流动的流函数如不可压缩流体平面流动的流函数22yxx 流动有旋，不存在速度势。流动有旋，不存在速度势。12,2xuyuyx求流函数求流函数求速度势求速度势查是否平查是否平面不可压面不可压查是否查是否无旋无旋四四.理想不可压缩流体恒定有势流动的解法概述理想不可压缩流体恒定有势流动的解法概述求解数量场求解数量场 求解矢量场求解矢量场uu求解欧拉方程求解欧拉方程pt1ddfu求解拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程02222222zyx的边值问题的边值问题欧拉积分欧拉积分Cpz2四个未知数四个未知数 u

29、,p 拉普拉斯方程的边值问题在拉普拉斯方程的边值问题在适定的边界条件下有唯一解。适定的边界条件下有唯一解。理想不可压流体恒定平面有势流动同时存在速度势函数理想不可压流体恒定平面有势流动同时存在速度势函数 和流和流函数函数 ，这是一对共轭调和函数。给流场的求解带来更大的简便。，这是一对共轭调和函数。给流场的求解带来更大的简便。常常用用的的解解法法分离变量法奇点分布法保角变换法数值解法几何（流网）法实验（如水电比拟等）方法 绘制流网是求解理想不可压流体定常平面有势流动的一种近似绘制流网是求解理想不可压流体定常平面有势流动的一种近似的几何方法，流网是由等速度势函数线族和等流函数线（流线）的几何方法，

30、流网是由等速度势函数线族和等流函数线（流线）族构成的正交网格。一般取速度势函数和流函数的增量相等，流族构成的正交网格。一般取速度势函数和流函数的增量相等，流网呈正方形。根据流网可以图解流速，再由欧拉积分推算压力。网呈正方形。根据流网可以图解流速，再由欧拉积分推算压力。xydsdn+d+dusuddnuddnsddddo 绘制流网要点绘制流网要点:固壁为等流函数线固壁为等流函数线(流线流线)；流线间隔按流量；流线间隔按流量相同划分，断面流速均匀，则流线间距相等；自由面也是一条相同划分，断面流速均匀，则流线间距相等；自由面也是一条流线，但其位置、形状未知，需利用压强条件逐渐确定。流线，但其位置、形

31、状未知，需利用压强条件逐渐确定。流网密处，流速大、压强小。流网流网密处，流速大、压强小。流网疏处，流速小、压强大。已知一点处疏处，流速小、压强大。已知一点处流速、压强，可知各点流速和压强。流速、压强，可知各点流速和压强。BABABABAppuuAB55 理想不可压缩流体恒定平面势流的奇点分布解法一一.几种基本的不可压缩流几种基本的不可压缩流体平面有势流动体平面有势流动直线等速流动直线等速流动 整个流场速度都整个流场速度都一样，大小一样，大小 ，与，与 x 轴夹角轴夹角 Uoxu2x14Uyuy2353451oxu2x14Uyuy2353451sincosUuUuyx)cossin()sinco

32、s(yxUyxUru平面点源平面点源o2x14y233102urqurrrqrururd2ddddlu22ln2ln2yxqrq 实际上是与流动平面垂实际上是与流动平面垂直的一条无限长线源，单直的一条无限长线源，单位长度源强为位长度源强为q q为正称为为正称为点源，点源，q为负为负称为点汇。称为点汇。ruoxy2142331xyqq1tan22d2dddqrurur等势线等势线流线流线点源处点源处ur,0，是流场的奇点，是流场的奇点以点源为以点源为圆心的同圆心的同心圆心圆从点源出发从点源出发的半射线的半射线平面点涡平面点涡xruur20d2ddddrururlu 实际上是与流动平面垂实际上是与

33、流动平面垂直的一条无限长线涡，涡直的一条无限长线涡，涡强为强为.兰肯涡的简化模型。兰肯涡的简化模型。以逆时针以逆时针为 正，顺 时为 正，顺 时针为负。针为负。o21y2331uxy1tan2222ln2ln2yxrrrrururd2ddd等势线等势线流线流线点涡处点涡处ur,0，是流场的奇点，是流场的奇点从点源出发从点源出发的半射线的半射线以点源为圆以点源为圆心的同心圆心的同心圆o21y2331ux流场中若有多个点涡，各点涡处于其它点涡诱导的流场中，流场中若有多个点涡，各点涡处于其它点涡诱导的流场中，整个点涡组将会运动。点涡对自身的诱导速度为零。整个点涡组将会运动。点涡对自身的诱导速度为零。

34、上面的公式都是针对奇点处于原点得到的，若有多个奇点，上面的公式都是针对奇点处于原点得到的，若有多个奇点，必有奇点不在原点位置，如为必有奇点不在原点位置，如为(a,b)，则相应的公式中，则相应的公式中(x,y)改改为为(x-a,y-b)./2dd/2d/2dd-/2d*二二.基本有势流动的叠加基本有势流动的叠加 势流叠加原理势流叠加原理 拉普拉斯方程是拉普拉斯方程是线性齐次的，解的线性齐次的，解的线性组合仍是解。线性组合仍是解。0,022120)(212ba根据叠加原理，可用基本有势流动叠加成较复杂的有势流动。根据叠加原理，可用基本有势流动叠加成较复杂的有势流动。平面偶极子平面偶极子 一对等强度

35、的源和汇叠加的极限情况一对等强度的源和汇叠加的极限情况间距间距0h保持不变保持不变mhq强度强度qmhqqh0lim即即偶极子方向：汇偶极子方向：汇源源偶极子强度：偶极子强度：myqxohqp(x,y)rArBrABAB 强度为强度为m，方向为方向为 x 轴的偶极轴的偶极子的速度势子的速度势）BAqhrrqln(ln2lim0BAqhrrqln2lim0BBAqhrrrq1ln2lim0BBAqhrrrq2lim0Bqhrhqcos2lim0rmcos2222yxxmyqxohqp(x,y)rArBrABAB 强度为强度为m，方向为方向为 x 轴的偶极轴的偶极子的流函数子的流函数）BAqhq(

36、2lim0rhqqhsin2lim0rmsin2222yxymyqxohqp(x,y)rArBrABAB 偶极子方向为 x 轴，结果反号。xy偶极子的流线偶极子的流线22222)4()4(CmCmyx圆心在圆心在 y 轴上与轴上与 x 轴相切的圆轴相切的圆=C=Cm偶极子的等势线偶极子的等势线021221xCmyxC21221)4()4(CmyCmx 圆心在圆心在 x 轴上与轴上与 y 轴相切的圆轴相切的圆021222yCmyxC 直线等速流动直线等速流动平面点源平面点源+rqUrln2cos2sinqUr零流线零流线00驻点驻点)0,2(Uq过驻点流线的流过驻点流线的流线常数线常数2q(上半

37、段，上半段，取取 0-）2sin2qUrq过驻点流线过驻点流线cUqrC4=/2代入，得代入，得Uqr2sin0过驻点流线在下游无穷远处开口宽度过驻点流线在下游无穷远处开口宽度Uq 设想用一刚性薄片按上述过驻点流线的形状弯成柱面，设想用一刚性薄片按上述过驻点流线的形状弯成柱面，从垂直于流动平面的方向插入流场，将不会影响内外两部分从垂直于流动平面的方向插入流场，将不会影响内外两部分流场的流动。这就是流线与固壁的等价原理。若按过驻点流流场的流动。这就是流线与固壁的等价原理。若按过驻点流线的形状制成半无穷柱体放入流场相应位置，取代点源，此线的形状制成半无穷柱体放入流场相应位置，取代点源，此时内部流动

38、将不再存在，但外部流动仍不会改变。所以点源时内部流动将不再存在，但外部流动仍不会改变。所以点源对等速直线流动的影响与这个半无穷柱体对等速直线流动的对等速直线流动的影响与这个半无穷柱体对等速直线流动的影响是等价的。上面我们得到的流场也就是等速直线流动绕影响是等价的。上面我们得到的流场也就是等速直线流动绕过半无穷柱体的绕流解。从这个意义上讲，点源这个抽象的过半无穷柱体的绕流解。从这个意义上讲，点源这个抽象的流动变成了一个具体、实在的概念。流动变成了一个具体、实在的概念。流线与固壁的等价原理不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。若质量力有势，理想不可压缩流体的运动方程为：根据它们和流速场的

39、关系可知寻找全微分，确定速度势粘性对旋涡运动的影响代表绕圆柱r=a的绕流用涡通量计算得到同样的结果在无环量圆柱绕流解的基础上再叠加一个绕圆柱的环量，即在原点加上一个平面点涡，易知圆柱面仍是流线，形成有环量的圆柱绕流。拉普拉斯方程的边值问题在适定的边界条件下有唯一解。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。点涡对自身的诱导速度为零。d表示对时间微分即同一时刻，一根涡管对应一个涡管强度。理想不可压流体恒定平面有势流动同时存在速度势函数和流函数，这是一对共轭调和函数。54有势流动及解法概述55理想不可压缩流体恒定平面势流的奇点分布解法 直线等速流动直线等速流动一对平面源汇一对平面源汇+过驻点流线封闭，呈

40、扁平的卵形。过驻点流线封闭，呈扁平的卵形。一对平一对平面源汇面源汇偶极子偶极子如何？直线等速流动直线等速流动偶极子偶极子+rmUrcos2cosrmUrsin2sinaUmr2零流线零流线00代表绕圆柱代表绕圆柱r=a 的的绕绕流流圆柱和偶极子的等价性圆柱和偶极子的等价性圆柱上的压强分布圆柱上的压强分布上下、左右都对称上下、左右都对称圆柱面圆柱面 r=a上的速度分布上的速度分布)sin41(222Upp22sin4121UppCpUma20rusin2sin2sin2UamUruar圆柱面圆柱面 r=a上的压强分布上的压强分布无量纲表达无量纲表达圆柱在绕流中不受力，缘由是理想流体假设圆柱在绕流

41、中不受力，缘由是理想流体假设a 无环量圆柱绕流是一个重要的平面有势流动，圆柱对来流无环量圆柱绕流是一个重要的平面有势流动，圆柱对来流的作用完全可以由一个适当的偶极子来代替。的作用完全可以由一个适当的偶极子来代替。在无环量圆柱绕流解的基础上再叠加一个绕圆柱的环量，在无环量圆柱绕流解的基础上再叠加一个绕圆柱的环量，即在原点加上一个平面点涡，易知圆柱面仍是流线，形成有即在原点加上一个平面点涡，易知圆柱面仍是流线，形成有环量的圆柱绕流。此时，圆柱面上的速度大小和压强分布不环量的圆柱绕流。此时，圆柱面上的速度大小和压强分布不再是上下对称的了，因此引起升力。再是上下对称的了，因此引起升力。平面壁镜像法可以

42、使不平面壁镜像法可以使不可压流体平面有势流动的奇可压流体平面有势流动的奇点分布解法得到进一步的扩点分布解法得到进一步的扩展。前面我们讨论的都是在展。前面我们讨论的都是在无界域（整个流动平面充满无界域（整个流动平面充满流体）中放置的奇点解，不流体）中放置的奇点解，不能直接用于固壁一侧的半平能直接用于固壁一侧的半平面流体区域中放置奇点的情面流体区域中放置奇点的情况，而借助于平面壁镜像法况，而借助于平面壁镜像法就可以解决这个问题。就可以解决这个问题。三三.平面壁镜像法平面壁镜像法aq 不妨以上半平面流体区域放置孤立奇点为例，探讨固壁不妨以上半平面流体区域放置孤立奇点为例，探讨固壁 x 轴轴对流动的影

43、响。按照流线与固壁的等价原理，将流场延拓到下对流动的影响。按照流线与固壁的等价原理，将流场延拓到下半平面，并在下半平面与原奇点关于半平面，并在下半平面与原奇点关于 x 轴对称的位置放置同样轴对称的位置放置同样的奇点，使延拓后的全平面流场中的奇点，使延拓后的全平面流场中 x 轴成为一条流线，这样新轴成为一条流线，这样新加的奇点对原奇点的影响就取代了固壁加的奇点对原奇点的影响就取代了固壁 x 轴的作用。轴的作用。aqqqaa 两种情况下，上半平两种情况下，上半平面的流动是完全相同的。面的流动是完全相同的。平面问题中的一条直线，平面问题中的一条直线，从三维角度看是无限大的平从三维角度看是无限大的平面

44、壁，所以这样的处理方法面壁，所以这样的处理方法称为平面壁镜像法。称为平面壁镜像法。2222)()(2ayxxayxxqxuxqqaaxy2222)(ln)(ln2ayxayxq2222)()(2ayxayayxayqyuy220axxquyx00yyu进而可求壁面上压强分布进而可求壁面上压强分布 若若 x 和和 y 轴都是固壁，考虑第一轴都是固壁，考虑第一象限内放置奇点的流动，可推广上象限内放置奇点的流动，可推广上述方法，换成在全平面内上下、左述方法，换成在全平面内上下、左右都对称的四个奇点的流动来求解。右都对称的四个奇点的流动来求解。取奇点关于平面壁的镜像取奇点关于平面壁的镜像时，应该把点涡和偶极子的时，应该把点涡和偶极子的方向也考虑进去。方向也考虑进去。此图中点此图中点涡会移动涡会移动