《现代机械工程图学》33课件.ppt

1、3.3 点、直线、平面的相对位置3.3.1 两直线的相对位置3.3.1.1 投影特性 两直线的相对位置有平行、相交和交错三种。其投影特性见下表3.3.1.2 重影点及可见性的判别 利用重影点可判别交错直线在重影处投影的可见性。注意：各投影的可见性要分别加以判别。3.3.1.3 两直线垂直 1.性质空间两直线垂直相交，若其中一直线平行于某一投影面时，它们在该投影面上的投影相互垂直。反之，相交两直线在某一投影面上的投影成直角，而其中一直线平行于该投影面，则该两直线在空间必定垂直相交，如图（a）所示。该性质可称为直角投影定理。其亦适用于垂直交错的两直线。2.两直线垂直的投影图(b)直线BC为水平线

2、（c）直线EF为正平线3.两直线垂直的应用例1 求点K到直线AB的距离L。（1）分析：该问题曾用直线的二次辅投影求作过。现根据直角投影定理，可将一般位置直线AB变换成投影面平行线，作出点线距离的投影。然后再求真长L。（2）作图 作一次辅投影，将直线AB变换成投影面平行线，在辅投影中作出k1c1 a1b1并返回作出投影kc、kc。再用直角三角形法（或其他方法）求L。例2 已知点A的H投影a，求作一等边三角形ABC，其边BC在水平线MN上，高AK=30。（1）分析：等边三角形具有性质：高与边垂直；三边等长；三角相等为60。根据直角投影定理和已知条件，高投影可作出且该等边三角形边长可求。由此可完成等

3、边三角形的各投影。（2）作图如图所示，作akmn，交mn于k，并作出k。按高30，作直角三角形A0ak得到高AK的Z坐标差而求出 a。再作30角的三角形A0B0k，得到边的实长。最后于mn上作bc等于实长，求出b和c并完成等边三角形的各投影。例3 求作矩形ABCD。已知边AB，而邻边BC的端点C在V面上，并在H面上方25。（1）分析：矩形邻边垂直，即有CBAB。已知AB为一般位置，由直角投影定理知，只有将AB边转换成投影面的平行线才能作出垂直关系。用辅投影法求解。（2）作图 如图所示，作使直线AB成为投影面平行线的一次辅投影得到a1b1，并过b1作 a1b1的垂线与距轴X1为25的平行线相交，

4、交点即为C点的辅投影c1。由c1作轴X1的垂线并与轴X相交，交点即为C点的H投影c，再作出其V投影c。分别连接bc、bc完成边BC的投影。由矩形对边平行，其平行性投影不变的原理完成矩形ABCD的投影。3.3.2 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。3.3.2.1 直线与平面平行 定义 一直线平行于平面上的一直线，则此直线与该平面平行。基本作图1：过线作面平行于已知面例 过直线AB作一平面平行于直线EF，（AB、EF为二交错直线）。（1）分析 由线面平行定义，对交错直线AB、EF，只要将EF平行移动与AB相交确定的平面即为所求。（2）作图如图所示，过直线AB上任意一点（

5、如点B）作BC/EF，得到相交二直线AB与BC确定的平面即完成作图。基本作图2：判别直线是否平行于已知平面。例 判别直线AB是否平行于已知平面P。（1）分析 由线面平行定义，只要判断在已知平面上是否能作出一直线与已知直线平行即可。（2）作图 如图所示，在平面P上作直线MN，使mn/ab(或mn/ab)，检查另一同面投影mn不平行ab，所以直线AB不平行平面P。直线与平面相交于一点，它是直线和平面的公有点。线面相交问题是如何作图求交点和判别线面投影之间的遮蔽（即可见性）。线面相交的基本作图与直线、平面和投影面的相对位置有关。可按如下三方面进行讨论：1 面为投影面的垂直面时；2 线为投影面的垂直线

6、时；3 线、面均是一般位置时。3.3.2.2 直线与平面相交 概述1.平面为投影面的垂直面例1 已知一般位置直线AB和铅垂面CDEF，求AB与CDEF的交点K，并判别可见性。（1）分析 利用面的积聚投影及点线关系求交点。利用重影点判别可见性。（2）作图 如图所示，面的积聚投影cdef与ab的交点即所求交点K的H投影k。再由k作投影连线与ab的相交点，为点K的V投影k，即完成求交点的作图。交点K是可见与不可见的分界点，其V投影k。其余在投影中出现的相交点则是重影点的投影，如2（1），利用重影点的相对位置即可判别可见性。由于y2y1，说明在之前，即线段BK在平面CDEF的前面，所以bk为可见。2.

7、直线为投影面的垂直线例 已知正垂线AB和一般位置平面三角形CDE，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。（1）分析 利用线的积聚投影及点线面的关系求交点。利用重影点判别可见性。（2）作图 交点K的V投影k与AB的V投影ab重影。再过k作三角形CDE面上的直线CF的V投影cf，其H投影cf与ab的相交点，即为点K的H投影k。利用重影点判别可见性，结果如图所示。3.线、面均是一般位置例 如图，直线AB与三角形DEF均为一般位置，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。（1）分析 如图所示，设交点K已求出，过点K在三角形DEF上任作直线MN，则MN和AB构成辅助平面P。MN是DEF与P的交

8、线，而MN与AB的交点即是K。过点K在DEF上的作直线是无数的，所以包含AB的辅助平面是无数的。一般应选择与投影面垂直的平面。综上所述求交点的步骤可归纳如下：（i）包含已知直线作辅助平面P（一般为投影面的垂直面）；（ii）求平面P与已知平面的交线MN；（iii）MN与已知直线AB的交点K即所求；（iiii）判别各投影的可见性，完成投影。（2）作图 如图所示，包含已知直线作铅垂面P，即过ab的投影PH；再求平面P与已知DEF的交线MN（mn、mn）；而MN与已知直线AB的交点K（k、k）即所求；判别各投影的可见性，完成投影。一般位置直线AB和迹线平面Q的交点如图所示，作图过程与前述完全一样。3.

9、3.2.3 直线与平面垂直 概述 直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交直线，则该直线垂直于平面。如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2（或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平面上的所有直线。基本作图1 过点K作直线KD垂直于平面。其中（a）为三角形ABC；（b）为迹线平面P。基本作图2 作直线AB的中垂面。其中（a）由相交两直线确定；（b）作迹线平面P。3.3.3 平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。3.3.3.1 平面与平面平行 概述 一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则两平面平行

10、。如图，平面P和Q上各有相交直线p1、p2和q1、q2，若p1/q1、p2/q2，则P/Q。基本作图1 过点作平面平行于已知平面。例 如图，过点K作一迹线平面Q平行于已知平面P。（1）分析 根据两平行的迹线平面，其各同面迹线应相互平行和点在面上，点必在面的直线上。因此作图应使所作平面包含已知点K且其迹线平行于已知平面P的相应迹线。（2）作图 如图所示，首先过点K作一辅助线与已知平面P的一迹线平行，如图中作正平线KM/PV 并求得其水平迹点M。再过迹点M作QH/PH、QV/PV，平面Q即为所求。基本作图2 补全平面形的投影。例2 已知相交二直线DE、FG所确定的平面平行于三角形ABC，补全三角形

11、ABC的投影。（1）分析 根据两平面平行的性质和线面的从属关系，应使所作平面包含与已知平面上对应的相交直线平行的直线，以次完成ABC投影。（2）作图如图所示，首先可过已知点C（c、c）作直线CI、CII分别与相交二直线DE、FG平行且点I、II取在直线AB上。V投影为c1、c2，并求得H投影为c1、c2。再连1、2与过a、b的投影连线相交即得到ab。最后连接ac、bc 完成三角形ABC的投影。平面与平面相交于一直线，它是二平面的公有线。面面相交问题是如何作图求交线和判别二面投影之间的遮蔽（即可见性）。面面相交的基本作图与平面和投影面的相对位置有关。可按如下两方面进行讨论：1.平面之一为投影面垂

12、直面时；2.二平面均是一般位置时。3.3.3.2 平面与平面相交 概述1 平面之一为投影面垂直面例 已知正垂面ABC和一般位置平面三角形DEF，求它们的交线MN，并判别可见性。（1）分析 根据平面的积聚性和线面关系求交线，并由重影点判别可见性。（2）作图 正垂面ABC和三角形DEF交线MN的V投影应与abc重影，为mn。由此作出其H投影mn。利用重影点判别可见性，结果如图所示。2.二平面均是一般位置（1）分析 求它们的交线可转化成用一个平面上的直线与另一平面相交求交点的方法解决。用重影点判别可见性。例 已知三角形ABC和DEF均为一般位置平面，求它们的交线MN，并判别可见性。（2）作图 如图所

13、示，可选择三角形ABC中的直线AB、AC，分别包含它们作辅助面P、Q（图中为铅垂面），求出AB、AC与三角形DEF的交点M（m、m）、N（n、n），连接MN（mn、mn）即是所求交线。判别可见性的作图，其方法与判别直线和平面相交时的可见性相同，见下图。判别可见性 两平面形相交，从形式上看，有如下图（a）（b）所示的两种情况。（a）图是三角形ABC穿过三角形DEF，交线MN。（b）图是将三角形ABC扩大成三角形AGC，则两三角形互相有一部分相交，交线NK。但不管是哪种形式，其实质是相同的。对交线情况的分析（1）分析：如图所示，根据“三面共点”原理，作辅助平面和已知二相交平面分别相交得到交线，此二

14、交线的交点即为相交平面的交线上的点。应当注意的是，为使作图简便，所作的辅助面应选择特殊位置平面（一般为投影面平行面）。用“三面共点”原理求作二平面交线（2）作图3.3.3.3 平面与平面垂直 概述 如图所示，若直线AB垂直于平面P，则包含直线AB的平面Q、R等必都垂直于平面P；或者，若平面R垂直平面P，则在平面R上任取一点C，作CD垂直于平面P，则直线CD必在平面R上。例 过直线EF作平面垂直于三角形ABC（直线EF不垂直于三角形ABC）基本作图1：过直线作平面与已知平面垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，作已知平面的垂线与已知直线即组成所求平面。如图所示，首先在三角形ABC上作水平线BI（b

15、1、b1）和正平线CII（c2、c2）。然后过直线EF上任意一点（如E点），作直线ED（ed、ed）垂直于三角形ABC，即有 edb1、edc2。由相交直线EF和ED所确定的平面即为所求。（2）作图例 判别三角形ABC和DE/FG确定的平面是否垂直基本作图2 判别两平面是否垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，可先作一已知平面的垂线，再判别该垂线是否在另一平面上而得出结论。（2）作图 如图所示，在DE/FG确定的平面上过点F作三角形ABC的垂线FK。再检查直线FK是否在F点所在的平面上。图中由于点K不在DE/FG确定的平面上，故两平面不垂直。3.3.4 综合几何问题 常见综合几何问题有距离、角度

16、的度量和轨迹作图等。距离的度量有一般位置直线的实长（两点之距）、点线、线线、两平行平面之间的距离等。角度的度量有直线、平面对投影面的倾角，两直线（相交或交错）的夹角，线面、面面夹角等。轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。部分常见轨迹有：与一定点等距离点的轨迹是以此点为中心的球；与两已知点等距离点的轨迹是两点连线的中垂面；与一已知直线等距离点的轨迹是一直圆柱面；过一定点而与投影面成一定倾角直线的轨迹是一正圆锥面；与两相交平面等距离点的轨迹是两平面的等分角面；与不在一直线上的三点等距离点的轨迹是一直线，该直线过三点所确定的圆的圆心且垂直于该圆面。综合几何问题的作图往往是由一些基本作图综合组成，因此对

17、已学过的基本作图方法必须很好理解和掌握。概述综合举例例1 已知ABC平面外同侧两点D、E，求作ABC上一点G，使点G到点D、E的距离之和（DG+EG）为最短。空间分析 如图所示，点D、E在三角形ABC同侧，若三角形ABC上所求点G已作出，而欲使（DG+EG）为最短，则只有点D、E、G在一直线上时成立。但已知点D、E在三角形ABC平面的同侧，因此只有转换（DG+EG）=（FG+EG）=EF，这时点D、F就应是三角形ABC的垂直线且有DM=FM（点M是DF与三角形ABC的交点）。拟定作图方法 根据以上分析，作图方法可拟定为：（1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M；（2）延长DM到F，并取DM=F

18、M；（3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所求点G。具体作图 如图所示，采用一次辅投影将三角形ABC转化为投影面的垂直面，在一次辅投影中完成上述作图步骤，求作出点G的一次辅投影g1。返回求作g、g，应注意利用点G在EF上且df/X1。如果不用辅投影，采用直接作垂线、求垂足，再求EF与三角形ABC的交点G，则作图较繁。例2 求作直线MN，既与平面P垂直，又分别与直线CD、EF相交于点M、N。空间分析 如图所示，与平面P垂直的直线，不一定能与CD、EF都相交；而与CD、EF都相交的直线又不一定垂直于平面P。运用轨迹概念，可知分别与直线CD、EF相交且垂直于平面P的直线的轨迹各是一包含CD、

19、EF的平面，此两平面的交线即是满足条件的直线。图中所作的平面CDdc和EFfe即是垂直已知平面P且各自包含CD、EF的平面，交线MN即所求。拟定作图方法 若按上述分析作图，则（1）首先作出已知平面P的垂线；（2）将作出的垂线各自与已知直线CD、EF组成平面；（3）求作两平面的交线即所求直线MN。可将上述作图过程简化如下：（1）过CD（或EF）直线作一平面垂直于平面P；（2）求出直线EF与该平面的交点N；（3）过点N作直线垂直于平面P，则必与直线CD交于点M。具体作图 如图所示，过直线CD上点C作平面P的垂线CG（cg、cg），求直线EF与CG和CD组成平面的交点即N，过点N作CG的平行线与CD

20、交于M，则MN即所求。垂直于平面P的直线有无数条，它们的方向是相同的。因此，可由已知平面P求出它的垂直方向S，而所求直线MN必与S平行，如图所示。有了所求直线MN的方向，则将方向为S的垂线变换成某一辅投影面的垂直线，已知直线CD、EF在该辅投影面上的投影如果相交，则该交点即为所求直线MN在该辅投影面上的积聚投影，即确定了所求直线MN的位置。同时，根据已知直线在该辅投影面上的投影是否相交的情况可判断解的有无。按此分析用辅投影法解题见下图所示。另一种分析辅投影法 例3 求作直线EF与ABC的夹角。空间分析直线（EF）与直线在平面（P）上的投影（ef）之间所夹的锐角（）称为直线对平面的夹角，如图所示

21、。因此，求直线EF与ABC的夹角，应先由点E（或F）作ABC的垂线，并求出垂足，再求作直线EF与ABC的交点，最后求作夹角的真形。但若采用余角法，则可省去求垂足和求直线与平面的交点。拟定作图方法 采用余角法。欲求夹角，可先求其余角，因此，如图，可过直线上点E作平面的垂线，该垂线与已知直线所夹之角即所求夹角的余角。然后求作角的实形，则所求夹角=90-。具体作图（1）作ABC面上的水平线BI（b1、b1）和正平行CII（c2、c2）；（2）过已知直线上点E作EGABC（egc2、egb1）；（3）在所作垂线上任取一点M（m、m）组成平面形EMF；（4）经过二次辅投影求得EMF的实形，m2e2f2即

22、余角，角=90-即为所求。例4 在H面上找一点S，使其到ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。空间分析 如图所示，由“与两点等距离的点的轨迹是两点连线的中垂面”推理可知，与A、B、C三点等距离的点的轨迹应是该三点两两连线的中垂面的交线（即是一直线）。此交线与H面的交点即为所求点S。拟定作图方法 由上述分析可分别作出AC、BC连线的中垂面，中垂 面有两种作法：（1）几何元素表示。以过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线、水平线表示（2）迹线表示。作出过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线的水平迹点M、N，由此作出分别垂直于AC、BC的中垂面Q、P。中垂面作出后，它们的交线求作

23、在（1）的几何元素表示时，作图过程复杂。而在（2）以迹线表示时，作图过程比较简便。且两迹线平面的H迹的交点即是所求点S的H投影s。具体作图 用迹线表示中垂面，先过AC、BC中点E、F分别作与AC、BC垂直的正平线EN、FM，它们的水平迹点是N（n、n）、M(m、m)。过n作ac的垂线即是AC中垂面的H迹QH，过m作bc的垂线即是BC中垂面的H迹PH。它们的交点即所求点S的H投影s，作出其V投影s(在轴X上)。而中垂面的V迹可以不必作出。例5 求作平面Q垂直于已知平面P。平面Q过点S，又与点A相距20mm。空间分析 如图所示，由“与一定点等距离的点的轨迹是以此点为中心的球”可知距点A为20mm的

24、点的轨迹是以点A为中心，半径为20mm的球。而所求平面Q应是该球的切平面，且Q平面应包含已知平面P的垂线。拟定作图方法 由上述分析可按如下步骤作图。（1）作出已知平面P的垂线SG；（2）将垂线SG经两次辅投影后投影积聚成一点，已知点A随着变换；（3）在两次辅投面上完成以点A为球心，半径为20mm的球投影及过点S与该球面的切平面Q的作图；（4）返回求出平面Q的V、H投影，本题有两解。所求平面均采用迹线平面，使作图简便。具体作图（1）作出过S垂直于P的垂线SG（sgPV，sgPH）。（2）将垂线SG作两次辅投影成为点s2（g2），同时点A亦变换成点a2。（3）以a2为中心，20mm为半径画圆，并过点s2（g2）作该圆的切线即是所求切平面Q的二次辅投影，有两解。（4）平面Q在二次辅投影中是投影面垂直面，其一次辅投应与轴X2垂直，以此特性逐一返回，最后求出平面Q的V、H投影，得到解答。小结 1 一些综合问题采用辅投影法解题比较简便，如例1。2 综合问题的解题思路往往不只一种。同时空间分析与具体作图之间并不完全是一一对应、按部就班，而是在空间分析找到解题思路后还应考虑尽量简化作图过程，如例2、例3。3 应用迹线平面在某些问题的解答中作图比较简便，如例4。