2020届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校第六十八届高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）.docx

1、友好学校第六十八届期末联考高三数学（理科）说明：本试卷分为第卷选择题和第卷非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟，分值150分.注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名，考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域.2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸，试题卷上答案无效.4.保持卡面清吉，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.第卷一、单项选择（每题5分，共计60分）1.已知集合且，则集合中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.

2、4【答案】D【解析】【分析】根据整数与整除的方法枚举即可.【详解】因为,故,即共四种情况.故集合中元素个数为4.故选：D【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题.2.设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m/n时，推不出“l”， “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A3.已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A. 18B. 36C. 48D.

3、 72【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质与求和公式求解即可.【详解】因为等差数列的前项和为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的等和性与求和公式,属于基础题.4.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C考点：1双曲线的标准方程；2双曲线的简单几何性质5.若平面向量与向量平行，且，则（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】求得后根据平行向量满足求解即可.【详解】由题.又且平面向量与向量平行.故,即或.故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属

4、于基础题.6.设，其中满足，若的最小值是，则的最大值为（ ）A. B. 12C. D. 9【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点时，取最小值，即，可求得的值，当目标函数过点时，取最大值，即可求出答案.【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为，联立，可得，当目标函数过点时，取最小值，则，解得，联立，可得，即，当目标函数过点时，取最大值，.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A. B

5、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m48，这个五位数是偶数的概率p故选D【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】将函数y=sin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不

6、变）得到y=sin(x)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）)= y=sin(x)，故选C9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为、正方形的面积之和，即该几何体表面积为故选C.【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.10.

7、四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OEPA,OE底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.11.设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则

8、双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线焦点三角形的面积公式求得,再根据求得,进而求得渐近线的斜率与夹角即可.【详解】由双曲线焦点三角形的面积公式有得故.故渐近线的斜率.故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与.故双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点三角形面积公式与渐近线的倾斜角与斜率的关系.属于基础题.12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】：先构造的原函数，由此题意，得出原函数单增函数，由此判断函数值的大小【详解】：先构造的原函数，因为，则，那

9、么在不等式的两边同时乘以不等号不变，所以原函数单增函数，由此，所以，所以A错，所以B错 ，所以C错故选D【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知函数的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_.【答案】.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得的值，利用周期公式求出，利用当时函数取得最大值1，求出，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，所以，当时取得最大值1，所以，结合，解得，所以函数的解析式是.点睛：该题考查的是有关利用图

10、像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数由最值和周期所决定，由特殊点所确定，最后求得结果.14.设Sn是等比数列的前n项的和，若,则_.【答案】【解析】【分析】先根据等比数列的通项公式求得，再运用等比数列的前项和公式，表示，可得值.【详解】设等比数列的公比为q，则,又，所以,故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前和公式，注意在运用公式时应用整体代入法，属于基础题.15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.

11、【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，可得，故答案为【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,周期函数,且,所以 .【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.的内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，求的面积

12、【答案】（1）；（2）2【解析】分析：(1)在中，由正弦定理的推论可把 边化成角得，用诱导公式变形为，再用两角和的正弦公式变形化简可得，化简可得，进而求得（2）由(1)的结论和条件，要求三角形的面积，应先求一条边所以应由正弦定理求一条边先由， ，求得 再由和两角和的正弦公式求得再由正弦定理可得进而用三角形的面积公式可得详解：(1)在中，因为 ，所以所以 ，化简可得 因为，所以 因为 ，所以（2）因为， ，所以 因为所以 在中，由正弦定理可得 所以 的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积； （2）知边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用

13、，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；18.已知数列的前项和为，（其中），且是和的等比中项.（1）证明：数列是等差数列并求其通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】(1)根据通项与前项和的关系求出关于的递推公式,再根据是和的等比中项利用基本量法求解首项即可.(2)根据(1)中可得,再根据裂项相消求和即可.【详解】（1）由得,所以,又所以,故.故数列是公差为的等差数列,且是和的等比中项,即,得,解得,所以.（2）由题得,【点睛】本题主要考查了根据通项与前项和的关系证明等差数列的方法,同时也考查了等比中项的运用与裂项相消的求和

14、方法.属于中档题.19.在四棱锥中，底面为正方形，.（1）证明：面面；（2）若与底面所成角为， ，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则POBD，而正方形中ACBD，于是可证得结论（2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，四边形ABCD为正方形，,又, 又,.（2），过点P做,垂足为EPA与底面ABCD所成的角为，,又，设,则 如图所示，以A为

15、坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系设面法向量为，,，同理的法向量，求二面角的余弦值【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）20.某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数与仰卧起坐个数之间的关系如下：；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如

16、下：（1）计算值；（2）以此样本的频率作为概率，求在本次达标测试中，“喵儿”得分等于的概率；“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得；（2）由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，仿照可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望【详解】（1） （2）由直方图可知，“喵儿”的得分情况如下：060801000.10.50.1在本次的三

17、组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，则（6分），分布列如下：060801000.0010.555数学期望【点睛】本题考查频率分布直方图，考查相互独立事件的概率，考查随机变量的分布列和期望解题时依据概率公式计算出概率是解题关键.21.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）以为直径的圆过定点.【解析】【分析】(1)

18、根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.(2) 设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线与圆相切得出的关系式,代入证明即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,所以.所以椭圆的方程为.（2）因为直线斜率存在且不为零.故设直线的方程为.由消去,得,所以设,则.所以.所以.因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,整理,得,将代入,得,显然以为直径的圆经过定点综上可知,以为直径的圆过定点.【点睛】本题主要考查了抛物线与椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆方程利用韦达定理与向量的数量积证明圆过定点的问题等.属于难题.22.：已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行（1）求解析式；（2）求函数的单调递增区间与极值【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】解：（1）由，可得由题设可得即解得，所以 （2）由题意得，