2020届江西省赣州市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）.docx

1、赣州市20192020学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试卷1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知，解一元二次方程 可求出集合，然后可求出，再与取交集即可. 【详解】因为：.所以： 或 所以：，得.又因为:.所以： .故选:A.【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，还结合解一元二次不等式求解集.2.在复平面中，复数的共轭复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数，求出，得到对应点坐标，即可得所在象限.【详解】因为复数.得 所以 的对应点为 ，位于第三

2、象限.故选:C.【点睛】本题主要考查复数的J几何意义，运用复数除法运算，以及共轭复数和复平面中对应的坐标所在象限.3.下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为；则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由散点图可判断正负相关，得出为正，再结合剔除点前后的回归直线，即可比较出.【详解】由散点图分布图可知,变量 和成正相关，所以 ，在剔除点之后，且可看出回归直线的线性相关程度更强,更接近1.所以 .故选:A.【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变

3、量的相关性，相关系数的意义：当散点分布呈正相关，；负相关，；越接近1，说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强.4.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指对数函数的单调性化简，与中间值0和1比较,即可比较出的大小.【详解】因为,而.所以,即, ,即. 综上得: . 故选:B.【点睛】本题主要考查指对数函数比较大小，结合函数单调性和取中间值来比较大小.5.已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知，先求出双曲线标准形式，进而得出渐近线方程，带入圆心，求出，带入离心率公式即可得

4、结果.【详解】因为双曲线，所以，即焦点在轴上的双曲线，则渐近线方程，圆，得，圆心为，半径为1，由于渐近线经过圆的圆心，圆心在第一象限，带入得，又因：，得，离心率.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程，离心率等，运用双曲线的相关性质特点，同时还考查圆的一般方程化为标准方程，圆的圆心和半径.6.函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察四个图像，找出图像间的区别，根据判断奇偶性和零点，即可排除得出答案.【详解】因所以即，所以是偶函数排除A和D选项.令.即 .则或，当时，即图像过原点，排除B故选:C.【点睛】本题考查了函数的性质与图像的识别，一

5、般可根据奇偶性，单调性，零点等即采取性质法和特殊值法，利用数形结合思想解题.7.已知正项数列的前项和为，且，则的值为_【答案】45【解析】【分析】由题可知：可证出为等差数列，当 代入求出便可得出通项公式，即可求得的值.【详解】因为 所以.则 化简得： 简化得： 又因为 ，所以 得：.当 时， 得 .所以为等差数列，首项 ，公差 ， .所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用数列的递推公式，以及定义法证明等差数列.8.函数的图像如图所示，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】【分析】由函数图

6、像可看出点和点在图像上，分别代入求得和，可得函数的解析式，再利用三角函数图像变换规律和诱导公式，求得结论.【详解】根据函数的部分图像可看出：点在图像上，代入得，得.故，又因为点也在图像上，有所以，因为，当时，解得，所以.将图像向左平移个单位，可得，即得到函数.故选:D.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，以及的图像变换规律和诱导公式相结合.9.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米三升.问米几何？”如图是解决问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的的值为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】

7、B【解析】【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值为 ，即可解得的值.【详解】模拟程序的运行，可得 ，满足条件 ，执行循环体， ，满足条件 ，执行循环体， ，满足条件 ，执行循环体， ，此时，不满足条件 ，退出循环，输出的值为， 由题意可得： 解得： .故选:B.【点睛】本题考查程序框图，结合数学文化去理解分析，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查10.在中，角的对边分别是，的面积为，且，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知及余弦定理可得，解得，再利用基本不等式可求得，根据三角形的面积公式即可

8、求解.【详解】因为，得：又由余弦定理：，即则，所以又因为三角形面积公式，解得：，得，所以.因为，又因为，即又由基本不等式：，即，得.所以，当且仅当时，的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积的综合，运用余弦定理和基本不等式，求得三角形面积的最值，同时还考查学生的数据处理和综合分析能力.11.已知点和抛物线，过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则直线斜率为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】由题可先求出焦点坐标为，可得直线的方程，直线与抛物线联立方程组得：，可得韦达定理，再根据结合韦达定理，计算出斜率.【详解】因为抛物线，焦点坐标为则过焦点的

9、直线的方程为：，设联立消去得：，所以：又因为，则得：，即化简得得： 代入，得： 解得：.故选:D.【点睛】本题考查抛物线与直线的综合运用，涉及抛物线的焦点坐标，点斜式方程，联立方程组，向量垂直，结合韦达定理化简运算.12.已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件构造函数，利用导数求函数的单调性，即可解不等式.【详解】解：构造函数，则，函数在上单调递增.又，原不等式等价于，原不等式的解集为.故选:C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，还运用构造新函数和通过单调性解不等式.13.函数在处的切线与坐标轴所围成的三角形面

10、积为_.【答案】【解析】【分析】依题意得，先求导，代数得，通过点斜式从而得出切线方程，求出直线与坐标轴的交点，即可得出三角形面积.【详解】因为，则，因此时，则切点为，斜率，故切线方程为：，即，令，可得，令时，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为：.故答案为:.【点睛】本题考查通过导数法求某点处的切线方程，运用切线斜率，直线的点斜式方程以及三角形面积.14.在边长为2的等边三角形中，为线段中点，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，根据向量的线性加减法可求得用表示出和，再进行计算即可.【详解】由题可知，为线段中点则：,，且,所以：=.故答案为:-2.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运

11、算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，即向量的线性运算，利用数形结合和方程思想解题.15.已知实数满足约束条件，则的最小值等于_.【答案】6【解析】【分析】由题可知，画出可行域，结合目标函数的几何意义，找出最优解，结合点到直线距离，即可得出.【详解】画出不等式组对应的平面区域如图：设可行域三个顶点分别为：，目标函数的几何意义为可行域内动点到定直线的距离的5倍，由图可知，当点位于点时，到直线的距离最小，则此时最小，即：，所以点到直线的距离为：，则，为的最小值.故答案为:6.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的

12、关键16.在三棱锥中，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】法一：根据已知线段长满足勾股定理，得出和，当三棱锥的体积取最大值时，可求出，即可得出外接球的半径，带入球的表面积公式从而得出外接球表面积.法二：运用补形法，将三棱锥补形成长方体，即可求出求半径，因而得出球的表面积.【详解】（解法一）：因为，所以，同理当平面平面时，三棱锥的体积取最大值.知是以为公共斜边的直角三角形，取的中点，得，知点即为三棱锥外接球的球心，此时三棱锥的外接球直径，则外接球的表面积为.（解法二）：结合常见几何体鳖臑，将三棱锥补形成长方体，则恰为长方体体对角线即外接球直径.【点睛】本题主要

13、考查三棱锥外接球的表面积，通过证明垂直，结合三棱锥的条件求出球的半径，以及通过补形法，利用长方体的外接球，从而有长方体的体对角线等于球的直径来求解.17.已知是公比大于1的等比数列，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由于为等比数列，根据已知条件算出公比，即可得出的通项公式；（2）利用对数函数的运算化简并求出，即可得出，利用裂项相消法求数列的前项和.【详解】（1）设数列公比为，因为成等差数列，所以，即得或因为，所以所以（2）因为，得【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和裂项相消法求数列前项和，其中用到等差中项和对数

14、函数的计算来化简求值，属于常考题.18.某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该校高三某男生的跳远距离为，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在的概率.【答案】（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）【解析】【分析】（1）由题可知，根据频率=纵坐标组距，

15、分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数，即可判断；（2）由频数=频率样本容量，可求出对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.【详解】（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05该生属于“体能不达标”的学生（2）由题意，跳远距离在的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则抽1人，抽2人，抽2人设抽出的人编号为，抽出的人编号为，抽出的人编号为从中选两人，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在为事件，满足条件的基本事件有6种，

16、分别为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用以及古典概型及其概率的计算，其中要会计算频率分布直方图的频率、频数、平均数等，以及分层抽样和利用古典概型及其概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题19.在矩形中，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面 （1）证明：平面；（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得，通过勾股定理可证出，再结合面面垂直的性质，得出平面，通过线面垂直的判定，即可证出；（2）取中点，连接，证出平面，求出，再结合几何体求出三棱锥的体积.

17、【详解】（1）证明：由题意，易得，即，又平面平面，交线为平面又平面（2）取中点，连接，又平面平面，交线为平面为的中点，为的中点【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及三棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，面面垂直的性质，以及三棱锥的体积公式即可.20.已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线过点交椭圆于两点，线段的中垂线交轴于点，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，【解析】【分析】(1)已知为椭圆上一点，可代入椭圆方程，结合离心率和，求出，即可得椭圆的标准方程；(2)直线斜率时得出定值

18、，时设出直线方程，联立方程组，利用弦长公式求出，再得出的中点坐标和线段的中垂线方程，得出点的坐标，从而求出,求得为定值.【详解】（1）解得椭圆方程为（2）当时，当时，直线方程为，假设两点坐标分别为，把直线代入椭圆方程中得：，显然恒成立则线段中点坐标为，线段的中垂线方程为，即令，则，综上所述，（定值）【点睛】本题考查通过待定系数法求椭圆标准方程和定值相关问题，利用直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，中点坐标，直线方程，还考查了学生的综合分析能力和计算能力.21.已知函数在处的切线方程为.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）先求导，

19、将代入导函数得切线斜率，将代入原函数得切点纵坐标，再运用点斜式求出切线方程；（2）法一：可知，先分离参数，构造新函数和，求出单调性，通过求出的最值，便得到的最大值.法二：先通过构造新函数，求出单调区间，再用分离参数，利用基本不等式求出的最大值.【详解】（1），在处的切线方程为解得（2）解法1：，由令，则令，则在上单调递增，使得，即在上递减，在上递增，整数的最大值为2解法2：令显然在上递增当时，在上递增，合题意当时，则，即在上递减，在上递增即，而恒成立，又.若，使得，不合题意舍去.若.，在上递减，在上递增，合题意整数的最大值为2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，通过分离参数法、构造新

20、函数、单调性解决恒成立问题中求参数取值范围，以及利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用点斜式即可得出切线方程，同时考查综合运用数学思想方法和分析与解决问题以及逻辑推理能力22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）若点与点分别为曲线动点，求的最小值，并求此时的点坐标.【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为（2），【解析】【分析】（1）利用消参法，消去参数，可把曲线的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式，可将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）点是曲线上动点，可先求出的

21、参数方程，则可表示出点坐标，运用点到直线距离公式求到直线的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案.【详解】（1）曲线的普通方程为曲线的极坐标方程为，即曲线的普通方程为，即（2）设点则点到直线的距离为当，即时取最小值，此时点坐标为.【点睛】本题主要考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离求距离公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题.23.已知函数.（1）解不等式； （2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式，分类讨论的取值范围，解不等式即可得解集；（2）根据绝对值不等式的意义，求得的最小值，即可得的值，再结合基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：（1）或或或或不等式的解集为（2）由可知当且仅当即当时的最小值为8.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，同时巧妙运用“整体代替1”的方法和基本不等式的运用，属于中档题.