2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试题（解析版）.docx

1、葫芦岛市普通高中20192020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第卷、第卷两部分，共6页.满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出关于、的不等式，写

2、出、的交集即可.【详解】由，所以.故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题.2.已知i是虚数单位，复数 （）A. i2B. i+2C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值【详解】解：，故选：B【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题3.在等比数列中，是方程的两根，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关系，即可得出正确的结论.【详解】在等比数列中，由题意知：，所以，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查了等比中项的性质的应用问题，也考查了根与系数关系的

3、应用问题，属于基础题.4.设均为单位向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据，可化简为，又均为单位向量，可得，即可分析出结果.【详解】因为均为单位向量，所以，由可得：，即，所以，即，所以，因此“”是“”充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题.5.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考

4、中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史【答案】D【解析】分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解

5、】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理.故选：D.【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.6.函数的图像大致为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象

6、的循环往复 7.在中，分别为的对边，如果成等差数列，的面积为，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B考点：余弦定理；三角形的面积公式8.函数在单调递增，求a的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】由题意，设，则要使在区间上单调递增，则满足，即，解得.故实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题.9.若，则下列不等式不成立的是（ ）A. B. C

7、. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可.【详解】对于A：当，由对数函数的单调性知，故A正确；对于B：当，设函数为减函数，则，所以，因，则与无法比较大小，故B不正确；对于C：当，则，由指数函数的单调性知，将不等式两边同乘，得，故C正确；对于D：当，由不等式的基本性质知，故D正确.故选: B【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.10.已知角，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过，的范围求出，进一步求出，再求出，结合角的范围求出角的大小即可.【详解】，由，则，

8、又，即，解得，又，.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题.11.如图所示，已知球O为棱长为3正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积.【详解】根据题意知，平面是边长为的正三角形，且球与以点为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，内切圆的半径是，所以截面圆的面积是.故选：A.【点睛

9、】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于基础题.12.设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当时，先利用导数求得函数在上为减函数，再将不等式恒成立转化为对任意的恒成立，进而解得的范围.【详解】由，得，令，得，当时，所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增，而当时，则在区间上为减函数，又，则，由题意，不等式对任意的恒成立，即转化为对任意的恒成立，所以恒成立，解得，即，结合选项知，的可能取值是.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数与二

10、次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.第卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分.）13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_. 【答案】【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是将边长为1的正方体截一只角的三棱锥图形，所以，该三棱锥的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题.14.周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，

11、书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率的近似值的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率的近似值为_. 【答案】【解析】【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得，进而得的值.【详解】圆形钱币的半径为，面积为，正方形边长为，面积为，由题意，在圆内随机取点，点取“内方”之外部分的概率，即.故答案为：.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础

12、题.15.的展开式中系数为2，则a的值为_，的系数为_.【答案】 (1). 2 (2). 181【解析】【分析】把按照二项式定理展开，再根据系数为2，即可得到a的值，进而可得的系数.【详解】，所以展开式中含项的系数为，则，所以的系数为.故答案为：，.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与x轴切于点，且直线经过线段的中点且垂直于线段，则双曲线C的方程为_.【答案】【解析】【分析】设点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知，设三角形的内切圆与轴的切点为，、分别为内切

13、圆与、的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知，由此得到，再利用直线经过线段的中点且垂直于线段，设，运用直线的斜率公式和中点在直线上，化简整理得，再利用双曲线的定义，得，进而得到双曲线方程.【详解】点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知，若设三角形的内切圆与轴的切点为，、分别为内切圆与、的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知，且，则有，所以，即，再设，则的中点坐标为，由直线经过线段的中点且垂直于线段，所以有，整理得，即，所以，又，所以，在双曲线中，故双曲线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于

14、中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面、E为的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点F，连结，先证四边形为平行四边形，进而可得，进而可得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取中点F，连结，.因为E为中点，所以，.又因为，所以，所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）取中点O，连结，.因为为等边三角形，所以.又因为平面

15、平面，平面平面，所以平面.因为，所以四边形为平行四边形.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.所以，设平面的一个法向量为，则即令，则，显然，平面的一个法向量为，则即令，则，所以.由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，属于基础题.18.已知数列其前n项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）当时，当且时，设，求的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，得，当时，由，得，进而利用累乘法即可得到结论；（2）由（1）得，当时，利用错位相减法即可.【详解】解：（1）当时，得

16、.当时，即，因为，所以，综上所述，（2）当时，.当时，,综上所述，.【点睛】本题考查与的关系，考查利用累乘法求通项公式，考查利用错位相减法求前项和，属于基础题.19.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参与调查

17、并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）平均数为岁；中位数为岁（2）（3）详见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出，由此能求

18、出这人年龄的样本平均数和中位数；（2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人，设第4组中恰好抽取2人的事件为，利用排列组合能求出事件的概率；（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解：（1）由，得，平均数为岁；设中位数为x，则，岁.（2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人.设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则.（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为：X0123P，.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型

19、随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题20.椭圆的上顶点为，点在椭圆上，分别为的左右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆上，且M在第一象限，过M作的切线交椭圆于，两点，且，不共线，问：的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.【答案】（1）（2）周长为定值，详见解析【解析】【分析】（1）由题意得，将点代入椭圆方程解得，即可得到椭圆方程；（2）由题意，设的方程为，由与圆相切，得，再联立直线与椭圆方程，运用弦长公式以及两点之间的距离公式分别表示出三角形的边长，进而即可得到结论.【详解】（1）由，得，B点代入

20、椭圆方程得，由得，所以椭圆E的方程为.（2）由题意，设的方程为，与圆相切，即，由得设，则，.又，同理，.即的周长为定值.【点睛】本题考查椭圆方程、两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题21.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求k的取值范围；（3）求证：当时，不等式成立.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；（2）由，即，构造函数，求导函数研究单调性，进而得的最大值，即得的取值范围；（3）由（2）可知

21、：当时，恒成立，令，整理得：，将两边不等式全相加即可得到结论.【详解】（1）函数的定义域为，函数在点处的切线方程为，即.（2）由，则，即，设，单调递增，单调递减，不等式恒成立，且，即可，故.（3）由（2）可知：当时，恒成立，令，由于，.故，整理得：，变形得：，即：时，两边同时相加得：，所以不等式在上恒成立.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时就写清题号.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

22、标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程及直线的斜率；（2）直线与圆C交于M，N两点，中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.【答案】（1）圆C的直角坐标方程为，直线的斜率为（2）Q点的轨迹方程为，【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用中点的坐标公式化简得，进而可得，再求得的范围即可得到结论.【详解】（1）由得，即圆C的直角坐标方程为.由直线的参数方程可得，故直线的斜率为1.（2）设，中点，将M，N代入圆方程得：，-得：，化简得因为直线的斜率为1，所以上式可化为，代入圆的方程，解得，所以Q点的轨迹方程为，.【点睛】本题考查

23、参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，求轨迹方程的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题.23.设a，b是正实数，求：（1）若，求最小值；（2）若，求的最大值.【答案】（1）最小值为（2）最大值为2【解析】【分析】（1）法一：由题意得，再将，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设，进而即可得到结论.【详解】（1）法一：由得，于是，当时，取得最小值为.法二：，当且仅当时等号成立，此时的最小值为.（2）法一：，当且仅当时等号成立，因为a，b是正实数，所以的最大值为.法二：设，当时，的最大值为2.【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.