2020届内蒙古包头市高三上学期期末教学质量检测数学理科试题（解析版）.docx

1、20192020学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷数学（理科）注意事项：1.本试卷分第卷和第卷两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2. 做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将答题卡交回.第卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，若，则实数的取值范围是（

2、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的包含关系,即可求得参数的取值范围.【详解】集合,即因为,则 即故选:D【点睛】本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.2.设复数满足，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数表达式,先表示出.由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.【详解】复数满足即由复数的运算化简可得在复平面内对应的点坐标为,所以位于第三象限故选:C【点睛】本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.3.已知，则的值为（ ）A.

3、B. 2C. D. 18【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标运算,先求得,再根据模的坐标运算即可求解.【详解】根据向量的坐标运算,可得则故选:A【点睛】本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.4.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】曲线则当时,所以在点处的切线方程,由点斜式可得 化简可得故选:A【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.5.甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：班级参赛人数平均数中位数众数方差甲4583868

4、582乙45838485133某同学分析上表后得到如下结论：甲、乙两班学生的平均成绩相同；乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）；甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；乙班成绩波动比甲班小.其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】看两班的平均数易知正确；看两班的中位数正确；看两班的众数正确；看两班的方差.【详解】从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；根据甲、乙两班的众数，所以正确；因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误故选：C.【点睛】本题主要考查了样本中的

5、数字特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.直线与平面平行的充要条件是（ ）A. 直线上有无数个点不在平面内B. 直线与平面内的一条直线平行C. 直线与平面内的无数条直线都平行D. 直线与平面内的任意一条直线都没有公共点【答案】D【解析】【分析】A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的判定定理来判断， C. 由无数个不代表所有的来判断D. 由直线与平面平行的定义来判断.【详解】A. 无数个点不是所有点，所以不正确；B. 缺少直线在平面外，所以不正确；C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；D. 由直线与平面平行的定义，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及

6、判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7.若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆的上顶点是 抛物线的焦点因为两点重合所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别作出这四个函数的图象，再根据条件来判断.【详解】A. 的图象如下：最小正周期是 不正确，B. 的图象如下：最小正周期是 不正确C. 的图象如下：最小

7、正周期是，在区间单调递增，正确 D. 的图象如下：最小正周期是，在区间单调递减，不正确 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.9.已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据均值不等式，可有，则，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为所以所以所以所以两边分别相加得当且仅当 取等号故选：B【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.若函数对任意，都有，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数,求得各区间的解析式,画出函数图像

8、,即可通过图像求得的取值范围.【详解】函数当时, 当时,当时,当时, 当时, 当时,函数值越来越小.画出函数图像如下图所示:由图像可知, 对任意,不等式恒成立则令,解得 所以当时满足恒成立故选:C【点睛】本题考查了分段函数解析式求法,周期性函数的解析式求法,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.11.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求右顶点到条渐近线的距离，再根据，利用求解.【详解】因为双曲线：的右顶点为，双曲线的一条渐近线 右顶点到一条渐近线的距离 又因为，所以

9、解得 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.设，且，记，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先令，得到，所以，根据结构，构造函数，再利用单调性比较大小.【详解】设，所以，令则因为所以在上是增函数，又因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了构造函数法比较数的大小，还考查了构造，论证的能力，属于中档题.第卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上.）13.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生随机抽取

10、了100人，发现使用或支付方式的学生共有90人，使用支付方式的学生共有70人，两种支付方式都使用的有60人，则该校使用支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为_.【答案】08【解析】【分析】根据题意,结合各组的关系,求得使用支付方式的学生人数,即可求得其估计值.【详解】全校抽取100人,使用或支付方式的学生共有90人,则不使用或支付方式的学生共有10人使用支付方式的学生有70人,两种支付方式都使用的有60人,则仅使用方式的人数为 人则仅使用方式的人数为 人所以使用方式支付的总人数为 人即使用支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 故答案为:【点睛】本题考查了集合在实际问题中的应用

11、,根据数据估计总体,属于基础题.14.已知是定义在上的奇函数，当时，若函数在区间上值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据奇函数性质,求得函数解析式.画出函数图像,结合函数图像即可分析出的取值范围.【详解】是定义在上的奇函数,所以当时,令则所以由奇函数性质可知所以,满足综上可知,画出函数图像如下图所示:若函数在区间上值域为,由函数图像可知,在上的值域为所以 当时,解方程可得或（舍）所以当时能够满足值域为即故答案为:【点睛】本题考查了根据奇函数性质求函数解析式,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.15.在圆内接四边形中，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理在中

12、，有，在中，有再根据内接四边形对顶角互补，两式相加得再用正弦定理求解.【详解】根据题意在中，在中，又因为所以所以两式相减得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.如图，棱长为1的正方体木块经过适当切割，得到棱数为12的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面平行于正方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若在侧面内，且该正八面体的体积为，则该正八面体的棱长为_，点到棱的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先明确正八面体中两个正四棱锥的高是，从而求得底面积，再根据底面是正方形求解.【

13、详解】设正八面体的棱长为 根据题意正八面体中两个正四棱锥的高是所以 所以所以设点到棱的距离为根据题意故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了棱锥体积的有关计算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可证明平面底面,由面面垂直的

14、性质可证明平面;（2）由题意可证明,则以为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：底面是正方形,侧面底面,侧面底面,由面面垂直的性质定理,得平面.（2）设,的中点为,的中点为,则,.由面面垂直的性质定理知平面,又平面,故.以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.侧面为正三角形,则,为的中点,设平面的法向量,则,即,即,所以可取,平面的法向量可取,于是,由同角三角函数关系式可求得所以,二面角的正弦值为.【

15、点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,利用法向量法求二面角夹角的余弦值,同角三角函数关系式的应用,属于中档题.18.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，.（1）求和的通项公式；（2）记，证明：，.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,即可代入得方程组,进而求得和的通项公式;（2）根据题意,可知为等差与等比乘积形式,利用错位相减法可求得的前n项和.根据前n项和的表达式,即可证明不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则.由题意,得,解得：,故,.（2）,设数列的前项和为, -得：,又,即,.【点睛

16、】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的应用,错位相减法求数列的和,数列中不等式的证明,属于中档题.19.已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）3人，2人，2人.（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）根据独立重复试验中概率计算公式,

17、可分别求得随机变量的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人,2人,2人.（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.则,所以,随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.20.已知椭圆：的左右顶点分别为，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直

18、线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点的坐标,代入椭圆方程,根据,可得方程组,求得的等量关系,结合焦距长即可求得,得椭圆方程.（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况.当斜率不存在时,易求得,即可求得;当斜率存在时,用点斜式表示出直线方程,联立椭圆,整理成关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出.结合直线方程,即可表示出.将等式变形,结合基本不等式即可求得最大值.【详解】（1）椭圆：,点是椭圆上异于、的任意一点设点,则,联立得,又,即,椭圆的标准方程为.（2）由题意知,当直线的斜率不存在时,于是,当直线的斜率存在时,设直线：,联立,得.设

19、,根据韦达定理,得,于是,当且仅当时等号成立,综上,的最大值为.【点睛】本题考查了拖延标准方程的求法,过定点的直线与椭圆的位置关系,三角形面积的表示方法,利用基本不等式求最值,综合性较强,属于难题.21.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且，讨论函数的单调性.【答案】（1）（2）.（3）见解析【解析】【分析】（1先求导，再由求解.（2）由，在区间上恒成立，转化为在上恒成立，令，再用导数法求解.（3）由，求导得，令，分，两种情况讨论.详解】（1）由题意，得，则，解得.（2）当时，在区间上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，

20、可得，单调递增；令，可得，单调递减；所以，即，故.（3）当时，则，令， 当时，所以，在内，单调递增，在内，单调递减. 当时，令，解得或，所以，在和内，单调递增；在内，单调递减综上， 当时， 在上单调递增，在单调递减. 当时，在和单调递增；在单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性，极值，最值，还考查了转化运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.22.点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点

21、顺时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线与曲线、分别交于、两点，定点，求的面积.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）将代入得曲线的极坐标方程，设，有顺时针旋转，得到点，代入则曲线的极坐标方程得解。.（2）先求点到射线的距离，利用公式求，再由.求解.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，设，则，所以.所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意得点到射线的距离为，的面积.【点睛】本题主要考查了普通方程与极坐标方程的互化及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数，.（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，转化为，再利用绝对值的几何意义求解.（2）根据存在，使得成立，转化为只需要，再分别求的最大值和的最小值.【详解】（1）由，得，所以，即或，解得：或，所以原不等式的解集为.（2）因为存在，使得成立，所以只需要，因为，当时，等号成立，即，当时，等号成立，即.所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，还考查了转化运算求解的能力，属于中档题.