高中高考数学基础知识、常见结论总结.doc
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1、高考数学基础知识、常见结论第一章 集合与命题一、理解集合中的有关概念1. 集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性;集合元素的互异性:如:已知集合A=1,a,B=a,a2,且A=B,求实数a。2. 集合与元素的关系用符号,表示;3. 常用数集的符号表示:自然数集_,整数集_,正整数集_,负整数集_,有理数集_,正有理数集_,负有理数集_,实数集_,正实数集_,负实数集_,复数集_;4. 常用数的分类(0是偶数)(1既不是质数也不是合数)5. 集合的表示法:列举法,描述法,韦恩图;注意:区分集合中元素的形式:如:,。6. 子集、真子集、集合相等;7. 空集是指不含任何元素的集合。(注意:、和的区
2、别;0与三者间的关系)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。如:,如果,求的取值范围。二、集合间的关系及其运算1. 符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 ;2. ;3. 对于任意集合,则:(1);(2);(3);(4)_;_;_;_;=_;_=。三、集合中元素的个数的计算: 1. 若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_,所有非空子集的个数是_,所有真子集的个数是_,所有非空真子集的个数是_;2. 韦恩图的运用。如:设全
3、集N,若,求集合A、B。四、四种命题形式如果用和分别表示原命题的条件和结论,用和分别表示和的否定,那么四种命题的形式就是:互逆互否互否原命题:如果,那么;逆命题:如果,那么;互逆否互逆否命题:如果,那么;逆否命题:如果,那么。原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的_;(有时很难直接判断原命题的真假,可以考虑判断其逆否命题的真假)如:“”是“”的_条件。五、反证法:当证明“如果,那么”感到困难时,改证它的等价命题“如果,那么”成立。步骤:(1) 假设结论反面成立;(2) 从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;(3) 由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。矛盾的来源:(1) 与原命题的条件矛盾
4、;(2) 导出与假设相矛盾的命题;(3) 导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定第二章 不等式 一、实数大小与顺序关系 1. ab a-b0; 2. a=b a-b=0; 3. ab a-b0且b0 a+b0 | a0且b0 a+b0 | a、b异号 abb bb,bc ac; 3. 加法单调性:ab a+cb+c (ab a-cb-c); 4. 乘法单调性:ab,c0 acbc;ab,c0 acb,cd a+cb+d; 6. 异向相减(可
5、减性):ab,cb-d。 7. 同向相乘:ab0,cd0 acbd0 (ab0,cdbd0) ; 8. 倒数改向:ab,a、b同号 b,a、b异号 ; 9. 乘方性质:ab0 N,n1); 10. 开方性质:ab0 N,n1)。 注意:对于9. 、10. ,当n为奇数时,只要ab即可 及,不再需要大于0的条件。 三、基本不等式 1. 若a、bR,则(当且仅当a=b时等号成立); 2. 若a、bR+,则(当且仅当a=b时等号成立)。 注意:(i) 应用公式的条件;(ii) 取等号的条件;(iii) 广义地理解公式中的字母a、b。 四、几个重要的不等式变形 1. 若a、bR,则(当且仅当a=b时等
6、号成立); 2. 若a、bR,则(当且仅当a=b时等号成立); 3. 若a、bR+,则(当且仅当a=b时等号成立)。当(常数),当且仅当_时,_;当(常数),当且仅当_时,_;基本应用:求函数最值:注意:一正二定三取等;积定和小,和定积大。常用的方法为:拆、凑、平方;如:函数的最小值_;若正数x、y满足,则的最小值_;(“1”的妙用)若正数x、y满足,则x+y的最小值_。五、绝对值不等式:。注意:上述“”成立的条件; 六、证明不等式常用方法:1. 比较法:作差比较:;注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。作商比较:若a和b都是正数,则2. 综合法:由因导果。3. 分析
7、法:执果索因。基本步骤:要证,只需证,只需证4. 反证法:正难则反。5. 换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如:已知,可设;已知,可设();已知,可设;已知,可设tgq;6. 构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;七、不等式的解法: 1. 常见不等式解法类型解集(解法)一元一次不等式axba0a0a=0b0fb0Rax0a0Rb0f一元二次不等式D=b2-4ac,x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根,且x10(a0)D0x|xx2或xx1D=0D0Rax2+bx+c0)D0x|x1xx2D=
8、0fD0f一元一次不等式组(abx|xax|ax0a0xn+a1xn-1+an0,nN,n3)a0xn+a1xn-1+an=0有n个实根“数轴标根法”求解分式不等式f(x)g(x)0f(x)g(x)cc0x|xc或x-cc=0x|xR且x0c0R|x|0x|-cxg(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)1af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)0aag(x)f(x)g(x)af(x)g(x)对数不等式a1logaf(x)logag(x)logaf(x)logag(x)0alogag(x)logaf(x)0D=0D0)的根
9、有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集ax2+bx+c0(a0)(-,x1)(x2,+)Rax2+bx+c0)(x1,x2)ff二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像xyOx1 x2xyOxyO 3. (1) 不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数 ; (2) 不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数 。注意:a=0的情况千万不要遗漏!如:函数的定义域是R,则k的取值范围是_。第三章 复数初步一、理解复数、虚数、纯虚数、模、共轭复数、实部(Rez)、虚部(Imz)的概念;注意:纯虚数的虚部0!二、熟练掌握、灵活运用以下结论:1. a+bi=c+di (a、b、c、
10、dR) a=c且b=d2. 复数是实数的条件:(1) z=a+biRb=0 (a、bR);(2) zR z=;(3) zR z20;3. 复数是纯虚数的条件:(1) z=a+bi是纯虚数 a=0且b0 (a、bR); (2) z是纯虚数 z0 (z0);(3) z是纯虚数 z20:;D=0:;D0、D=0、D0):_;(18):_; (19):_;(20):_; (21):_。三、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性1. 单调性:(1) 定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。(2) 判定方法:定义法(作差比较和作商比较),图像法,复合函数法。(3) 应用:比较大小,证明不等式,解不等式
11、。2. 奇偶性:(1) 定义:一定先要判断定义域是否关于原点对称,然后才比较f(x)与f(-x)的关系:f(x)-f(-x)=0 f(x)=f(-x) f(x)为偶函数 (图象关于y轴对称);f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x) f(x)为奇函数 (图象关于原点中心对称)。(2) 判别方法:定义法,图像法。(3) 应用:把函数值进行转化求解。 如:已知,其中a、b、c、d为常数,若f(-7)=17,求f(7)。3. 周期性:(1) 定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x) (常数T0),则T为函数f(x)的周期。(2) 其他:若函数f(x)对定义域内的任意
12、x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期。注意:比较f(x+a)=f(-x+a)和y=f(x+a)、y=f(-x+a)的区别。如:(1) 已知函数y=f(x) (xR),若f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的对称轴是_;(2) 已知函数y=f(x) (xR),则函数y=f(x-1)和y=f(1-x)关于直线_对称; (3) 定义域是R的奇函数f(x),对任意恒有f(x)=f(x+2),则f(2)+f(4)+f(6)+f(2006)+f(2008)=_。(3) 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌
13、握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考)1. 平移变换y=f(x) y=f(x+a),y=f(x)+b注意:(1) 有系数,要先提取系数。如:把函数经过_平移得到函数的图象。(2) 会结合向量的平移,理解按照向量平移的意义。2. 对称变换y=f(x) y=f(-x):关于y轴对称y=f(x) y=-f(x):关于x轴对称y=f(x) y=-f(-x):关于原点中心对称y=f(x) y=f(|x|):把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称(注意:它是一个偶函数)y=f(x) y=|f(x)|:把x轴上方的图象保留,x
14、轴下方的图象关于x轴对称xO(2,0)(0,-1)yy=f(x)如:的图象如图,作出下列函数图象:(1);(2);(3);(4); (5);(6); (7);(8);(9)。3. 伸缩变换:y=f(x) y=f(x)y=f(x) y=Af(x+)+B 具体参照三角函数的图象变换。如:把函数经过_平移得到函数的图象。(“先j后w”或“先w后j”)4. 几个重要结论: (1) 曲线C1:f(x,y)=0关于y=x+a (y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0 (或f(-y+a,-x+a)=0); (2) 曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a
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