国家教师资格考试《高中数学学科知识与教学能力》辅导课件.pptx

1、国家教师资格考试数学学科知识与教学能力数学学科知识与教学能力大纲要求 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学

2、的问题。数学分析数学分析函数与极限函数与极限求极限求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有理化；判断连续性判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。例例1 12723lim.49xxx求解解227723(23)(23)limlim49(49)(23)xxxxxxxx27771limlim(49)(23)(7)(23)xxxxxxx156 为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当方法：方法：以以分母分母中自变量的最高次幂除分子中自

3、变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由准则由准则1得得.1)12111(lim222 nnnnn例例3 3.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,321nnxx )

4、,3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnxlim(1)bx cabxaex0lim(1)bcabxxaxe例例4 4解解1lim1xxxx121111limlim111xxxxxexxeex例例5 5.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx xxxx193lim xxxxx111319

5、lim xxxxx 313311lim9990 e例例6 6例例7 7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果x

6、fxxfxfxxf 例例4 4.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(

7、00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例6 6.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例8 8解解.lim111xxx 求求xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例9 9解解.)(cotlimln10 xxx 求求,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取

8、对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式导数与微分导数与微分复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率0000()()()limxf xxf xfxx 0000()()lim()xf xk xf xkfxn xn 0000()()limlimxxxf xf xyxxx 分段函数的导数大多需要用定义来求。分段

9、函数的导数大多需要用定义来求。例例1010.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a例例1111.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐

10、函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法例例1212,.xyxy已知函数求解解等式两边取对数得等式两边取对数得lnlnyxx两边求导得两边求导得11lnln1yxxxyx(ln1)(ln1)xyyxxx例例1313解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 近似公式 由以上分析我们可知，当由以上分析我们可知，当

11、|x|很小时，很小时，ydy，即即0()yfxx 000()()()f xxf xfxx令令000()()()f xxf xfxx00 xxxxx x 得得000()()()()f xf xfxxx00 x 当时()(0)(0)f xffx例例14141.023求的近似值解解1.021 0.0233110.021.00673 例例1515ln1.01求的近似值解解ln1.01ln(1 0.01)0.01例例16163求 8.02的近似值解解23338.028 1.00251.00250.002522(1)2.00167331+0.0025例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1

12、上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成三、柯西(Cauchy)中值定理例例1717.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxf

13、f 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即(0,1)2()(1)()0.ff例18：设f（x）在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明存在使得解：令()()(1)()F xf xx xfx罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点使得()0()(1)()0Fff()(1)()()(1)()0ffff 显然F(x)满足2()(1)()0ff 2()(1)()0ff泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲线凹凸的判定xyoxyoabA

14、BabBA定理定理单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT ,0.12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo)S S).M.0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是基点是基点M,sMM （.切线转角为切线转角为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss 2、曲率的计算公式、曲率的计

15、算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd ,arctany 有有.12dxyds 积分积分不定积分、定积分、定积分的应用不定积分、定积分、定积分的应用注意：换元法注意：换元法.11dxex 解解dxex 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 23x xdx解解2221332x xdxxdx23xu令令得得223xududx原式原式11322111122312

16、uuduCuC将将x代替代替u得：得：322213(3)3x xdxxC例例 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln sectanttCax22ln.xxaCaa 2,2t例例 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式xyo

17、)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x 一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体

18、积积元元素素，dxxfdV2)(xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)(dcVxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积x 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的

19、体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积级数级数级数的收敛与发散；级数的收敛与发散；幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu比较审敛法比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv

20、1nnu设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其中其中任意项级数正项级数定义定义:若若 1nnu收敛收敛,则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛;若若 1nnu发发散散,而而 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛.nnnaa1lim 12lim nnn2,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1,0(收敛收敛 x121(1)().2nnnnxn,0时时当当 x

21、,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.(0,1.解,)1()(11 nnnnxxs,0)0(s显然显然两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11(x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11(x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即高等代数高等代数行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二次型、特征值和特征向量次型、特征值和特征向量32312221

22、1211aaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算 D333231232221131211aaaaaaaaaD .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例：1201201112301112求D=解：1201001052331111D1211523111 1325781003278(2

23、4 14)10 例：已知 求3521110513132413D解：11121314AAAA11213141MMMM111213141111110513132413AAAA4112131411121314115211105013131413MMMMAAAA运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 例 设A为三阶矩阵 若已知|A|2 求|A|A2AT|解 (2)664|A|3|A2|AT|A|A2AT|A|3|A2AT|A|3|A|A|A|A|6 定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵

24、其中其中AA 112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA这里这里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代数余子式元素的代数余子式（注意注意：不是余子式）。：不是余子式）。ijAija .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 11 1 .111 AA 例：设为三阶方阵，|A|=1/2，计算 1(3)2AA解：1111|2AAAA AAA 111111114(3)22(1/2)333AAAAAAA314|3A1111

25、1|12nnAAIAAAAIAA 1(3)2AA314128|327A 证明证明,022 EAA由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 212 EAA.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA ,13412 EAEA.,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr

26、21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A例题例题,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，.2 AR()()r Ar A b()()r Ar A b()()r Ar A b1、若2、若3、若，则该线性方程组无解。而且都等于n，则该线性方程组有

27、且只有唯一组解。而且都小于n，则该线性方程组有无穷多组解。例：解方程组 12341234123423023550470 xxxxxxxxxxxx121312131213235507311073114171073110000A解：13423433441317731177xxxxxxxxxx 12131013/71/7013/711/7013/711/70000000033447007xxxx取和112233441313117007xxxxxxxx 得和12(13,3,7,0),(1,11,0,7)即为方程的基础解系 方程的解为 112212,kkk kR，如果一个方程组的系数矩阵的秩为，那它的基

28、础解系有个解向量。例：求解下列非齐次线性方程组：1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解：对方程组的增广矩阵作如下初等变换：113111131111311313440467104671159800467100000A335101131124437137101012442440000000000 因此方程的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于24因此方程组有无穷多组解。由上面矩阵可将方程组化为：134134234234335533244424371137244424xxxxxxxxxxxx 得到方程组的一个特解:51,0,044对应齐次方程组的基础解系有422个，

29、我们取 334410,01xxxx分别得到一组线性无关的基础解系：1122123344332437,241001xxxxxxxx 故方程组的解为 1 122Xkk12,k kR说明说明.,0.1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x 2.,0,0.nAIA xIAA阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程的 都是矩阵 的特征值一、特征值与特征向量的概念.,1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果

30、数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 3.0IA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n .的的为为A,次多项式次多项式的的它是它是n 记记称其称其.的的为方阵为方阵A 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,.4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 例例 设设,314020112 A求求A A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解211020413IA ,2)1(2 02)1(2 令令.2,1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当.0,11 xEA

31、,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0(1 kpk 由由解方程解方程时时当当.02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 相似矩阵与相似变换.,.,111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的

32、相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 定理定理：设是阶方阵，则相似于一个对角阵的充分必要条件是恰有个线性无关的特征向量。其中为的个线性无关的特征向量拼成的矩阵，且这个对角阵主对角线上的个元素就是的特征值。推论推论：阶阵有个不同的特征值，则必相似于一个对角阵。阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重根，对应的特征矩阵的秩是。11nnBP APBP A P定义定义：设有n个变元 12,nx xx的二次多项式：21211 1121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x22222

33、22nna xa x x2nnnna x称为是n个变元的实二次型。具有以下特点：1、每一项中变元的次数加起来都等于2。2、前面的系数等于，前面的系数等于 2ixiia()ijx x ij2ija3、都是实数。ija21211 1121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x若把实二次型写成以下形式：因此上式的系数就是一个方阵，因为 ijjiaa是一个对称实方阵，系数矩阵为：111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111211212222121212(,)(,)n

34、nnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx Axx xxaaax同时，我们也可以把二次型写成矩阵形式：例：求实对称矩阵对应的二次型：11011021022A122123123211223331101(,)(,)102221022xf x x xx x xxxx xx xxx 解：解析几何解析几何向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；曲线方程、曲面方程；曲线方程、曲面方程；直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab

35、ajbbabPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.例例 1 1 已知已知4,1,1 a，2,2,1 b，求，求（1）ba；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 向向量量a与与b的的向向量量积积为为

36、 bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.关于向量积的说明：关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.可用三阶行列式表示可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例例 4 4 在顶点为在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,

37、1(C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD .5|BDxozy),0(111zyMM),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz d将将 代入代入2211,yxyzz ,0,22 zyxfyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(zyf绕绕z轴旋轴旋转一周的转一周的旋

38、转曲面方程旋转曲面方程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),(zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 zxyf例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122

39、222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),(yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴12222 byax双曲柱面双曲柱面 /轴轴pzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点

40、都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2S空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH曲线关于曲线关于 的的投影

41、柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影xyzo 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyy

42、BxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求过三点求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的平面方程的平面方程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx例例 2 2 求过点求过点)1,1

43、,1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面

44、通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别

45、别交交于于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c），求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为,1 czbyaxx

46、yzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、两

47、平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0,

48、1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例7 7 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一点点，求求0P到到平平面面的的距距离离.),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PN00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzBy

49、AxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx 点到平面距离公式点到平面距离公式xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量L),(0000zyxM,LM ),(zyxMsM

50、M0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向