20春八数下(湘教版)1.2 第3课时 勾股定理的逆定理 精品课件.ppt

1、,1.2 直角三角形的性质和判定（）,第1章 直角三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 勾股定理的逆定理,八年级数学下（XJ） 教学课件,1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题（难点）,导入新课,问题1 勾股定理的内容是什么?,如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.,b,c,a,问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：, a3，b4； a2.5，b6； a4，b7.5.,c=5,c=6.5,

2、c=8.5,复习引入,思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？,同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?,打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.,情景引入,思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?,大禹治水,相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.,讲授新课,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8

3、,15,17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,因为32+42=52，所以满足.,a2+b2=c2,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.,我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.,问题3

4、 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,？,已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形,构造两直角边分别为a,b的RtABC,证一证:,证明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，,ABC ABC(SSS)，,C= C=90 ， 即ABC是直角三角形.,则,勾股定理的逆定理:,如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最

5、长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角.,特别说明：,归纳总结,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1) a=15 ， b=8 ，c=17;,解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且C是直角.,(2) a=13 ，b=14 ，c=15.,(2)132+142=365，152=225， 132+142152，不符合勾股定理的逆定理， 这个三角形不是直角三角形.,根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和

6、是否等于最大边长的平方.,【变式题1】若ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断ABC的形状.,解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0), 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2, 所以ABC是直角三角形，且C是直角.,已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果三角形的三边比中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.,【变式题2】(1)若ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1, c= ，试说明ABC是直角三角形.,解：因为a

7、+b=4,ab=1, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又因为c2=14, 所以a2+b2=c2, 所以ABC是直角三角形.,(2) 若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.,解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ABC是直角三角形.,例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由,

8、解：AFEF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则ECa，BE3a，CFDF2a. 在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中，AE2EF2AF2， AEF为直角三角形，且AE为斜边 AFE90，即AFEF.,练一练,1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7,C,2.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ） A4 B3 C2.5 D2.4,D,3.若A

9、BC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是_.,等腰三角形或直角三角形,如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,概念学习,常见勾股数：,3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.,下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132,A,方法点拨：

10、根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.,练一练,1,2,例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,N,E,P,Q,R,问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 问题是什么？,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,“远航”号的航向、两艘船一个半小时后的

11、航程及距离已知，如图.,问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？,实质是要求出两艘船的航向所成角.,勾股定理逆定理,解：根据题意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以QPR=90.,由“远航”号沿东北方向航行可知1=45. 因此2=45，即“海天”号沿西北方向航行.,解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.,【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻10

12、1号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？,分析：根据勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.,解：AC=10，AB=6，BC=8， AC2=AB2+BC2， 即ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三 角形面积公式有BCAB=ACBD， 即68=10BD，解得BD= 在RtBCD中，,又该船只的速度为12.8海里/

13、时， 6.412.8=0.5（小时）=30（分钟）， 需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.,例4 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,解：连接AC.,在RtABC中， 在ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， 所以ACD是直角三角形， 且ACD=90. 所以S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,四边形问题中，对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三

14、角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.,【变式题1】 如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.,解：连接BD. 在RtABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， BD=5m. 又 CD=12cm，BC=13cm, BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2),C,B,A,D,【变式题2】 如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，

15、DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.,解: SACD=30 cm2，DC12 cm. AC=5 cm. 又 ABC是直角三角形, B是直角. ,例5 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC 5 ，BD=2 （1）求证：BCD是直角三角形； （2）求ABC的面积,（1）证明：CD=1，BC 5 ，BD=2， CD2+BD2=BC2， BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在RtADB中，AB2=AD2+BD2， x2=(x-1)2+22， 解得,用到了方程的思想,1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什

16、么方向？,解： BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， BC2+AB2=AC2， 即ABC是直角三角形， B=90. 答：C在B地的正北方向,练一练,2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？,解：ABDC8m，ADBC6m， AB2BC282626436100. 又AC29281， AB2BC2AC2， ABC90， 该农民挖的不合格,当堂练习,1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.

17、1，3，5,将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式 ，则ABC的形状是 _,等腰直角三角形,4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm;,12,5.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大 于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由.,解：AB+BC=(n-1)+(2n) =n4 -2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n

18、+1) =AC， ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.,6. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,图,图,在BCD中， 所以BCD 是直角三角形，DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.,解：在ABD中， 所以ABD 是直角三角形，A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,图,7.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图），沿北偏东40的方向向目标A前

19、进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？,解：根据题意得OA=161.5=24(海里), OB=121.5=18(海里)， OB2+OA2=182+242=900，AB2=302=900， OB2+OA2=AB2， AOB=90. 第一艘搜救艇沿北偏东40的方向向目标A前进， BOD=50， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50,课堂小结,勾股定理 的逆定理,内容,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c， C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,应用,航海问题,与勾股定理结合解决不规则图形等问题,