微分方程在经济中的应用二、小结课件.ppt

1、一、一、微分方程在经济中的应用微分方程在经济中的应用 二、小结二、小结 第三节第三节 一阶微分方程在经济学中一阶微分方程在经济学中 的综合应用的综合应用一、分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的函数关系例例1 1 某某商商品品的的需需求求量量x x 对对价价格格p p 的的弹弹性性为为3lnp.若若该该商商品品的的最最大大需需求求量量为为1 12 20 00 0(即即p p=0 0 时时，x x=1 12 20 00 0)(p p 的的单单位位为为元元，x x 的的单单位位为为公公斤斤)试试求求需需求求量量x x 与与价价格格p p 的的函函数数关关系系，并并求求当当价价格格为为1 1 元

2、元时时市市场场上上对对该该商商品品的的需需求求量量.解解3lnpdpdxxp 由已知由已知3lnxdpdx 即即分分离离变变量量解解此此微微分分方方程程dpxdx3ln 两边积分得两边积分得Cpxln3lnln 3lnpCex 12001200,0 Cxp得得，再再由由px 31200)(4003120011公公斤斤的的需需求求量量为为元元时时，市市场场上上对对该该商商品品当当价价格格为为 x例例 2 2 设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设 供给量供给量 S S 与需求量与需求量 D D 均是依赖于价格的线性函数均是依赖于价格的线性函数),(为

3、为常常数数dcbadpcDbpaS ,当供求平衡时，平衡价格当供求平衡时，平衡价格dbcap ，显然当供大于，显然当供大于 求即求即DS 时，则价格时，则价格 p p 下降；当求大于供即下降；当求大于供即SD 时，则价格时，则价格 p p 上升上升.现若价格是时间现若价格是时间 t t 的函数的函数 p=p(t)p=p(t)，在时间，在时间 t t 时，价时，价 格的变化率与此时刻的过剩需求量格的变化率与此时刻的过剩需求量 D D-S S 成正比，即成正比，即)(SDdtdp ，其中，其中为大于为大于 0 0 的常数，试求价的常数，试求价 格格 p p 与时间与时间 t t 的函数关系的函数关

4、系.(.(设初始价格设初始价格0)0(pp)解解)(SDdtdp 由已知由已知pdbcabpadpcdtdp)()()(即即)()(capdbdtdp 即即)()()(cdtetqepdttpdttp 其通解为其通解为)()(),()(catqdbtp 这里这里tdbtdbtdbeedbcacep)()()()()(所所以以0 pcedbcacetdbtdb )()(ppcpp 00)0(代入上式，得代入上式，得由由的的函函数数关关系系为为与与时时间间故故所所求求价价格格tppeppptdb )(0)(.,即即价价格格趋趋于于平平衡衡价价格格显显然然当当ppt 例例 3 3(逻辑斯谛曲线逻辑斯

5、谛曲线)在商品销售预测中，时刻在商品销售预测中，时刻 t t 的的销售量用销售量用 x=x(t)x=x(t)表示，如果商品销售的增长速率表示，如果商品销售的增长速率dttdx)(正比于销售量正比于销售量 x(t)x(t)及与销售接近饱和水平的程及与销售接近饱和水平的程度度)(tx 之乘积之乘积(为饱和水平为饱和水平)求销售量函数求销售量函数x(t).x(t).解：解：程程据题意，可建立微分方据题意，可建立微分方为为比比例例因因子子其其中中ktxtkxdttdx),()()(kdttxtxtdx )()()(:分离变量分离变量0txakdttdxtxtx )()(1)(11)()()(ln11为

6、为任任意意常常数数CCkttxatx )()()(221为为任任意意常常数数CeCetxtxktCkt 从从而而可可得得通通解解为为)(11)(22为为任任意意常常数数CCeeCeCtxktktkt 例例 4 4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 10001000条条.在时刻在时刻 t t 的鱼数的鱼数 y y 是时间是时间 t t 的函数的函数 y=y(t)=y(t)，其变化，其变化率与鱼数率与鱼数 y y 和和 10001000-y y 的乘积成正比的乘积成正比.现已知池塘内放养现已知池塘内放养鱼鱼 100100 条，条，3 3 个月后池塘内有鱼

7、个月后池塘内有鱼 250250 条，求条，求 t t 月后池塘月后池塘内鱼数内鱼数 y(t)y(t)的公式的公式.问问 6 6 个月后池塘中有鱼多少？个月后池塘中有鱼多少？解：解：250,100),1000(30 ttyyykydtdy由已知由已知解解此此微微分分方方程程二、分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系ktceyy10001000 代入得代入得将将250,10030 ttyy kcec30002501000250100100010030003ln,91 kC解得解得关系为关系为月后鱼数与时间的函数月后鱼数与时间的函数即即t33911000tyy 333931000tty 即即个个月

8、月后后鱼鱼塘塘中中鱼鱼数数当当放放养养 6)(500393100022条条 y例例 5 5 已知某厂的纯利润已知某厂的纯利润 L L 对广告费对广告费 x x 的变化率与的变化率与常数常数 A A 和纯利润和纯利润 L L 之差成正比，当之差成正比，当 x=0 x=0 时时 L=LL=Lo o.试求纯利润试求纯利润 L L 与广告费与广告费 x x 之间的关系之间的关系.解：解：00)(LLLAkdxdLX由题意列出方程由题意列出方程两边积分两边积分分离变量分离变量,kdxLAdL )1(,ln)ln(11CCCeLACkxLAkx 其其中中kxCeAL 000LACLLx 解得解得由初始条件

9、由初始条件函函数数关关系系为为所所以以纯纯利利润润与与广广告告费费的的kxeLAAL )(0例例 6 6 某某商商场场销销售售成成本本 y y 和和存存储储费费用用 s s 均均是是时时间间 t t的的函函数数，随随时时间间 t t 的的增增长长,销销售售成成本本的的变变化化率率等等于于存存储储费费用用的的倒倒数数与与常常数数 5 5 的的和和；而而存存储储费费用用的的变变化化率率为为存存储储费费用用的的31，若若当当 t t=0 0 时时，销销售售成成本本y y=0 0，存存储储费费用用 S S=1 10 0.试试求求销销售售成成本本与与时时间间 t t 的的函函数数关关系系及及存存储储费费

10、用用与与时时间间 t t 的的函函数数关关系系.解：解：SdtdSSdtdy3151由已知由已知)2()1(得得解解)2(10100.3 cStceSt解解出出时时由由的的函函数数关关系系为为于于是是存存储储费费用用与与时时间间 t310teS 得得将将上上式式代代入入方方程程)1(51013 tedtdy解此方程得解此方程得000,5103113 cytcteyt解出解出时时由由的的函函数数关关系系为为即即销销售售成成本本与与时时间间 t.51033teyt 例例 7 7 在在宏宏观观经经济济研研究究中中，发发现现某某地地区区的的国国民民收收入入 y y，国国民民储储蓄蓄 S S 和和投投资

11、资 I I 均均是是时时间间 t t 的的函函数数.且且储储蓄蓄额额 S S 为为国国民民收收入入的的101(在在时时刻刻 t t)，投投资资额额为为国国民民收收入入增增长长率率的的31.若若当当 t t=0 0 时时，国国民民收收入入为为 5 5(亿亿元元)，试试求求国国民民收收入入函函数数(假假定定在在时时刻刻 t t 储储蓄蓄额额全全部部用用于于投投资资).解：解：dtdyIyS31,101 由已知由已知dtdyyIS31101 有有当当三、关于国民收入、储蓄与投资关系解此微分方程得解此微分方程得550103 cytceyt得得时时由由tey1035 即即国国民民函函数数为为为为而储蓄函

12、数和投资函数而储蓄函数和投资函数teIS10321 例例 8 8 某某地地区区在在一一个个已已知知的的时时期期内内国国民民收收入入 y y 的的增增 长长率率为为101，国国民民债债务务 D D 的的增增长长率率为为国国民民收收入入的的201，若若 t t=0 0 时时，国国民民收收入入为为 5 5(亿亿元元)，国国民民债债务务为为0 0.1 1(亿亿元元).试试求求国国民民收收入入及及国国民民债债务务与与时时间间 t t 的的 函函数数关关系系.解：解：101 dtdy由已知由已知cty 101所所以以得得国国民民收收入入函函数数四、关于国民收入与国民债务问题，于于是是国国民民收收入入函函数

13、数为为得得时时由由550 cyt5101 ty)5101(201201 tydtdD又由已知又由已知12414001cttD 解此方程得解此方程得，故故国国民民债债务务函函数数为为得得时时由由1.01.001 cDt1014140012 ttD例例 9 9 某地区考察消费某地区考察消费-投资投资-收入的关系时，得知消收入的关系时，得知消费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变化费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变化率正比于过度需求率正比于过度需求.若若111,yIC分别表示在时刻分别表示在时刻 t t时，消费、投资、收入与它们各自均衡值时，消费、投资、收入与它们各自均衡值yIC,的

14、偏的偏差差.若由统计资料分析得知若由统计资料分析得知)(21,41,3111111111yICdtdyyIyC ，当，当 t=0t=0时，时，30 y(亿元亿元).).若此地区流动收入的均衡值若此地区流动收入的均衡值5 y(亿元亿元),),试求流动收入函数试求流动收入函数.五、关于流动收入、流动消费和流动投资问题解：解：yyyyy 10,5,3且且于于是是流流动动函函数数为为teyyyy)(0)(te)14131(21)53(5 te24525 )(21,41,3111111111yICdtdyyIyC )(751.410亿元亿元时，则流动收入时，则流动收入 yt)(5 亿元亿元时，流动收入时

15、，流动收入显然当显然当 yt)7128.2(e这里取这里取)(2949.45,亿元亿元时，则流动收入时，则流动收入若若此题中此题中 yt例例 1 10 0 设在冷库中存储的某蔬菜有设在冷库中存储的某蔬菜有 A(A(吨吨)，已发现其中，已发现其中有些开始腐败，其腐败率为未腐败的有些开始腐败，其腐败率为未腐败的 倍倍)10(，设腐败的数量为设腐败的数量为 x(x(吨吨)，则显然它是时间，则显然它是时间 t t 的函数，试的函数，试求此函数求此函数.解：解：)(xAdtdx 由由解解此此微微分分方方程程得得六、关于商品存储过程中的基本衰减问题dtxAdx tcexA 即即ACxt 代入得代入得时，时

16、，00的的函函数数关关系系为为腐腐败败数数量量与与时时间间 t)1(teAx 例例 1 11 1 关关于于汽汽车车维维修修成成本本问问题题 某某汽汽车车公公司司在在长长期期运运营营中中发发现现每每辆辆汽汽车车的的总总维维修修成成本本 y y 随随汽汽车车大大修修的的时时间间间间隔隔 x x 的的变变化化率率等等于于总总维维修修成成本本的的 2 2 倍倍与与大大修修的的时时间间间间隔隔之之比比减减去去常常数数 8 81 1 与与大大修修时时间间间间隔隔的的平平方方之之比比.已已知知当当大大修修时时间间间间隔隔 x x=1 1(年年)时时，总总维维修修成成本本 y y=2 27 7.5 5(百百元

17、元).试试求求每每辆辆汽汽车车的的总总维维修修成成本本 y y 与与大大修修的的时时间间间间隔隔 x x的的函函数数关关系系，并并问问每每辆辆汽汽车车多多少少年年大大修修一一次次，可可使使每每辆辆汽汽车车的的总总维维修修成成本本最最低低？解：解：2812xxydxdy 由已知由已知七、在其他方面的应用2812xyxdxdy 改写为改写为代入通解公式代入通解公式)81(222 Cdxexeydxxdxx)27(3ln2Cxeyx 即：即：)27(32Cxx 227Cxx 215.271 Cyx，解出，解出时时又由又由的的函函数数关关系系为为与与大大修修的的时时间间间间隔隔即即总总维维修修成成本本

18、xy22127xxy 30272 xxxy解得解得令令.3,01543有最小值有最小值时，时，故故因因yxxy .3最最低低成成本本年年大大修修一一次次可可使使总总维维修修即即每每辆辆汽汽车车例例 1 12 2 某汽车公司的小汽车运行成本某汽车公司的小汽车运行成本 y y 及小汽车的转及小汽车的转卖值卖值 S S 均是时间均是时间 t t 的函数的函数.若随时间的增长，小汽车若随时间的增长，小汽车的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为：的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为：SdtdSSdtdy31;2 .已知已知 t=0t=0 时时 y=0y=0，而转卖值，而转卖值S=4.5(S=4.5

19、(万元万元/辆辆).).试求小汽车的运行成本及转试求小汽车的运行成本及转卖卖值各值各自与时间的关系自与时间的关系.解：解：SdtdSSdtdy312由已知由已知)2()1(得得解解微微分分方方程程)2(5.45.40,3 CStCeSt，得，得时时由由的的函函数数关关系系为为与与时时间间汽汽车车转转卖卖值值tS35.4teS 得得将将此此式式代代入入方方程程)1(394tedtdy 解此方程得解此方程得1334Ceyt 得得时时由由00 yt341 C的的函函数数关关系系为为与与时时间间即即汽汽车车运运行行成成本本ty).1(343 tey例例 1 13 3 关关于于消消费费者者的的收收入入与

20、与消消费费需需求求的的关关系系问问题题：xy，消消费费者者的的收收入入为为设设消消费费者者的的需需求求量量为为dxdyyxxxdxydyx )(,)(即即入入的的弹弹性性为为则则需需求求量量对对消消费费者者的的收收为平均弹性为平均弹性称称于是有于是有xxxdxxxydy)()(,)(dxxydy)(则则解此微分方程得：解此微分方程得：为为定定常常数数若若平平均均弹弹性性 )(xxcey 为为定定常常数数若若弹弹性性函函数数 )(xdxxydy :则有则有.cxy 解此微分方程得：解此微分方程得：.3,15.0.时时的的消消费费需需求求量量人人收收入入为为数数关关系系，并并求求消消费费者者个个之

21、之间间的的函函与与个个人人收收入入求求消消费费需需求求量量费费需需求求量量时时，消消，且且当当消消费费者者收收入入为为比比的的平平均均弹弹性性为为率率之之对对消消费费者者个个人人收收入入增增长长测测算算：消消费费需需求求增增长长率率经经有有关关费费者者的的个个人人收收入入条条件件下下，需需求求量量只只与与消消时时，发发现现在在价价格格稳稳定定的的量量如如某某地地区区研研究究消消费费需需求求xyeyxxy 解：解：xceydxydy5.0,5.0 有有由由,c1eeyx 有：有：时，时，由由:的的函函数数关关系系为为与与个个人人收收入入即即需需求求量量xyxeey5.0 4.7,35.1 eey

22、x时时当当.4.73时时，消消费费需需求求约约为为即即当当消消费费者者个个人人收收入入为为二、小结1.1.理解函数关系；理解函数关系；2.2.建立微分方程；建立微分方程；3.3.确定初始条件；确定初始条件；4.4.求解求解.掌握一类经济问题建立数学模型的方法：掌握一类经济问题建立数学模型的方法：1 1、某商品的价格由供求关系决定，若供给量、某商品的价格由供求关系决定，若供给量 S S与需求量与需求量 D D 均是价格均是价格 p p 的线性函数：的线性函数：pDpS431,若价格若价格 p p 是时间是时间 t(t(年年)的函数。且的函数。且已知在时刻已知在时刻 t t 时，价格时，价格 p

23、p 的变化率与过剩需求的变化率与过剩需求D D-S S 成正比，比例系数为成正比，比例系数为 2 2，试求价格，试求价格 p p 与时间与时间t t 的函数关系，的函数关系，(设初始价格设初始价格20 p元时元时)，并问，并问当当 t=0.3t=0.3 时价格应为多少？时价格应为多少？练习题2 2、已知商品已知商品的需求量的需求量 D D 和和供给量供给量 S S 都是价格都是价格 p p的函数的函数bppSSpapDD )(,)(2(a0,bo(a0,bo为为常数常数)，价格价格 p p 是时间是时间 t t 的函数的函数且且满足方程满足方程 )()(pSpDKdtdp (K(K 为为正正常

24、常数数)且且 t t=0 0 时时 p=1p=1试求试求：(1 1)需求量等于需求量等于供给量供给量时时的的均衡价格均衡价格ep；(2 2)价格函数价格函数)(tp；(3 3)求求)(limtpt。3 3、设设市市场场上上某某商商品品的的需需求求函函数数与与供供给给函函数数分分别别为为pppQd 410和和pppQs 10522 初初始始条条件件为为21,500 ttpp。试试求求在在市市场场均均衡衡条条件件sdQQ 下下该该商商品品的的价价格格函函数数)(tpp 。4 4、已已知知需需求求的的价价格格弹弹性性21QE 又又当当 Q Q=0 0 时时p p=1 10 00 0，试试确确定定价价

25、格格函函数数即即将将价价格格 p p 表表为为需需求求 Q Q 的的函函数数。5 5、某商场的销售额、某商场的销售额 y y 随广告费随广告费 x x 增加的增长率等于增加的增长率等于常数常数 2020 减去广告费减去广告费 x x，已知，已知 x=0 x=0 时销售额时销售额 y=25(y=25(万万元元)，试求销售额，试求销售额 y y 与广告费与广告费 x x 之间的关系，并求广之间的关系，并求广告费告费 x x 为多少为多少万万元时可获得最大销售额，最大销售元时可获得最大销售额，最大销售额为多少万元？额为多少万元？6 6、某经济开发区在分析过去活动的基础下，预计未、某经济开发区在分析过

26、去活动的基础下，预计未来计划期内时刻来计划期内时刻 t t 的国民储蓄额的国民储蓄额 S S 为国民收入额为国民收入额 y y的的 0.200.20 倍，而投资额正比于国民收入的增长率，比倍，而投资额正比于国民收入的增长率，比例系数为例系数为 1 1，若当，若当 t0t0 时，国民收入为时，国民收入为 3 3(亿元亿元)，试，试求国民收入函数。求国民收入函数。并计算并计算 5 5 年后国民收入为多少亿年后国民收入为多少亿元元?(假定时刻假定时刻 t t 的储蓄的储蓄额额全部全部用于用于投资投资)7 7、若某地区国民收入的增长率是以国民收入的固、若某地区国民收入的增长率是以国民收入的固定比例定比

27、例 增长，国民债务的增长率是以国民收入的增长，国民债务的增长率是以国民收入的固定比例固定比例 增长，即增长，即)0,(,ydtdDydtdy且且当当 t=0t=0 时，国民收入为时，国民收入为0y，国民债务为，国民债务为0D，求国，求国民收入及国民债务与时间民收入及国民债务与时间 t t 的函数关系。的函数关系。8 8、某冷库存放一批苹果，已发现其中有些开始腐、某冷库存放一批苹果，已发现其中有些开始腐败，若腐败率经检测为剩下的好苹果的败，若腐败率经检测为剩下的好苹果的 0.0.1 1，假定，假定开始存储时共有好开始存储时共有好苹果苹果510个，试求腐败苹果的数个，试求腐败苹果的数量量 x x

28、与与时间时间 t(t(月月)的函数关系的函数关系，并并计算计算 1010 个月后个月后腐败苹果的数量腐败苹果的数量。9 9、某城市以分析过去的统计资料中，得出该城市、某城市以分析过去的统计资料中，得出该城市的流动消费的流动消费 C C，流动投资，流动投资 I I 均与流动收入均与流动收入 y y 具有具有线性函数关系。线性函数关系。在时刻在时刻 t t 时的时的 C,I,yC,I,y 与均衡值与均衡值yIC,的的偏差记为偏差记为111,yIC，它们之间的关系，它们之间的关系为：为：21111.0,2.0yIyC ，而流动收入，而流动收入1y的变化的变化率正比于过渡需求，为率正比于过渡需求，为)

29、(3.01111yICdtdy ，已知已知 t=0t=0 时，流动收入时，流动收入50 y(亿元亿元)，若流动收，若流动收入的均衡值入的均衡值4 y(亿元亿元)，试求流动收入函数，试求流动收入函数)(ty，并求，并求 t=2t=2 时的流动收入。时的流动收入。1010、设某牧场设某牧场现有现有 10001000 只羊只羊，如果如果每瞬时每瞬时羊的羊的只数只数变化率变化率与与当时羊的只数当时羊的只数成正比成正比，若若 1010 年内年内该牧场该牧场羊群羊群达到达到 20002000 只只，试确定试确定该羊群该羊群只数只数ta与与时间时间 t t 的函数关系的函数关系。1111、某企业某企业成本控

30、制成本控制部门发现部门发现，随随企业规模企业规模扩大扩大面向面向办公室提供办公室提供的的平均月费用平均月费用 y y 与与办公室人员办公室人员 x x数数之间之间关系满足方程关系满足方程xeyydxdy 22，已知已知 x x=0=0时时 y=3y=3,求求 y=y(y=y(x x)。练习题答案练习题答案 ；万万元元，)(125)10(2520.5;100.44)63sin3263(cos)(.3)3(;)1()()2(;)()1.(232.1)3.0(,4543.1max222313333182 yxxyePttetPPePPtPbaPPePQtekbteettxttttttteyeaxexyetyeyDDeyyeyey3.11;1000.1063200)10(),1(10,9)(66.4)2(,4)(.8)1(,.7)(15.83)5(,3.610ln10521.00003532 亿亿元元亿亿元元