中考数学二轮解答重难点题型突破题型五几何图形探究题试题.doc

1、题型五几何图形探究题类型一几何图形静态探究1(2017成都)问题背景：如图，等腰ABC中，ABAC，BAC120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BADBAC60，于是；迁移应用：如图，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.证明CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长. 2(2017许昌模拟)在正方形ABCD中，对角线AC、B

2、D交于点O，动点P在线段BC上(不含点B)，BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G.(1)当点P与点C重合时(如图)，求证：BOGPOE；(2)通过观察、测量、猜想：_，并结合图证明你的猜想；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图)，若ACB，求的值(用含的式子表示) 3(2014河南)(1)问题发现如图，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为_；线段AD，BE之间的数量关系为_(2) 拓展探究如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的

3、高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离. 4(2017长春改编)【再现】如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DEBC，且DEBC.(不需要证明)【探究】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：_.(只添加一个条件)(2)如图，在四边形ABCD中，点

4、E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AOOC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积. 5(2016新乡模拟)问题背景：已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值(1)初步尝试如图，若ABC是等边三角形，DHAC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DGBC，交AC于点G，先证GHAH.再证GFCF，从而求得的值为_；(2)类比探究如图，若在ABC中，ABC90，ADHBAC30，且点D，E的运动速度之比是

5、1，求的值；(3)延伸拓展如图，若在ABC中，ABAC，ADHBAC36，记m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程) .类型二几何图形动态探究1(2015河南)如图，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，_；当180时，_；(2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明(3)问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长 2已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.(1)如图，已知

6、AOB150，BOC120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC.DAO的度数是_；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；(2)设AOB，BOC.当，满足什么关系时，OAOBOC有最小值？请在图中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OAOBOC的最小值. 3(2013 河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中C90，BE30.(1)操作发现 如图，固定ABC，使DCE绕点C旋转当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_；(2) 猜想论证 当DE

7、C绕点C旋转到图所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3) 拓展探究 已知ABC60，点D是其角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)，若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDC，请直接写出相应的BF的长. 4(2017郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了如下问题：在ABC中，ABCACB，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解

8、决问题的思路，然后类比到一般情况”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成【问题解决】(1)如图，当60时，判断BD与AE之间的数量关系；解法如下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_.【类比探究】(2)如图，当45时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；(3)如图，当为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_.(用含的式子表示，其中090) 5(2017烟台)【操作发现】(1)如图，ABC为等边三角形，现将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30)

9、，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使DCE30，连接AF，EF.求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图，ABC为等腰直角三角形，ACB90，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于45)，旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使DCE45，连接AF，EF，请直接写出探究结果：求EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系 题型五第22题几何图形探究题类型一几何图形静态探究1迁移应用：证明：BACDA

10、E120，DABCAE，在DAB和EAC中，DABEAC; ,图)解：结论：CDADBD.理由：如解图，作AHCD于H.DABEAC，BDCE，在RtADH中，DHADcos30AD，ADAE，AHDE，DHHE，CDDEEC2DHBDADBD；拓展延伸：证明：如解图，作BHAE于H，连接BE.四边形ABCD是菱形，ABC120，ABD，BDC是等边三角形，BABDBC，E、C关于BM对称，BCBEBDBA，FEFC，A、D、E、C四点共圆，ADCAEC120，FEC60，EFC是等边三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，FH4.5，在RtBHF中，BFH30，cos30，BF3.

11、2(1)证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBOEPO，在BOG和POE中，BOGPOE(ASA)；(2)解：猜想.证明：如解图，过P作PMAC交BG于M，交BO于N，PNEBOC90，BPNOCB.OBCOCB45，NBPNPB，NBNP.MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，在BMN和PEN中，BMNPEN(ASA)，BMPE.BPEACB，BPNACB，BPFMPF.PFBM，BFPMFP90.在BPF和MPF中，BPFMPF(ASA). BFMF. 即BFBM.BFPE.即；(3)

12、解：如解图，过P作PMAC交BG于点M，交BO于点N，BPNACB，PNEBOC90.由(2)同理可得BFBM，MBNEPN，BMNPEN，.在RtBNP中，tan，tan，即tan，. 3解：(1)ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADCBEC.DCE为等边三角形，CDECED60.点A，D，E在同一直线上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60；ADBE；(2)AEB90，AEBE2CM.理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和

13、BCE中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE为等腰直角三角形，CDECED45.点A，D，E在同一直线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM；(3)点A到BP的距离为或.理由如下：PD1，点P在以点D为圆心，1为半径的圆上BPD90，点P在以BD为直径的圆上点P是这两圆的交点当点P在如解图所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交BP于点E，四边形ABCD是正方形，ADB45.ABADDCBC，BAD90.BD2.DP1，BP.BPDBAD90，A

14、、P、D、B在以BD为直径的圆上，APBADB45.PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AHBP，由(2)中的结论可得：BP2AHPD.2AH1.AH；当点P在如解图所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP2AHPD.2AH1.AH.综上所述：点A到BP的距离为或. 4解：【探究】平行四边形理由：如解图，连接AC，E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，EFAC，同理HGAC，HGAC，综上可得：EFHG，EFHG，故四边形EFGH是平行四边形【应用】(1)添加ACBD，理由：连接AC，BD，

15、同(1)知，EFAC，同【探究】的方法得，FGBD，ACBD，EFFG，四边形EFGH是平行四边形，EFGH是菱形；(2)如解图，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，F，G是BC，CD的中点，FGBD，FGBD，CFGCBD，SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，四边形ABCD面积为5，SBCDSABD5，SCFGSAEH，同理：SDHGSBEF，S四边形EFGHS四边形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)5，设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，FGBD，FGBD，CMOMOC，同理：ANONOA，OAOC，OMON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四

16、边形，SEPONSFMOP，S阴影S四边形EFGH. 5解：(1)ABC是等边三角形，AGD是等边三角形，ADGD，由题意知：CEAD，CEGD，DGBC，GDFCEF，在GDF与CEF中，GDFCEF(AAS)，CFGF，DHAG，AHGH，ACAGCG2GH2GF2(GHGF)2HF，2；(2)如解图，过点D作DGBC交AC于点G，则ADGABC90.BACADH30，AHDH，GHDBACADH60，HDGADGADH60，DGH为等边三角形GDGHDHAH，ADGDtan60GD.由题意可知，ADCE.GDCE.DGBC，GDFCEF.在GDF与CEF中，GDFCEF(AAS)，GFC

17、F.GHGFAHCF，即HFAHCF，HFAC，即2；(3).理由如下：如解图，过点D作DGBC交AC于点G，易得ADAG，ADEC，AGDACB.在ABC中，BACADH36，ABAC，AHDH，ACBB72，GHDHADADH72.AGDGHD72，GHDBHGDACB，ABCDGH.m，GHmDHmAH.由ADGABC可得m.DGBC，m.FGmFC.GHFGm(AHFC)m(ACHF)，即HFm(ACHF). 类型二几何图形动态探究1解：(1)当0时，RtABC中，B90，AC4，点D、E分别是边BC、AC的中点，AE422，BD824，.如解图，当180时，可得ABDE，；(2)当0

18、360时，的大小没有变化，ECDACB，ECADCB，又，ECADCB，；(3)当D在AE上时，如解图，AC4，CD4，CDAD，AD8，ADBC，ABDC，B90，四边形ABCD是矩形，BDAC4；当D在AE延长线上时，如解图，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC4，CD4，CDAD，AD8，原图中点D、E分别是边BC、AC的中点，DEAB(82)42，AEADDE826，由(2)可得，BD.综上所述，BD的长为4或. 2解：(1)AOB150，BOC120，AOC90，由旋转的性质可知，OCD60，ADCBOC120，DAO360609012090

19、；线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2OB2OC2.如解图，连接OD.BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，OCD是等边三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90，AOD30，ADO60.DAO90.在RtADO中，DAO90，OA2AD2OD2，OA2OB2OC2；(2)当120时，OAOBOC有最小值作图如解图，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，连接OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OCO是等边三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，

20、AOCAOC120.BOOOOA180.B，O，O，A四点共线OAOBOCOAOBOOBA时值最小；当等边ABC的边长为1时，OAOBOC的最小值为AB. 3解：(1)DEC绕点C旋转使点D恰好落在AB边上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等边三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；B30，C90，CDACAB，BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；(2)DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD，ACNBCN90，DCMBCN1809090，AC

21、NDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM(AAS)，ANDM，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；(3)如解图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1SBDE；过点D作DF2BD，ABC60，F1DBE，F2F1DABC60，BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90，F1DF2ABC60，DF1F2是等边三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，点D是角平分线上一点，DBCDCB6030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，在CDF1

22、和CDF2中，CDF1CDF2(SAS)，点F2也是所求的点，ABC60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBCBDEABD6030，又BD4，BEED4cos302，BF1，BF2BF1F1F2，故BF的长为或. 4解：(1)当60时，ABC、DCE是等边三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDCEACD，即BCDACE，在BDC和AEC中，BDCAEC(SAS)，BDAE；(2)BDAE；理由如下：如解图，过点D作DFAC，交BC于F.DFAC，ACBDFB.ABCACB，45，ABCACBDFB45.DFB是等腰直角三角形BDDFBF.AEBC，ABCBAE180.D

23、FBDFC180，BAEDFC.ABCBCDADC，ABCCDE，ADEBCD.ADEFCD.DFAC，.BDAE.(3)补全图形如解图，AEBC，EACACB，EACEDC，A、D、C、E四点共圆，ADEACE，ADEEDCADCABCBCD，ABCEDC，ADEBCD，ACEBCD，ABCEAC，BDCAEC，又2cos，BD2cosAE. 5解：(1)ABC是等边三角形，ACBC，BACB60，DCF60，ACFBCD，在ACF和BCD中，ACFBCD(SAS)，CAFB60，EAFBACCAF120；相等；理由如下：DCF60，DCE30，FCE603030，DCEFCE，在DCE和FCE中，DCEFCE(SAS)，DEEF；(2)ABC是等腰直角三角形，ACB90，ACBC，BACB45，DCF90，ACFBCD，在ACF和BCD中，ACFBCD(SAS)，CAFB45，AFBD，EAFBACCAF90；AE2DB2DE2；理由如下：DCF90，DCE45，FCE904545，DCEFCE，在DCE和FCE中，DCEFCE(SAS)，DEEF，在RtAEF中，AE2AF2EF2，又AFDB，AE2DB2DE2.