（数学·试题卷（A4版））2023年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试Ⅰ（含水印）.doc

1、绝密启用前2023 年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试数 学本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题

2、5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若 iz +1= 2z - i ，则| z - i | =A55B105C 510D 101052已知集合 A =x | 2x +1 7 ， B =y | y 2 ，则A A I B = B A I B = (3, 4 C A U B = R D A U B = (-,43已知a11-= ( ) ，32b = log e ， c = 3-0.1 ，则13A a b c B a c b Cb a c Db c b 0) 的左、右焦点分别为a b2 2F ，1F ，上顶点为 A ，直线2AF 与 C 的另一个1交点为 B

3、若AF BF ，则 C 的离心率为2 2A2 55B55C452 5 3 2 5 5 5D57在四面体 ABCD 中，AB 平面 BCD ，CD 平面 ABC ，AD = 2 ，且异面直线 AD 与 BC 的夹角为 30 ，则 AB + CD 的最大值为A22B 22 56 25 2 5CD 658已知圆O 的半径为1 ， A ， B ，C ， D 为圆 O 上四点，且| AB | =| CD | =1 ，则 AC AD + BC BD 的最大值为A 3 2 3 B 2 3 C 6 2 3 D 4 3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

4、合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知函数 f (x) = x(ex + e-x ) ，则A f (x) 是偶函数B f (x) 单调递增C曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0) 处切线的斜率为 0D3f (log 3) + f (- ) 02210有 6 个相同的球，分别标有数字1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球记第一次取出的球的数字为X ，第二次取出的球的数字为1XX 设 X = 1 ，其中x表示不超过 x 的最2X2大整数，如1 =1，2.5 = 2 ，则A5P(X X ) = B1 212P(X

5、+ X = 5) =1 229C事件“X = ”与“ X = 0 ”互斥 D事件“1 6X = ”与“ X = 0 ”对立2 1x y2 211设双曲线 C : - =1(b 0) 的左、右焦点分别为2 b2F ，F 点 O 为坐标原点，点 M (1, 3) ，MF MF ，1 2 1 2点 P 为C 右支上一点，则A C 的渐近线方程为 y = xB| PO |2 =| PF | | PF |1 2C当 P ， M ，F ，1F 四点共圆时，2 = PF1M 15D当 P ， M ，F ，1F 四点共圆时，2P F1F2 = 1512如图，在五面体 PQABCD 中，底面 ABCD 为矩形，

6、ADP 和BCQ 均为等边三角形，PQ平面 ABCD ，AB = 7 ，AD = 2 3 ，且二面角 P - AD - C 和Q - BC - A 的大小均为q (q (0,p) 设五面体 PQABCD的各个顶点均位于球 O 的表面上，则A有且仅有一个q ，使得五面体 PQABCD 为三棱柱P QB有且仅有两个q ，使得平面 ADP 平面 BCQ1C当 cosq = - 时，五面体 PQABCD 的体积取得最大值4D当 cosq = 0 时，球 O 的半径取得最小值D CA B数学试题第 2 页（共 4 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。y13 (x + )8 的

7、展开式中 x2 y2 的系数为 （用数字作答）2x214书架上放有 2 本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走 2 本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为 p p15已知奇函数 f (x) = cos(wx + j) (w 0) 在 (- , ) 单调递减，且12 12fp 1( ) = - ，则 f (p) = 3 216已知函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c 恰有两个零点x ，1x 和一个极大值点2x x x f (x ) 的解集为 (5,+) ，则 f (x) 的极大值为 0四、解答题：本题共 6 小题，共 70

8、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记S 为数列a 的前 n 项和，已知na1 + (n -1)a2 + + an = 2Sn -1 证明：n n（1）S 为等比数列；n1 2 n（2） + + + 2.050 ，则认为机床在周期出现了比周期更严重的问题，否则不认为出现了更严重的问题）数学试题第 3 页（共 4 页）19（12 分）在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AC 平面 PBD ，PB PD ，AB = 2 ，且二面角 P - AC - D的大小为 60P（1）求四棱锥 P - ABCD 的体积；E （2）设 E 为 PC 的中点，求直线 A

9、E 与平面 PBD 所成角的正弦值CD BA20（12 分）记 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c 已知 a + b = 2 ，2 cos B -1 sin B=2 cos A +1 sin A（1）证明： c = 2(a - b) ；（2）求 ABC 面积的最大值21（12 分）已知抛物线 C : x2 = 2py (p 0) 的焦点到直线 l : y = 2x - 5 的距离为6 55（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 l 上， PA ， PB 是 C 的两条切线， A ， B 是切点，直线 AB 与 l 交于点Q ，证明：存在定点 H ，使得 PH QH 22（12 分）已知函数 f (x) = sin x - x + ax3 （1）当 x0 时， f (x)0 ，求 a 的取值范围；（2）是否存在 nN* ，使得1 1 1 3ln 2 sin + sin + + sin 13 2 4 n(n+ 2) 4？说明理由数学试题第 4 页（共 4 页）