函数及其表示一等奖-公开课课件.ppt

1、函数的概念（函数的概念（1 1）1.2.11.2.1一、回顾初中学习的函数概念 设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量 请你举出这样的例子 请同学们考虑以下两个问题：请同学们考虑以下两个问题：是是同同一一个个函函数数吗吗？与与）（是是函函数数吗吗？xxyxyy221)1(显然，仅用初中函数的概念很难回答这些显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。问题。因此，需要从新的高度认识函数。二、下面先看几个实例：问题：（1）写出时间t的变化范围的集合A.A=t|1979t2001 （2）写出臭

2、氧层空洞面积S的变化范围的集合B.B=S|0S26 由问题的实际意义可知，对于数集A中的每一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表1-1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。时间（年）时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民家城镇居民家庭恩格尔系庭恩格尔系数（数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

3、表表1-11-1问题：（1）写出时间t的变化范围的集合A.A=t|1991t2001 （2）写出恩格尔系数的变化范围的集合B.B=53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9 由问题的实际意义可知，对于数集A中的每一个时间t,按照表中数据，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应.不同点不同点共同点共同点实例（实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，）是用图象刻画变量之间的对应关系，实例（实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；）是用表格刻画变量之间

4、的对应关系；（1）都有两个非空数集）都有两个非空数集（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系）两个数集之间都有一种确定的对应关系问题：三个实例有什么共同点和不同点？问题：三个实例有什么共同点和不同点？其中x叫做自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域（domain）；与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的集合 叫作函数的值域（range）.值域是集合B的子集.新课新课 1、函数定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x),xA

5、Axxf)(2对概念的理解 （1）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体.一般来说值域由定义域和对应关系所确定，因为对于定义域中的数x，按照确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和x对应.（2）记住y=f(x)(x)=x2，对应关系f就是“取平方”，而对于 ，对应关系f就是“开平方”，f就是函数符号，=g(x),y=u(x)等 xxf)(3用函数定义理解初中学习过的函数问：我们已经学过了那些函数？答：一次函数、二次函数和反比例函数.请填写下表：函数函数一次函数一次函数二次函数二次函数反比函数反比函数a0 0a0 0对应关系对应关系定义域定义域值域值域 4请具体写出

6、一个一次函数、二次函数和反比例函数，并作出图象.求求函函数数的的定定义义域域；已已知知函函数数例例)1(213)(1.xxxf课堂例题课堂例题的的值值；，求求已已知知函函数数例例)32()3()2(213)(1.ffxxxf .)1(),(,0)3(213)(1.的的值值求求时时当当已已知知函函数数例例 afafaxxxf.13113.2的定义域和求函数例xyxy0|1,0|1|0|)()1()(0 xxxxxxxxxxxxxf、且、的定义域为、函数练习D CB A 1-2x1,x|xD -2x1,x|xC-2x|xB 1x|xA)(2或、且、的定义域为则函数、已知练习)(,11)(xffxx

7、fCC？定义域的的为何值时，函数、当练习R31282)(2kxkxkxxfk.)(10.,1201004)2(0.012)(222R01R的定义域为时，函数当有意义对时，当时，当都有意义对一切，的定义域为解：xfkRxkxkxkkkkkRxkxkxxf实数集实数集R R 使分母不等于使分母不等于0 0的实数的集合的实数的集合使根号内的式子大于或等于使根号内的式子大于或等于0 0的实数的集合的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集即各集合的交集)使实际问题有意义的实数的集合使实际问题有意义的实数的集合 (3)(3)如果如果y=f(x)是二次根式

8、，则定义域是是二次根式，则定义域是(4)(4)如果如果y=f(x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是是由几个部分的式子构成的，则定义域是(1)(1)如果如果y=f(x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是(2)(2)如果如果y=f(x)是分式，则定义域是是分式，则定义域是(5)(5)如果是实际问题，是如果是实际问题，是（1）试说明函数定义中有几个要素？）试说明函数定义中有几个要素？定义域、值域、对应法则定义域、值域、对应法则定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；一个整体；值域由定义域、对应法则惟一确定；值域由定义域、对应法则惟一确定

9、；函数符号函数符号y=f(x)表示表示“y是是x的函数的函数”而不是表示而不是表示“y等于等于f与与x的乘积。的乘积。判断正误判断正误1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应之对应2、函数的定义域和值域一定是无限集合、函数的定义域和值域一定是无限集合3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一 个元素个元素5、对于不同的、对于不同的x,y的值也不同的值也不同 6、f(a)表示当表示当x=a时，函数时，函数f

10、(x)的值，是一个常量的值，是一个常量（2）如何判断给定的两个变量之间是否具有）如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？函数关系？定义域和对应法则是否给出？定义域和对应法则是否给出？根据所给对应法则，自变量根据所给对应法则，自变量x在其定义域在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值数值y和它对应。和它对应。判断下列对应能否表示判断下列对应能否表示y是是x的函数的函数（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x 2 （4）y2 =x （5）y2+x2=1 （6）y2-x2=1 (1)能能 (2)不能不能 (5)不能不能 (3)能能 (4)不能

11、不能 (6)不能不能 判断下列图象能表示函数图象的是（判断下列图象能表示函数图象的是（）xy0(A)xy0(B)xy0(D)xy0(C)D课堂总结课堂总结 1用集合与对应的语言定义的函数.2如何求简单函数定义域和函数值.求定义域时通常要注意以下几点：（1）开偶次方根需非负；（2）分母不等于零；（3）具体函数的定义域要求.课后作业课后作业 组第1题（1）（2）（3）（4）.课本第44页复习参考题A组第6题.函数的概念（函数的概念（2 2）1.2.11.2.1复习导入复习导入 问：什么是函数？设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的

12、数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x),xA其中x叫做自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域（domain）；与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的集合 叫作函数的值域（range）.Axxf)(函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如上节课所述的实例.对于给出解析式的函数，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.对用解析式表示的函数，可由给定的自变量值代入解析式计算函数值.新课新课 一、求函数的值域例1.求下列函数的值域：76)4(54)3(8)2(3)1(2 xxyxyxyxyR Ryyy

13、 ,0R 2 yy二、区间的概念 研究函数时常会用到区间的概念.设a,b是两个实数，而且ab.我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；（3）满足不等式axb或aa,xb，xb的实数x的集合分别表示为a,+)，(a,+)，(-,b，(-,b)。“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.区间可在数轴上表示 例例1、试用区间表示下列实集：、试用区间表示下列实集：x|5 x6 (2)x|x 9(3)x|x -1 x|-5 x2(4)x|x 9x|-9 x20例2.求下列函数的值域（

14、用区间表示）：76)4(54)3(8)2(3)1(2 xxyxyxyxy),(),0()0,(),(),2 课堂例题课堂例题三、函数的相等 两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域、值域和对应法则都相同由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就相等.)4(;)3(;)2(;)()1(?.222332xxyxyxyxyxy 相等相等下列函数中哪个与函数下列函数中哪个与函数例例),0()()1(2 xxxy解解：.)(但是定义域不相同虽然对应关系相同，这个函数与函数Rxxy.)(不相等所以，这个函数与函数Rxxy),()2(33Rxxy

15、 .)(而且定义域也相同不仅对应关系相同，这个函数与函数Rxxy.)(相等所以，这个函数与函数Rxxy .0,0,|)3(2xxxxxxy.)(0,)(不相同与函数时，对应关系但当的定义域都是实数集这个函数与函数RxxyxRRxxy.)(不相等所以，这个函数与函数Rxxy从本例我们还可以看出，相同的对应关系，其表达形式可以不同.,0|)4(2 xxxxy的的定定义义域域是是.)(不不相相同同与与函函数数Rxxy .)(不相等所以，这个函数与函数Rxxy我们还可以用列出表格的方式进行判断我们还可以用列出表格的方式进行判断函数函数定义域定义域对应法则对应法则值域值域RxyxRRRRxy 2)(xy

16、 33xy 2xy xxy2 xyxxyxxyxxyx0|xx0|xx0|yy0|yy0|yy课堂练习课堂练习 1.判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数 h=-130t-5t2和二次函数y=130 x-5x2；（2）f(x)=1和g(x)=x0.2.请你再举出函数相等的例子.课堂练习课堂练习2求下列函数的定义域（1）（2）（4）（5）|x|x1)x(fx111)x(f1xx4)x(f213xx1)x(f 已知已知fg(x)的定义域为的定义域为D，则，则f(x)的定义域为的定义域为g(x)在在D上值域。上值域。已知复合函数定义域求原函数定义域已知复

17、合函数定义域求原函数定义域例如、若函数例如、若函数y=f(x+1)的定义域为的定义域为-2，3，则，则y=f(2x-1)的定义域是（的定义域是（）。）。A、0，5/2 B、-1，4C、-5，5 D、-3，7A复合函数复合函数.),(,)()(),(,),(,:复合函数复合函数的做叫这时的函数关于则确定了一个空的定义域的交集不的值域与且记作的函数又是记为的函数是如果定义xyxgfyxyufxgxguxuufyuy.,)12()(,12)(,)(22RxxxgfyRxxxguRuuufy则例如、已知已知fg(x)的定义域为的定义域为D，则，则f(x)的定义域为的定义域为g(x)在在D上值域。上值域

18、。已知复合函数定义域求原函数定义域已知复合函数定义域求原函数定义域例如、若函数例如、若函数y=f(2x-1)的定义域为的定义域为-3，5，则，则y=f(x+2)的定义域是的定义域是 三、函数的值域三、函数的值域函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域 例例1、求函数、求函数 的值域的值域1xy).,1 1 11 0:的值域为解xyxx例例2、求函数、求函数 的值域的值域5,1,642xxxy2|22)2(2yyyRxxy函数的值域为解：配方，得 例例3、函数、函数 的值域为的值域为()A、(-,5 B、(0,+)C、5,+)D、(0,534252xxyD练习、函数练习、函数 的值域为的值域为

19、()A、(-,2 B、(-,4 C、2,4 D、2,+)2234xxyC例例4、求函数、求函数 的值域的值域12 xxy).,2112121,2121,0,12222的值域为故函数即于是且则解：设xxyuyuuyuxuxu 练习、求函数练习、求函数 的值域的值域12xxy课堂小结课堂小结 1函数的值域由定义域和对应关系确定.2如果两个函数的定义域、对应关系都相同，则它们是同一个函数.请你比较本节所学的函数定义与初中的函数定义，谈谈你对函数的认识.课后作业课后作业 组第4、5、6题，第25页B组第1、2题.课本第44页复习参考题A组第7题.函数的表示法（函数的表示法（1 1）1.2.21.2.2

20、复习导入复习导入问：我们在初中接触过函数的哪一些表示法？答：解析法、图象法和列表法.问：什么是解析法、图象法和列表法？答：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.问：解析法、图象法和列表法的优点有哪些？复习导入复习导入 解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.这是中学阶段所研究的主要的函数表示形式.图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生

21、活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等.列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等.新课新课 一、函数的三种表示法1我们结合具体的例子来思考如何表示函数？解析法图象法列表法课堂例题课堂例题 例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5)=f(x).解：函数的定义域是数集1,2,3,4,5.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x，x1,2,3,4,5.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数笔记本数x 1 12 23 34 45 5钱数钱数y5 51010151520202525用图象

22、法可将函数y=f(x)表示为：0 例2.某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年内12个月份的关系用一条折线连接起来如图2-2-1 请用列表法表示图中的函数关系课堂例题课堂例题 图2-2-1 解：在图象上找出月份与销售额的对应点，用列表法表示为 x(月月)1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212y(万元万元)4040 6060 3030 2020 4040 5050 3030 2525 5050 6060 4040 4040 2思考：1)所有的函数都能用解析式表示吗？2)三种表示法的特点各是什么，请用例子说明.课堂例题 例3.下表是某校高一（1）班三名

23、同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.解：从图中可以看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.课堂练习课堂练习 1.如图，把截面半径为25 cm的圆形木头

24、锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，把y表示为x的函数.25cm25cmx课堂练习课堂练习 2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.时间时间离开家的距离离开家的距离（A）时间时间离开家的距离离开家的距离（B）时间时间离开家的距离离开家的距离（C）时间时间离开家的距离离开家的距离（D）0000课堂小结课堂小结 表示函数常用的

25、有三种方法，它们有各自的优点和不足.课后作业课后作业 1组7、8、9题.B组第3题.课后作业课后作业 2.已知定义在R上的函数y=f(x)，其部分值的对应关系如下表：x0 01 12 23 34 4y-1-10 03 38 81515则符合上面的关系的一个函数解析式是 1.2.21.2.2函数的表示法（函数的表示法（2 2）复习导入复习导入问：函数有哪三种表示法？答：解析法、图象法和列表法.复习导入复习导入.)(3,5.2(.2 1.245.3:)(的图象的解析式，并作出函数写出函数时，当，例如的最大整数，的函数值表示不超过函数讲解作业：xfxxxxf新课新课 一、分段函数 用解析法表示函数时

26、，常常遇到这样的情形，一个函数在整个定义域上不能建立统一的函数解析式，自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式，这样的一类函数我们把它称为“分段函数”（segment-function）课堂例题课堂例题 例1.画出函数y=|x|的图象.0,0,xxxxy我们有我们有解：由绝对值的概念，解：由绝对值的概念，所以，函数y=f(x)的图象如下：-3-3-2-2-1-11 12 23 3xy1 12 23 34 45 5O 例2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则指定：(1)5公里以内（含5公里），票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某

27、条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.课堂例题课堂例题 课堂练习课堂练习画出函数y=|x+1|的图象。1,1,11,1.xxyxxx 由于这个函数的自变量x取x0,B=y|y0,对应关系对应关系f f：正方形正方形面积，那么从集合面积，那么从集合A A到集合到集合B B的对的对应是否是函数？为什么？应是否是函数？为什么？2.2.函数是函数是“两个数集两个数集A A、B B间的一种确定的对间的一种确定的对应关系应关系”，如果集合，如果集合A A、B B不都是数集，这种不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？对应关系又怎样解释呢？新课新课 一般地，我

28、们有：设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping),记作 f:AB 其中x叫做原象(inverse image)，与x对应的y叫做象(image)练习.判断下列对应是不是从A到B的映射？课堂练习课堂练习-1 0 2 3 求绝对值?-1?B?A 1-2 2-3 3 1 开平方?-1?B?A 1-2 2-3 3 4 1 9 求平方?-1?B?A 1-2 2-3 3 4 1 9 一种对应?r?q?p?-1?B?A-2 2-3 3 1 图2-1-3 图甲

29、图乙 图丙 图丁思考思考1:1:函数一定是映射吗？映射一函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？定是函数吗？思考思考2:2:映射有哪几种对应形式？映射有哪几种对应形式？一对一，多对一一对一，多对一 思考思考3:设集合设集合A=N，B=x|x是非负偶是非负偶数数，你能给出一个对应关系，你能给出一个对应关系f，使从，使从集合集合A到集合到集合B的对应是一个映射吗的对应是一个映射吗？并指出其对应形式？并指出其对应形式.思考思考:有人说映射有有人说映射有“三性三性”，即，即“有序性有序性”，“存在性存在性”和和“唯一性唯一性”，对此你是，对此你是怎样理解的？怎样理解的？“唯一性唯一性”：对于集合：对于集合

30、A A中的任何一个元中的任何一个元素，在集合素，在集合B B中和它对应的元素是唯一的中和它对应的元素是唯一的.“有序性有序性”：映射是有方向的，：映射是有方向的，A A到到B B的的映射与映射与B B到到A A的映射往往不是同一个映射；的映射往往不是同一个映射；“存在性存在性”：对于集合：对于集合A A中的任何一个中的任何一个元素，集合元素，集合B B中都存在元素和它对应；中都存在元素和它对应；例例1 1 试判断下面给出的对应是否为从集合试判断下面给出的对应是否为从集合A A到集合到集合B B的映射？的映射？（1 1）集合）集合A=P|PA=P|P是数轴上的点是数轴上的点，集合，集合B=RB=

31、R，对应关系，对应关系f f：数轴上的点与它所代表的实：数轴上的点与它所代表的实数对应；数对应；（2 2）集合）集合A=P|PA=P|P是平面直角坐标系中的点是平面直角坐标系中的点，集合，集合B=(x,y)|xR,yRB=(x,y)|xR,yR，对应关系，对应关系f f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合）集合A=x|x是三角形是三角形,集合集合B=x|x是圆是圆，对应关系，对应关系f：每一个三角形都对应：每一个三角形都对应它的内切圆；它的内切圆；（4）集合）集合A=x|x是师大附中的班级是师大附中的班级，集合集合B=x|x是师大附中的学生是师大

32、附中的学生，对应关，对应关系系f：每一个班级都对应班里的学生：每一个班级都对应班里的学生;（5）集合）集合A=1,2,3,4,B=3，4，5，6，7，8，9，对应关系，对应关系f：x2x+1 例例2 2 已知集合已知集合A=a,bA=a,b，集合，集合B=c,d,e.B=c,d,e.（1 1）试建立一个从集合）试建立一个从集合A A到集合到集合B B的映的映射？射？（2 2）一共可建立多少个从集合）一共可建立多少个从集合A A到集合到集合B B的映射？的映射？例例3 3 下列对应关系下列对应关系f f是否为从集合是否为从集合A A到集到集合合B B的函数？的函数？22(1),|0,:|;(2),:;(3),:;(4),:3.AR By yfxxAR BR fxxAZ BR fxxAZ BZ fxx知识回顾知识回顾函数的概念函数的概念 函数函数区间区间定义：定义：三要素三要素 定义域定义域对应关系对应关系 值域值域闭区间闭区间 开区间开区间 半开半闭区间半开半闭区间 函数的表示法函数的表示法 三种表示法三种表示法 解析法解析法 列表法列表法 图像法图像法分段函数分段函数 映射映射f f：ABAB课堂小结课堂小结 1分段函数：自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析式 2映射：函数概念的推广.课后作业课后作业 1课本第23页练习第3、4题.2组第题.