《等差数列的前n项和》公开课课件.ppt

1、等差数列的前n项和公开课课件复习：复习：(1)等差数列的通项公式是什么等差数列的通项公式是什么?an=a1+(n-1)d(4)(4)如果如果a,A,b 成等差数列成等差数列,那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.2baA 12132(3)nnnnaaaaaaa 在等差数列中，=(2)如何利用通项公式求项数如何利用通项公式求项数n?头尾差除以公差再加头尾差除以公差再加111naand问题问题 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放这样一层

2、一层地往上放。最上面一层放100支。支。求这个求这个V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？100层层123100?12399?倒序相加法100层层S100=1 +2+3+100S100=100+99+98+1讲授新课1.对于一般等差数列,如何求和?(点题)设等差数列的首项为a1,末项为an,前n项和为sn,求sn.解:sn=a1+a2+a3 +an (1)sn=an+an-1+an-2+a1 (2)(1)+(2)得 2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a12sn=(a1+an)n1()2nn

3、aa ns公式特点:(1)首项加末项的和乘以项数再除以2.与梯形面积公式相似.(2)知三求一*将an=a1+(n-1)d代入(*)式可得:1(1)2nn nsnad(*)1()2nnaa ns问题:公式(*)除了利用刚才的方法得到外,还有别的方法吗?提示:a1=a1 a2=a1+d a3=a2+2d a4=a3+3d an=a1+(n-1)d sn=na1+1+2+3+(n-1)d 1(1)2n nnad指出:这种方法叫递推叠加法公式特点:(1)公式中涉及项数、首项、公差、前n项和；（2）知三求一；（3）公式反应出sn与n之间的函数关系是二次函数。（4）两个公式区别对待。例题讲解例题讲解例1求

4、集合 中元素的个数，并求这些元素的和。*|7,100Mm mn nNm且解：解：代 公式可得 1(1)naand987(1)714.nn或或 由 ，即100,7100mn得10021477n*,14.nNn 1414(798)7352S1414(14 1)14 77735.2S 或或答：集合M中共有14个元素，它们的和等于735。例例2已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前n项项和的公式吗？和的公式吗？由题意知由题意知1020310,1220.SS 将它们代入公式将它们代入公式1(1)2nn

5、nSnad解得解得14,6.ad2(1)463.2nn nSnnn解：解：例题讲解例题讲解把本例命题加以变化，可得到一个一般性结论：把本例命题加以变化，可得到一个一般性结论：数列数列 na为等差数列，若为等差数列，若112;nSaaa2122;nnnSaaa321223;nnnSaaa（每个均为连续（每个均为连续n项的和）项的和），证明证明S1，S2，S3成等差数列。成等差数列。由等差数列前由等差数列前n项和公式，得项和公式，得11(),2nn aaS122(),2nnn aaS2133().2nnn aaS121313122()()2.2nnnnnn aaaaSSn aaS123,S SS成

6、等差数列。证明：证明：例题讲解例题讲解例3设等差数列 的前n项和为 ，已知 nanS3121312,0,0.aSS（1）求公差d的取值范围；（2）指出 中哪一个最大？并说明理由。1212,S SS解：解：(1)12113112(12 1)120,213(13 1)130,2SadSad依题设有即 112110,60.adad将 代入上式得 3112,12 2aad即2470,30.dd解得 243.7d 解法解法1：由12130,0SS得1112 11120,213 12130,2adad即1150,260.dadad 也即 S6最大。6700,aa且解法解法2：由1122,ad2437d 得

7、112(3)0,12(2)0.nnandand即5.57.n*,6,nNn即S6最大。思考与探索思考与探索n1、等差数列、等差数列an的公差为的公差为d，前项和为，前项和为sn。那么。那么数列数列sk，s2k sk，s3k s2k 成等差吗？成等差吗？n2、等差数列的项数若为、等差数列的项数若为2n(nN*)，则则 s2n=,且且s偶偶 s奇奇=,s奇奇/s偶偶=。n3、等差数列的项数若为、等差数列的项数若为2n-1(nN*)，则则s2n-1=,且且s奇奇s偶偶=,s奇奇/s偶偶=。小结小结n1、等差数列、等差数列an的公差为的公差为d，前项和为，前项和为sn。那。那么数列么数列sk，s2k

8、sk，s3k s2k 成等差；公差为成等差；公差为n2、等差数列的项数若为、等差数列的项数若为2n(nN*)，则则 s2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）为中间两项），且，且s偶偶 s奇奇=nd ,s奇奇/s偶偶=an/an+1。n3、等差数列的项数若为、等差数列的项数若为2n-1(nN*)，则则S2n-1=（2n-1）an ,且且S奇奇S偶偶=an ,S奇奇/S偶偶=n/（n-1）（S奇奇=nan、S偶偶=（n-1）an）。dk24.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式的推导公式的推导5.等差数列前等差数列前n项和项和Sn公式的记忆与应用；公式的记忆与应用；2)(1nna

9、anS dnnnaSn2)1(1 倒序相加法倒序相加法递推叠加法递推叠加法6.注意选择公式的必要性注意选择公式的必要性.7.注意应用公式的必要性注意应用公式的必要性.小结小结当堂训练当堂训练n1、等差数列、等差数列an的前的前m项和为项和为30，前，前2m项和为项和为100，则它的前则它的前3m项的和为项的和为:;n2、在等差数列、在等差数列an中，公差中，公差d=0.5，S100=145，则，则a1+a3+a5+a99的值为的值为:;n3、等、等 差差 数数 列列 an 中，中，a10,S9=S12,该数列前该数列前 项的和最小？项的和最小？n4、已知等差数列、已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，等差数列，等差数列bn的前的前n项和为项和为Tn，其中，其中Sn/Tn=(3n-1)/(n+3)，求，求a11/b11。a10/b10、a9/b9呢？呢？