《222反证法》课件1优质公开课人教A版选修22.ppt

1、2.2.2反证法反证法 自主学习自主学习 新知突破新知突破1了解反证法是间接证明的一种方法了解反证法是间接证明的一种方法2理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题学问题1 问题问题 A，B，C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A，B都撒谎则都撒谎则C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？提示提示 假设假设C没有撒谎，则没有撒谎，则C真那么真那么A假且假且B假；由假；由A假，知假，知B真这与真这与B假矛盾那么假设假矛盾那么假设C没有撒谎不成立；则没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎必定是在撒谎2已知正整数已知

2、正整数a，b，c满足满足a2b2c2，求证：，求证：a，b，c不不可能都是奇数可能都是奇数 问题问题1 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？你能利用综合法和分析法证明该问题吗？提示提示1 不能不能 问题问题2 a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？不可能都是奇数的反面是什么？提示提示2 都是奇数都是奇数假设原命题假设原命题_，经过正确的推理，最后得出矛，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明盾，因此说明_，从而证明了，从而证明了_，这种证，这种证明方法叫做反证法明方法叫做反证法定义定义 不成立不成立假设错误假设错误原命题成立原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以反证法的关

3、键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与是与_矛盾，或与矛盾，或与_矛盾，或与矛盾，或与_、公、公理、定理、事实矛盾等理、定理、事实矛盾等反证法常见的矛盾类型反证法常见的矛盾类型 已知条件已知条件假设假设定义定义反证法的实质及注意事项反证法的实质及注意事项(1)反证法的实质反证法的实质反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题一假，由此肯定命题“若若p则则q”为真为真(2)注意事项注意事项用反证法证明问题的第

4、一步是用反证法证明问题的第一步是“反设反设”，这一步一定要，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义准确，否则后面的过程毫无意义反证法的反证法的“归谬归谬”要合理要合理1应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用为条件使用()结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论理、定义等；原结论ABC D解析：解析：由反证法定义可知正确由反证法定义可知正确答案：答案：C2用反证法证明命题：用反证法证明命题：“a，bN，ab可被可被5整除，那么整除，那么a，b中至少有一个能被中至少有

5、一个能被5整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为()Aa，b都能被都能被5整除整除Ba，b都不能被都不能被5整除整除Ca，b不都能被不都能被5整除整除Da不能被不能被5整除整除解析：解析：“至少有一个至少有一个”的否定是的否定是“一个也没有一个也没有”，即，即“a，b 都不能被都不能被5整除整除”答案：答案：B3用反证法证明用反证法证明“一个三角形不能有两个直角一个三角形不能有两个直角”有三个有三个步骤：步骤：ABC9090C180，这与三角，这与三角形内角和为形内角和为180矛盾，故假设错误矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角所以一个三角形不能有两个直角假设假设ABC中有两个

6、直角，不妨设中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为上述步骤的正确顺序为_解析：解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：答案：合作探究合作探究 课堂互动课堂互动 用反证法证明否用反证法证明否(肯肯)定式命题定式命题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 思路点拨思路点拨 1.结论中含有结论中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等词等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证

7、法语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法2用反证法证明问题的一般步骤：用反证法证明问题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 用反证法证明唯一性问题用反证法证明唯一性问题 已知已知a与与b是异面直线求证：过是异面直线求证：过a且平行于且平行于b的平的平面只有一个面只有一个 思路点拨思路点拨 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜这是一个唯一性问题，

8、直接证明较困难，宜用反证法用反证法如图，假设过直线如图，假设过直线a且平行于直线且平行于直线b的平面有的平面有两个，分别为两个，分别为和和，在直线，在直线a上取点上取点A，过，过b和和A确定一个平面确定一个平面，且，且与与，分别交于过点分别交于过点A的直线的直线c，d，由，由b，知，知bc，同理同理bd，故，故cd，这与，这与c，d相交于点相交于点A矛盾，故假设不成矛盾，故假设不成立，原结论成立立，原结论成立用反证法证明唯一性命题的适用类型用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论以当证明结论以“有且只有有且只有”“”“只有一个只有一个”“”“唯一存唯一存在在”等形式出现的命题时，由于反

9、设结论易于推出矛盾，所以等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了用反证法证明唯一性就非常简单明了(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用特别提醒：证明特别提醒：证明“有且只有一个有且只有一

10、个”的问题，需要证明两个的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题问题，即存在性问题和唯一性问题2已知：一点已知：一点A和平面和平面.求证：经过点求证：经过点A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直证明：证明：根据点根据点A和平面和平面的位置关系，分两种情况证的位置关系，分两种情况证明明(1)如图，点如图，点A在平面在平面内，假设经过点内，假设经过点A至少有平面至少有平面的两的两条垂线条垂线AB，AC，那么，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一是两条相交直线，它们确定一个平面个平面，平面，平面和平面和平面相交于经过点相交于经过点A的一条直线的一条直线a.因为因为AB平面平

11、面，AC平面平面，a，所以，所以ABa，ACa，在平面，在平面内经过点内经过点A有两条直有两条直线都和直线线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾知直线的一条垂线相矛盾所以所以ABBC，ACBC.在平面在平面内经过点内经过点A有两条直线都和有两条直线都和BC垂直，这与平面几垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点综上，经过一点A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直用反证法证明用反证法证明“至多至多”“”“至少至少”存在性

12、问题存在性问题已知已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和和ycx22axb确定的三条抛物线至少有确定的三条抛物线至少有一条与一条与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点 思路点拨思路点拨 结论中有词语结论中有词语“至少至少”，宜采用反证法，注，宜采用反证法，注意意“至少有一个至少有一个”的否定形式为的否定形式为“一个也没有一个也没有”所以所以ABBC，ACBC.在平面在平面内经过点内经过点A有两条直线都和有两条直线都和BC垂直，这与平面几垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾何中经过直线外一点只能有已知直

13、线的一条垂线相矛盾综上，经过一点综上，经过一点A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直1.当命题出现当命题出现“至多至多”“”“至少至少”等形式时，等形式时，适合用反证法适合用反证法2常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”原结原结论词论词至少有一个至少有一个至多有至多有一个一个至少有至少有n个个至多有至多有n个个反设词反设词一个也没有一个也没有(不存在不存在)至少有至少有两个两个至多有至多有n1个个至少有至少有n1个个原结论词原结论词只有一个只有一个对所有对所有x成立成立对任意对任意x不成立不成立反设词反设词没有或至没有或至少有两个少有两个存在某个存在某个x不成立不成立存在

14、某个存在某个x成立成立原结论词原结论词都是都是是是p或或qp且且q反设词反设词不都是不都是不是不是p且且qp或或q用反证法证明命题用反证法证明命题“a，b为整数，若为整数，若ab不是偶数，则不是偶数，则a，b都不是偶数都不是偶数”时，应假设为时，应假设为_【错解错解】a，b不都是偶数不都是偶数【错因错因】应用反证法时，假设错误应用反证法时，假设错误a，b不都是偶数包括的情况有：不都是偶数包括的情况有：a是偶数，是偶数，b是奇数；是奇数；a是奇数，是奇数，b是偶数；是偶数；a是奇是奇数，数，b是奇数是奇数注意否定的结论是不是结论的对立面，注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶都不是偶数数”指指“a，b都是奇数都是奇数”，它的反面是，它的反面是“a，b不都是奇数不都是奇数”【正解正解】a，b不都是奇数不都是奇数高效测评高效测评 知能提升知能提升 谢谢观看！谢谢观看！