三次函数的探秘.pdf
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1、学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 1 - 专题专题 4三次函数的图像和性质三次函数的图像和性质 第一讲 三次函数的基本性质 设三次函数为 32 f xaxbxcxd(a、b、c、dR且0a ),其基本性质有: 性质一:定义域为 R 性质二:值域为 R,函数在整个定义域上没有最大值、最小值 性质三:单调性和图象 0a 0a 图像 0 0 0 0 当0a 时,先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc, 22 4124(3)bacbac 当 22 4124(3)0bacbac ,即 2 30bac时,( )fx与x轴有两个交点 1 x, 2 x,)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x
2、, 2 x,图像如图 1,2 当 22 4124(3)0bacbac ,即 2 30bac时,)(x f 与x轴有两个等根 1 x, 2 x,)(xf没有极值点 图像如图 3,4 当 22 4124(3)0bacbac ,即 2 30bac时,( )fx与x轴没有交点,)(xf没有极值点,图像如 图 5,6 图 1图 2图 3图 4图 5图 6 当0a时,同理先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc,. 22 4124(3)bacbac 当0)3(4124 22 acbacb,即03 2 acb时,)(x f 与x轴有两个交点 1 x, 2 x,)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x
3、, 2 x. 当 22 4124(3)0bacbac ,即 2 30bac时,)(x f 与 x 轴有两个等根 1 x, 2 x,)(xf没有极值点. 当 22 4124(3)0bacbac ,即 2 30bac时,)(x f 与 x 轴没有交点,)(xf没有极值点. 性质四:三次方程 0f x 的实根个数 对于三次函数 32 f xaxbxcxd(a、b、c、dR且0a ),其导数为cbxaxxf23)( 2 当03 2 acb,其导数0)( x f有两个解 1 x, 2 x,原方程有两个极值 2 12 3 = 3 bbac x x a 、 . 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 2 -
4、 当0)()( 21 xfxf,原方程有且只有一个实根,图像如图 13,14. 当 12 ()()0f xf x,则方程有 2 个实根,图像如图 15,16. 当 12 ()()0f xf x,则方程有三个实根,图像如图 17. 图 13图 14图 15图 16图 17 性质五:奇偶性 对于三次函数 32 f xaxbxcxd(a、b、c、dR且0a ). )(xf不可能为偶函数;当且仅当0bd时是奇函数 性质六:对称性 (1)结论一:三次函数是中心对称曲线,且对称中心是(,() 33 bb f aa ; (2)结论二:其导函数为 2 ( )320fxaxbxc对称轴为 3 b x a ,所以
5、对称中心的横坐标也就是导函数 的对称轴,可见,)(xfy 图象的对称中心在导函数 yfx的对称轴上,且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点; (3)结论三:( )yf x是可导函数,若( )yf x的图象关于点( , )m n对称,则( )yfx图象关于直线mx 对称. (4)结论四:若( )yf x图象关于直线xm对称,则( )yfx图象关于点( ,0)m对称. (5)结论五:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (6)结论六:已知三次函数 32 f xaxbxcxd的对称中心横坐标为 0 x,若 f x存在两个极值点 1 x, 2 x,则有 2
6、 12 120 12 2 23 f xf xa xxfx xx . 性质七:切割线性质 (1)设P是 f x上任意一点(非对称中心),过点P作函数 f x图象的一条割线AB与一条切线PT(P点 不为切点),A B T均在 f x的图象上,则T点的横坐标平分AB、点的横坐标,如图 18 图 18图 19图 20 x1x2 x x1x2 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 3 - 推论 1:设P是 f x上任意一点(非对称中心),过点P作函数 f x图象的两条切线PMPN、切点分别 为MP、,则 M 点的横坐标平分PN、的横坐标,如图 19 推论 2:设)(xf的极大值为M,当成Mxf)(的两
7、根为 1 x, 2 x 12 ()xx,则区间 12 ,xx被中心 (,() 33 bb f aa 和极小值点三等分,类似的,对极小值点N也有此结论,如图 20 第二讲 三次函数切线问题 一般地,如图,过三次函数 f x图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f x的图象分割为 四个区域,有以下结论: (1)过区域、IV 内的点作 f x 的切线,有且仅有 3 条; (2)过区域 II、内的点以及对称中心作 f x的切线,有且仅有 1 条; (3)过切线 L 或函数 f x图象(除去对称中心)上的点作 f x的切线,有且仅有 2 条 【例 1】过点11,与曲线 3 2f xxx
8、相切的直线方程是_ 【解析】由题意可得: 2 32fxx,设曲线上点的坐标为 3 000 ,2xxx,切线的斜率为 2 0 32kx, 切线方程为: 32 0000 232yxxxxx, 由于切线过点1, 1, 则: 32 0000 1232 1xxxx , 解得: 0 1x 或 0 1 2 x 将其代入切线方程式整理可得,切线方程为:20xy或5410xy . 【例 2】 若 2f xfx 3 3xx对Rx恒成立, 则曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为_ 【解析】 3 3 23,23f xfxxxfxf xxx 3 3 3233f xxxxx 32 1,31,213f xxxfxxf
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