人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》说课稿课件.pptx
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- 均值不等式及其应用 人教 高中数学 必修 一册 第二 均值 不等式 及其 应用 说课稿 课件
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1、均值不等式及其应用均值不等式及其应用第第1课时课时问题1阅读课本第7175页,回答下列问题:整体概览整体概览(1)本节将要研究哪类问题?(2)本节研究的起点是什么?目标是什么?问题1阅读课本第7175页,回答下列问题:整体概览整体概览(1)本节将要研究均值不等式及其应用(2)起点是不等式的性质以及比较法,目标是知道均值不等式,会证明均值不等式定理,会用均值不等式解决简单的最大(小)问题进一步提升数学运算、逻辑推理等素养(1)本节将要研究哪类问题?(2)本节研究的起点是什么?目标是什么?情境与问题情境与问题问题给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术平均值;数 称为a,b的几何平均值两个数的算术
2、平均值,实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标,那么几何平均值有什么几何意义呢?两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢?2abab情境与问题情境与问题【尝试与发现】(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义情境与问题情境与问题a12b14131ab2ab2 2新知探究新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么 ,2abab当且
3、仅当ab时,等号成立证明因为a,b都是正数,所以22()0222ababababab,即 2abab而且,等号成立时,当且仅当,即ab2()0ab新知探究新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么 ,2abab当且仅当ab时,等号成立值得注意的是,均值不等式中的a,b可以是任意正实数,因此我们可以代入任意满足条件的数或式子,比如 一定是正确的67422新知探究新知探究均值不等式如果a,b都是正数,那么 ,2abab当且仅当ab时,等号成立综合法证明如下:因为(ab)20,所以a2b22ab0,所以a2b22ab4ab0,即(ab)24ab又因为a0,b0,所以ab ,2 ab显然,当且仅当(a
4、b)20,即ab时,等号成立即 2abab新知探究新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么,均值不等式有什么几何意义呢?将均值不等式两边平方可得 ab2()2ab如果矩形的长和宽分别为a和b,那么矩形的面积为ab,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为:所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大2()2ab新知探究新知探究【想一想】你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角形中,什么样的三角形面积最大?平面上,周长相等的所有封闭图形中,什么样的图形面积最大?正三角形,圆依题意
5、得2(xy)36,即xy18其中等号成立当且仅当x ,即x21,(3)求函数yx(1x),x ,1)的最大值因为x0,y0,所以(4)正确地写出答案两个正数的和为常数时,它们的积有最大值(3)利用均值不等式求最值时,等号必须取得到才能求出最值,若题设条件中的限制条件使等号不能成立,则要转换到另一种形式解答例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?在(1)中,矩形的长与宽的积是一个常数,要求长与宽之和的两倍的最小值;参考答案:(1)当x 时,y有最小值为 ;问题3如图所示半圆中,AB为直径,O为圆心已知ACa,BCb,D为半圆上一点,且DCA
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