大学高等数学课件第三章3定积分的概念微积分基本公式.ppt

1、1maxii nt 其中其中 tvv 细分细分取近似值取近似值作和作和取极限取极限（1）12111212,nT TT tt ttTti-1tii iiiSvt(2)取近似值取近似值 11()nniiiiiSSvt（3）作和）作和01lim()niiiSvt（4）取极限）取极限 T1T2vt曲边梯形面积曲边梯形面积A：变速运动的路程变速运动的路程 S：01lim()niiiSvt dttvTT21记为记为01lim()niiiAfx baf x dx记为记为 f x,a b f x,a b定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件 f x,a b f x,a b有界是函数在区间有界是函数在区间a,

2、b上可积的必要条件。上可积的必要条件。123baf x dxAAA 表示曲线与表示曲线与 x 轴围成的图形面积的轴围成的图形面积的代数和代数和。123baf x dxAAA表示曲线与表示曲线与 x 轴围成的图形面积。轴围成的图形面积。定积分的几何意义（定积分的几何意义（演示演示）xfyabA1A2A3定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用3(7 1)18 1(28)3152 142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200 xy2-33323(3)9x dx20(4)sin xdx定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用把区间把区间1,0分成分成n等份，每份长等份，每份长1

3、n，各分点是：，各分点是：0120,1,2,1nxxnxnxn n212011limnniix dxnnninin1231lim31121611lim3nnnnn 01limnbiiaifxf x dx120 x dx解解 因为因为 在在 上连续，所以上连续，所以 存在存在2x0,1例例 用定义求定积分用定义求定积分dxx102补充规定补充规定：10aaf x dx 2baabf x dxf x dx abxx+dx定积分的基本性质定积分的基本性质无论无论 a,b,c 的相对位置如何，（的相对位置如何，（3）式均成立。）式均成立。3bcbaacf x dxf x dxf x dx caabcb

4、dxxfdxxfdxxf bcbaacf x dxf x dxf x dx 1bbbaaaf xg xdxf x dxg x dx 2 bbaak f x dxkf x dxbcaacb定积分的基本性质定积分的基本性质 41badxba 5,bbaafxg xfx dxg x dx 6bam baf x dxM bam f x f xM f x,a b,a b,baf x dxfba 7定积分的基本性质定积分的基本性质此性质可以估计积分值的大致范围（定积分的估值定理）若若 是奇函数，则是奇函数，则()f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx()f x若若 是偶函数，则是

5、偶函数，则a-a性质性质8 在对称区间奇偶函数的积分性质在对称区间奇偶函数的积分性质-aa0000()limxxxxxx 000limxxxxf t dtx 0limxfxx 00limxff x xf x0 x积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 xaxf x dx xaf t dt f x,a b,a b f x,xa b xaf x dxx x 定理定理 如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 是是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。()()xaxf t dt证明证明 介于介于 与与 之间）之间）0 x0 xx 2xxe

6、 sinxbtfxdtt sin xx 例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解22 txyedty，求解解222xtxyedte 2xtaxe dt（1）sinbxtf xdtt（2）21122uuxxxeuexyyxln2tan 1 xayt dty，求21tan 1lnxuxyuxyx例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解2utae dt2xtaye dtux2tan 1uat dtln2tan 1xayt dtlnux2xtaye dt（3）sin22 ln22xxxxxuyyu sinarcsin bxytdty，求arcsin sincoscosxuxxxyyux

7、x 例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数2sinxbtydttsinbutdtt2xu 解解解解2sinxbtydtt（4）30arcsin0lnlnxxytdttdt332211ln arcsinln13yxxxx 2cos2lgsec(),xxytdty求4sec(cos)2cos(sin)yxxx 21sec(lg)ln10 xx例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解24sec(lg)sin2sec(cos)ln10 xyxxx 3arcsinlnxxytdt（5）v xu xf x dxf v x v xf u x u x特别地特别地 u xbu x uf xxdxf v

8、 xav xv xf x dxf一般地一般地 21TTSv tdt 2121()TTSS TS Tv t dt F bF a f x,a b F x微积分基本公式微积分基本公式 Stv t而而？f x,a b F x baf x dxF bF a xaF xf x dxC baF bf x dxC aaF af x dxCC baf x dxF bF a微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式证明思路证明思路 ()baF x记作记作 3a 1201x dx例例2 求下列定积分求下列定积分1231001()3x dxx13 32202adxax301arctanaxaa解解

9、因为因为 在在 上连续，上连续，是它的一个原函数是它的一个原函数 2yx0,1313yx所以所以 解解 原式原式 2131edxx 02sin xdx4cos20 x20coscosxx 2200sinsinsinx dxxdxxdx11114 0 11 21ln 1ex 204sin x dx解解 原式原式 解解 原式原式 几何意义几何意义 dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302 dxx30225解解 原式原式 几何意义几何意义 112 21 12252 3202xdx 424sin6cos1tanxxdxx402cosxdx402 sin2x 20

10、71 sin2xdx2012sin cosxxdx220sincosxxdx20sincosxx dx 20cossin0 11 02xx 解解 原式原式 解解 原式原式 合理应用对称区间上合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。简化定积分的计算。22112x dx解解122310126xx设设 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 8181122663分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数函数在函数在x=1处间断处间断 20f x dx101xdx23311113x dx23321219xd

11、xxx213212321222 2199u？223191xx dx2272 29解解 原式原式 2113udu31ux 积分变量积分变量变变，积分区间积分区间变变exit引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积 exit定积分的定义定积分的定义 exit定积分的几何意义定积分的几何意义 exit估值定理估值定理 exit积分中值定理积分中值定理 若若 是奇函数，则是奇函数，则()f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx()f x若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a定积分的几何意义定积分的几何意义是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。cosyx2sin1tanxyx-aa偶函数偶函数 奇函数奇函数