新人教版七年级数学上册第一章《有理数》1.2有理数能力培优讲义（含答案解析）.doc

1、 1 1.2有理数 知识要点： 1.有理数的两种分类：0? ? ? ? ?正 整 数正 有 理 数正 分 数有 理 数负 整 数负 有 理 数负 分 数；0? ? ? ? ? ? ? ?正 整 数整 数负 整 数有 理 数正 分 数分 数负 分 数. 2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴 .数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 . 3.一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度 . 4.只有符号不同的两个数叫相反数 5.一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点

2、的距离是 a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示 a 和 a，这两个点关于原点对称 . 6.一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，记住 a . 由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是零 即： a0a 0 a 0a a 0?a= . 7.有理数的大小比较： （ 1）正数大于 0， 0大于负数，正数都大于负数（ 2）两个负数比较，绝对值大的反而小 . 温馨提示： 1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏； 2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数； 3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数 ; 4.相反数是

3、成对出现的，不能单独存在 .单独的一个数不能说是相反数 . 5.“ 只有符号不同的两个数 ” 中的 “ 只有 ” 指的 是除了符号不同之外其他完全相同不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如 2 和 3的符号不同，但它们不是互为相反数 6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大 . 方法技巧： 1.若 a， b互为相反数，则 a+b=0； 2.多重符号的 结果由 “ ” 的个数决定，与 “ ” 无关 .当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为 “ ” ；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为 “+” ， “ ” 号一般省略不写 3.若 a =a

4、，则 a0 ；若 a = a，则 a0. 4.比较两个数 的大小常用的方法：（ 1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（ 2）利用性质比较：正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；（ 3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小 . 专题一 有理数的分类 1、 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？ 7， 23， 59， 0，722， 3.14， 0.009， 888 正数（ ）；负数（ ）； 非负数（ ）；正分数（ ） . 2 2、 已知有 A、 B、 C三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分 A. 5， 2.

5、7， 9.7， 2.1 B.2.1， 8.1， 10， 7 C. 8.1， 2.1， 5， 9.2， 17 3、 写出 5个有理数（不重复），同时满足三个条件： 其中三个数不是正数； 其中三个数不是负数； 不都是整数 . 专题二 利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、 如图，在数轴上点 A表示的数可能是（ ） A. 1.5 B. 1.5 C. 2.6 D. 2.6 5、 小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有 个 . 17.810.6-7.4-12.66、 如果数轴上点 A到原点的距离为 3，点 B到原点的距离为 5，那么 A、 B两点

6、之间的距离为 . 专题三 利用数轴解决生活中的实际问题 7、 金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表： 若现在的北京时间是 11月 16日 8： 00，那么，现在的惠灵顿时间 11月 _日 _时，巴西利亚时间是 11月 _日 _时。 8、 某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走 100米到聪聪家，再向西走 150米到青青家，再向西走 200 米到刚刚家，请问： （ 1）聪聪家与刚刚家相距多远？ （ 2）如果把这条人民路看作一条数轴，以校门口为原点，向东为正方向，请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（数轴上一格表示 50 米

7、） 。 （ 3）聪聪家向西 210米是体育场，体育场所 在点所表示的数是多少？ 3 9、 我国上海的 “ 磁悬浮 ” 列车，依靠 “ 磁悬浮 ” 技术使列车悬浮在轨道上行使，从而减小阻力，因此列车时速可超过 400 公里现在一个轨道长为 180cm的 “ 磁悬浮 ” 轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球 A、 B、 C，左右各有一个钢制挡板 D 和 E，其中 C 到左挡板的距离为 40cm， B 到右挡板的距离为 50cm， A、 B两球相距 30cm （ 1）在数轴上， A球在坐标原点， B球代表的数为 30，找出 C球及右挡板 E代表的数 （ 2）碰

8、撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现 A 球以每秒 10cm的速度向右匀速运动，问多少秒后 B球第二次撞向右挡板 E？ （ 3）在前面的条件下，当 3个钢球运动的路程和为 6米时，哪个球正在运动 ?此时 A、 B、 C三个钢球在数轴上代表的数分别是什么？ 专题四 相反数的定义与性质 10、 化简下列各数： （ 1）（ 2.7）； （ 2）（ 14 ）； （ 3）（ 701）； （ 4） （ 2） ； （ 5） （ 2） ； （ 6）

9、（ 2） 11、 （ 1）你能否说说 a? 的意义？ “ a? 是相反数 ” 这个说法对吗？ a? 一定表示负数吗？ （ 2）说说 aa? 的意义 12、 有理数 x、 y 在数轴上对应点如图所示： （ 1）在数轴上表示 x、 y； （ 2）试把 x、 y、 O、 x、 y这五个数从大到小用 “” 号连接起来 专题五 绝对值的意义与性质 13、 |a|=3， |b|=6，且 a， b异号，求 a与 b的值 4 14、 已知 a为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是（ ） A. a B a C a D a 15、 已知 a b c、 、 都是有理数，且满足 abcabc? 1，试判断 a、 b

10、、 c三个数中正数有几个 16、 点 A、 B在数轴上分别表示有理数 a、 b， A、 B两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、 B两点之间的距离 AB=|a b| 回答下列问题： （ 1）数轴上表示 2和 5两点之间的距离是 ，数轴上表示 1和 3的两点之间的距离是 ； （ 2）数轴上表示 x和 2的两点之间的距离表示为 ； （ 3）若 x表示一个有理数，则 |x 1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由 专题六 有理数的大小比较 17、 在数轴上画出表示下列各数的点，并用 “ ” 把这些数连起来 . 2， 4.5， 1.5， 3.5， 1.6， 0， 2 18

11、、 下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A. 01.01.0 ? B. 1000 ? C. 1010 ? D.111)101( ?19、 在数轴上画出表示下列各数的点 0， +（ 2.5）， 132 ， 2， 5? ， 143?，并比较大 小 5 答案： 1.解析：正数（ 7， 59，722， 0.009 ）；负数（ 23， 3.14， 888 ）； 非负数（ 7， 59， 0，722， 0.009 ）；正分数（722， 0.009 ） . 2.解： 3.答案不唯一 .如 5， 0， 0.5， 2， 3. 4. C 解析：本题考查数轴上的点表示有理数 .因为点 A在原点的左边，所以 A、 D

12、选项可以排除， 1.5应该在1和 2之间，所以 D选项可排除 . 2.6在 3和 2之间，所以 C选项正确 . 5. 12 解析：因为 12.6 12， 7.4 7，此段上整数有 12， 11， 10， 9， 8，共 5个；同理 10.611，17.8 18，所以此段上整数有 11， 12， 13， 14， 15， 16， 17共 7个，所以被墨迹盖住的整数共有 5 7 12（个） . 6. 2 或 8 解析：从数轴上看，到原点的距离为 3 的点有两个，分别在原点的左右两侧，它们是 3 和 3，因此点 A 表示的数是 3 ；同理可得点 B表示的数是 5. 如果所示，所以 A、 B两点之间的距离

13、为 2或 8. 7. 8.解析：（ 1） 150+200=350（米）； （ 2） ； （ 3）体育 场所在点所表示的数是 110. 9.解析：（ 1）依题意得： AC=180 40 30 50=60， AE=80. 因为 C在负半轴，所以 C代表 60， E代表 +80 （ 2）依题意得（ 1802+80 ） 10=44 （秒） （ 3）当 3 个钢球运动的路程和为 6米时， C球正在运动，此时 A、 B、 C三个钢球在数轴上代表的数分别是 60， 30， 80 10.解：（ 1）（ 2.7） 2.7； （ 2）（ 14 ） 14 ； 6 （ 3）（ 701） 701； （ 4） （ 2）

14、2； （ 5） （ 2） 2； （ 6） （ 2） 2 11.解析：（ 1） a表示 a的相反数； “ a是相反数 ” 不对； a不一定表示负数 . （ 2） a= a表示一个数等于它的相反数 . 12.解：（ 1） （ 2） x y 0 y x. 13.解析：由题意得： a=3 ， b=6. 因为 a， b异号， a=3， b= 6或 a= 3， b=6. 14. C 解析：选项 A中的 a 可以表示任何实数；选项 B 中的 a表示 a 的相反数，所以表示任何实数；选项 C 中 a表示一个数的绝对值，所以 a一定为非负数 . 15.解析：要求出 aa 的值，我们需要去掉绝对值符号，因此我们需要分两种情况讨论：当 a 0 时， aa aa 1；当 a 0 时， aa aa? 1所以 1 ( 0)1 ( 0)aa aa ? ?同样道理： 1 ( 0)1 ( 0)bb bb ?， 1 ( 0)1 ( 0)cc cc ? ?因为abcabc? 1，所以 aa 、 bb 、 cc 中必然两个等于 1，一个等于 1所以 a、 b、 c三个数必然两正一负 16.解