微分方程竞赛模型(传染病和人口发展模型)课件.ppt

1、2()()()()()1d N i ts tN i tdti ts t 0(1)(0)diiidtii 01()11(1)ti tei 模型模型:31Odditi12d-diSIit模模型型的的曲曲线线1Oit12-SIit模模型型的的曲曲线线mt(1)diiidt 4()()1diNNsiNidti ts t 0(1)(0)diiiidtii 模型模型:50(1)(0)diiiidtii 0(11)(0)dii idtii 令令 /接触数接触数(再生数再生数),一个传染期内每个病人有效接触一个传染期内每个病人有效接触的平均人数的平均人数1()010 ()()1 ()tiei tti 当当当当

2、11 (1)lim()0 (1)ti t 当当当当67()()()1,s ti tr tdrdiNNiNNsiNidtdt 001(),(0),(0)disiii siidtdssissdt 数值计算数值计算模型模型:8在相平面上讨论解的性质在相平面上讨论解的性质(轨道走向轨道走向):(,)(,)0,0,1s iDs i sisi 1 1si1mis 9题目的第二问是提供了北京市题目的第二问是提供了北京市4月月20日到日到6月月12日已确日已确诊的诊的SARS累计病例数、现有的疑似累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数，希望学生建立起自计死亡人数和累计治

3、愈出院人数，希望学生建立起自己的模型，以对北京等地己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。传播的影响。特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参数，进行分析、计算和比较。数，进行分析、计算和比较。10评阅要点评阅要点:1)学生答卷中应包含对传播机理和传播状况的叙述学生答卷中应包含对传播机理和传播状况的叙述(如如:传播途传播途径、传播方式、潜伏期和传播地区等径、传播方式、潜伏期和传播地区等)，并且给出建模原理、，并且给出建模原理、方法、思路或

4、框图。方法、思路或框图。2)模型中的人口至少有模型中的人口至少有3类类:易感者、患者和恢复易感者、患者和恢复(与死亡与死亡)者，者，仔细一些的可以再加入潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，仔细一些的可以再加入潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，治愈者和留观者等，要弄清楚他们之间的关系。治愈者和留观者等，要弄清楚他们之间的关系。3)模型还应包含对于传染率、治愈率和死亡率等重要概念的清模型还应包含对于传染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和计算中要给出上述参数的估计方法和估计晰表述。模型分析和计算中要给出上述参数的估计方法和估计值，还可包括平均治愈天数、隔离率和潜伏期等。值，还可包括

5、平均治愈天数、隔离率和潜伏期等。11SARS建模和预测建模和预测大部分答卷都在叙述了大部分答卷都在叙述了SARS传播机理的基础上，作出类传播机理的基础上，作出类似于下面这些基本合理的假设似于下面这些基本合理的假设:单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例;单位时间内治愈人数与现有感染者成比例单位时间内治愈人数与现有感染者成比例;单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例;SARSSARS患者治愈恢复后不再被感染患者治愈恢复后不再被感染;各类人口的自然死亡可以忽略各类人口的自然死亡可以忽略;忽略迁移的影响。忽略迁移的影响。

6、12这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函数、或分几段取常数。当然，还可以根据需要做其它假设。建数、或分几段取常数。当然，还可以根据需要做其它假设。建立模型一般是将总人口分为易感者立模型一般是将总人口分为易感者S(susceptible)、患者、患者I(infective)、恢复者、恢复者R(removed)，再仔细一些的还有潜伏者，再仔细一些的还有潜伏者E,隔离者隔离者Q(quarantinable)、疑似病人、疑似病人P(peradventure)和确诊病人和确诊病人J等类型。叙述或作出各类人口之间流动的示意图，并根据传

7、染等类型。叙述或作出各类人口之间流动的示意图，并根据传染病建模的一般原理建立起如病建模的一般原理建立起如SIR,SEIR,SEQPIJR等类模型。这等类模型。这些模型基本思路相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参些模型基本思路相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参数的确定。例如最简单的数的确定。例如最简单的SIR模型为模型为1300,0000()()(),()()()()()(),(),(1)()(),().S tS t I tS tSI tS t I tI tI tIR tI tR tR 其中：其中：S(t)是是t时刻易感者的数量，它等于总人口减去患者和恢复者时刻易感者的数量，它等于总人

8、口减去患者和恢复者的数量的数量;I(t)是是t时刻患者的数量时刻患者的数量;R(t)是是t时刻恢复者的数量时刻恢复者的数量;S(t)是单位时间内每个患者感染的人数是单位时间内每个患者感染的人数;是患者的恢复率是患者的恢复率;是患者的死亡率。是患者的死亡率。14由于隔离等控制措施的不断加强和治疗情况的变化，由于隔离等控制措施的不断加强和治疗情况的变化，,也是也是随时间而变化的随时间而变化的;另外，由于易感者的数量特别大，可以近似看另外，由于易感者的数量特别大，可以近似看作常数，且将常数合并到作常数，且将常数合并到 中去。在实际应用中，我们最关心的中去。在实际应用中，我们最关心的是感染者数量的变化

9、。取时间单位为天，将模型中的第是感染者数量的变化。取时间单位为天，将模型中的第2个方程个方程离散化得递推关系为离散化得递推关系为(1)()()()()()(),(0)0.(2)I tI tt I tttI tI在离散化的模型在离散化的模型(2)中，中，(t)的含义是每天每个的含义是每天每个SARS感染者传染感染者传染的人数，是一个十分重要的参数，其确定的原则是的人数，是一个十分重要的参数，其确定的原则是:当天新增当天新增SARS病人人数除以当天病人人数除以当天SARS感染者人数，再进行曲线拟合即感染者人数，再进行曲线拟合即可。可。(t)和和(t)是是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以患

10、者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起确定，其方法是当天一起确定，其方法是当天SARS感染治愈和死亡人数除以当天感染治愈和死亡人数除以当天SARS感染人数，再进行曲线拟合即可。感染人数，再进行曲线拟合即可。15例如，利用卫生部公布的例如，利用卫生部公布的4月月20日至日至5月月15日全国的数据进行计日全国的数据进行计算，可以得到算，可以得到(t)随时间变化的关系如图随时间变化的关系如图1中折线所示，用指数中折线所示，用指数曲线曲线(t)=ae-bt对其进行回归拟合得到对其进行回归拟合得到(t)的表达式，其曲线如图的表达式，其曲线如图1中的光滑曲线所示。同理得到中的光滑曲线所示。同理得到(t)+(

11、t)的表达式。将这些函数的表达式。将这些函数代人代人(2)进行递推计算得每天的进行递推计算得每天的SARS感染者人数感染者人数(见图见图2)。16摘要摘要:本文以本文以2003年年6月以前的有关数据为资料，在传统的月以前的有关数据为资料，在传统的SEIR传染病模型的基础上，对人群作了合理的分类，建立了传染病模型的基础上，对人群作了合理的分类，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了各个参数。重点分析了控后模型，用和概率平均的方法得到了各个参数。重点分析了控后模型，用龙格一库塔法求解了方程，并对北京、

12、内蒙古、广东、香港四龙格一库塔法求解了方程，并对北京、内蒙古、广东、香港四个个SARS重点疫区的疫情作了具体的分析，最后评价了模型的重点疫区的疫情作了具体的分析，最后评价了模型的合理性、实用性，提出了模型的改进方向和思路。合理性、实用性，提出了模型的改进方向和思路。非典数学模型的建立与分析非典数学模型的建立与分析171、问题的提出、问题的提出(略略)2、数学模型的分析与建立、数学模型的分析与建立2.1 分析与假设分析与假设 SARS爆发初期，政府和公众对其重视程度远远不够爆发初期，政府和公众对其重视程度远远不够;当被感当被感染者大幅度增加时，政府才开始采取多种措施以控制染者大幅度增加时，政府才

13、开始采取多种措施以控制SARS的进的进一步蔓延。所以一步蔓延。所以SARS的传播可以分为三个阶段的传播可以分为三个阶段:a)控制前，接近于自然传播时的传播模式。控制前，接近于自然传播时的传播模式。b)过渡期，在公众开始意识到过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措的严重性到政府采取得力措 施前的一段时间内。施前的一段时间内。c)控制后，在介人人为因素之后的传播模式。控制后，在介人人为因素之后的传播模式。我们统一将所有地区的我们统一将所有地区的SARS传播规律用传播规律用“控制前控制前”和和“控控制后制后”两个时期来分析。两个时期来分析。182.2 总体假设总体假设1.假设一个假

14、设一个SARS康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，因此将其归为因此将其归为“退出者退出者”。2.不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率,由由SARS引起的死引起的死亡人数，归为亡人数，归为“退出者退出者”。3.假设潜伏期为一常数假设潜伏期为一常数t t=5天。天。4.根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传病人不具有传染性。染性。192.3 控制前控制前(包括控制力度不大的阶段包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设的传播模型的相关假设1.直接接触。直接接触。2.在

15、疾病传播期内所考察的地区的总人数在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数。视为常数。3.设每个病人单位时间有效接触的人数设每个病人单位时间有效接触的人数 1可视为常数。可视为常数。4.流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。5.将人群分为四类将人群分为四类:健康者健康者(易受感染者易受感染者):用用S表示健康者在人群中的比例。表示健康者在人群中的比例。处于潜伏期者处于潜伏期者:用用E表示他们在人群中的比率。表示他们在人群中的比率。病人病人(已受感染者已受感染者):用用I表示病人在人群中的比例。表示病人在人群中的比例。退出者退出者(包括包括“被治愈者被治愈

16、者”和和“死亡者死亡者”):用用R表示退出者在人表示退出者在人群中的比例。群中的比例。20控前模型的建立控前模型的建立参数设定参数设定1)1每个病人平均每天有效接触每个病人平均每天有效接触(足以使健康者感染足以使健康者感染)的的人数。人数。2)q退出率，为退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。患者的日死亡率和日治愈率之和。3)l(流入流入)流出人口占本地总人口的比率。流出人口占本地总人口的比率。4)e e1处于潜伏期的病人的日发病率。处于潜伏期的病人的日发病率。5)p流入人口中带菌者所占的比例。流入人口中带菌者所占的比例。21控前方程的建立控前方程的建立10110010,(0)0,(

17、0)0(0)0,(0)0,dSISdtSSdEISElPlEEEdtdIIIEqIdtRRdRqIdt eee e 22参数的确定参数的确定1)1根据医学资料和有关数据推导而得。根据医学资料和有关数据推导而得。2)q由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。统计平均值。3)l由经济发达程度和交通状况决定。由经济发达程度和交通状况决定。4)e e1根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。展状况可得。5)p由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的由流入该城市人群的地区分布情况和

18、各其他地区的疫情决定。疫情决定。232.4 控制后的传播模型的相关假设控制后的传播模型的相关假设1.由于对人口流动加以了限制，假设此阶段无病源的输人和由于对人口流动加以了限制，假设此阶段无病源的输人和输出输出2.设每个病人单位时间有效接触的人数设每个病人单位时间有效接触的人数 2可视为常数。可视为常数。3.在控制后阶段，因与非典传染源或疑似非典传染源接触而在控制后阶段，因与非典传染源或疑似非典传染源接触而被隔离的人群视作健康者。被隔离的人群视作健康者。这部分人在隔离期限过去后又重新进行正常的社会活动，相这部分人在隔离期限过去后又重新进行正常的社会活动，相当于又进人了传染链中，故可将他们作为健康

19、者处理。当于又进人了传染链中，故可将他们作为健康者处理。4.考虑到采集到的数据，将人群分为五类考虑到采集到的数据，将人群分为五类:24健康者健康者(易受感染者易受感染者):用用S表示健康者在人群中的比例表示健康者在人群中的比例.病人病人(已受感染者已受感染者):用用I表示病人在人群中的比例表示病人在人群中的比例.退出者退出者(包括包括“被治愈者被治愈者”和和“死亡者死亡者”):用用R表示退出者在人表示退出者在人群中的比例群中的比例.自由带菌者自由带菌者:不可控的病毒携带者不可控的病毒携带者(未被发现的病人未被发现的病人,有传染性有传染性)。用用M来表示这部分人在人群中的比例来表示这部分人在人群

20、中的比例.疑似者疑似者:所有被疑似为非典病的非健康者。包括已出现有关症所有被疑似为非典病的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者，未出现症状但已疑似带菌的被隔离状但未确诊的被隔离者，未出现症状但已疑似带菌的被隔离者者:用用Y表示疑似者在人群中所占比例表示疑似者在人群中所占比例.25控后模型的建立控后模型的建立补充参数设定补充参数设定1)y1疑似中每日被排除人数占疑似人数的比例疑似中每日被排除人数占疑似人数的比例;2)y2疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例;3)e e每个自由带菌者转化为病人的日转化率每个自由带菌者转化为病人的日转化率;4)2每个

21、自由带菌者发病后到被收治前平均每天感染的每个自由带菌者发病后到被收治前平均每天感染的有效人数有效人数;5)a a被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。26控后方程的建立控后方程的建立经分析得到如下的方程组经分析得到如下的方程组(II)120200012202,(0),(0),(0)(0),(0)(1),dSYyMSdtdISSMqIy YdtIIdRqIRRdtYYdYy Yy YMSMMdtdMMSMdt e eaaaeae 27 此模型的优点此模型的优点:(1)明确了疑似者所指的范围明确了疑似者所指的范围;(2)可从现有数据中分析出所需的参数和

22、变量初值可从现有数据中分析出所需的参数和变量初值;(3)将将 2定义为定义为“有效接触人数有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量。未知参数的数量。参数的确定参数的确定(以北京为例来说明参数分析方法以北京为例来说明参数分析方法)a)y1疑似者的日排除比例疑似者的日排除比例1y 每每天天新新增增的的疑疑似似排排除除人人数数当当天天疑疑似似病病例例累累计计人人数数28b)y2疑似转化为病例的日转化比疑似转化为病例的日转化比:2y 每每天天新新增增的的疑疑似似转转化化为为确确诊诊的的人人数数当当天天疑疑似似病病例例累累计计人人数数c)q的计算公式的计算公式q

23、每每天天新新增增的的治治愈愈和和死死亡亡的的人人数数当当天天病病人人累累计计数数d)e e从数据可推算出其值在从数据可推算出其值在12%-30%之间，经过分析取之间，经过分析取e e=20%e)a a与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员流动控制得相当严格，还采取了诸如封校、化控制阶段对人员流动控制得相当严格，还采取了诸如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计们可估计a a=70%90%294)模型的求解模型的求解:无解析解，可由无解析解，可

24、由Matlab求数值解。求数值解。30考虑自愈的考虑自愈的SARS的传播模型的传播模型 该文根据对该文根据对SARS传播的分析，把人群分为传播的分析，把人群分为5类类:易感类、潜伏期类、患病未被发现类、易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型类，并考虑自愈因素，提出了两个模型:微微分方程模型和基于分方程模型和基于Small-World Network的的模拟模型。对微分方程模型，以香港为例模拟模型。对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自

25、愈现象在愈现象在SARS传播中是普遍存在的。传播中是普遍存在的。311 基本假设与符号基本假设与符号1.1 基本假设基本假设(2)假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具备传假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具备传染性染性;(3)假设假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人患者只在被发现前可以传染他人;(4)假设假设SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性康复者不会被再次感染，并且不具备传染性;(5)不考虑在不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡传播期间人口的

26、自然出生和自然死亡;(6)所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出入迁出;321.2 符号说明符号说明N我们所研究区域的人口总数我们所研究区域的人口总数;S易感类，该类成员没有染上易感类，该类成员没有染上SARS，也没有免疫能力，可，也没有免疫能力，可以被传染上以被传染上SARS;E潜伏期类，该类成员已经感染了潜伏期类，该类成员已经感染了SARS病毒，但尚处于病毒，但尚处于潜伏期，还不是潜伏期，还不是SARS患者，不能把病毒传染给患者，不能把病毒传染给S类成员类成员;Iu患病未被发现类，该类成员已经成为真正的患病未被发现类，该类

27、成员已经成为真正的SARS患者，患者，能够把病毒传染给能够把病毒传染给S类成员类成员;Ii患病已被发现类，该类成员虽然是患病已被发现类，该类成员虽然是SARS患者，但由于发患者，但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给现后立即被严格隔离，不能传染给S类成员类成员;332 微分方程模型微分方程模型2.1 模型建立模型建立我们把一个封闭区域内的人群完备的分成我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类类:S类、类、E类、类、Iu类、类、Ii类和类和R类，设第类，设第t天时五类成员的人数分别为天时五类成员的人数分别为S(t),E(t),Iu(t),Ii(t),R(t)，该地区总人口为，该地区总人口为N。考

28、虑自愈因素，则各。考虑自愈因素，则各类成员之间的流动情况如下图所示类成员之间的流动情况如下图所示:R免疫类，该类成员为免疫类，该类成员为SARS康复者或因患康复者或因患SARS死亡，已死亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响;H潜伏期天数潜伏期天数;L传染期天数传染期天数;34S(t)E(t)R(t)Iu(t)Ii(t)IuSgEzIucIi E35其中其中:是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数;g是是SARS感染者的日发病率，感染者的日发病率，是是SARS感染者的日自愈率感染者的日自愈率;z是患病

29、人群每天被隔离的比率，是患病人群每天被隔离的比率，c是免疫率是免疫率;借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想，我们得到如下的关借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想，我们得到如下的关于于SARS传播的传播的SEIuIiR微分方程模型微分方程模型:0,0,0,0,0,10,1uuiuuiuuiuiiSI SSEIIRNEI SgEESEIIRIgEzIgHIzIcIg z cRcIE 其其中中362.2 模型求解及结果分析模型求解及结果分析2.2.1 参数意义及确定参数意义及确定(1)是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数易知易知=q.其中，其中，为一天

30、内一个患病者与他人的接触率，为一天内一个患病者与他人的接触率，q为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率 每每人人每每天天平平均均接接触触人人数数总总人人口口(2)g是是SARS感染者的日发病率，感染者的日发病率，是是SARS感染者的日自愈率感染者的日自愈率.1Hg 假定每个假定每个SARS感染者的实际潜伏期天数服从区间感染者的实际潜伏期天数服从区间1,H上的上的均匀分布。也就是说，均匀分布。也就是说，SARS感染者以均等的概率在这感染者以均等的概率在这H天天之中的任何一天发病或者自愈。之中的任何一天发病或者自愈。(H为潜伏期天数上限为潜伏期天数上限)容

31、易容易得到得到:37(4)c是免疫率，也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。是免疫率，也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。c 每每天天治治愈愈和和病病死死的的人人数数当当前前隔隔离离人人数数可以根据实际数据得到。可以根据实际数据得到。(由每天数据计算出当天由每天数据计算出当天c值，其平值，其平均值即为所求均值即为所求)(3)z是患病人群每天被隔离的比率，反映了社会的警觉程度及是患病人群每天被隔离的比率，反映了社会的警觉程度及政府措施的力度。政府措施的力度。2.2.2 模型求解及结果分析模型求解及结果分析39为简单起见只考虑自然的出生与死亡，不计迁移为简单起见只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等

32、社会因素的影响。等社会因素的影响。1、基本符号：、基本符号：一、人口模型发展方程一、人口模型发展方程40412、数学推导：、数学推导：(,)(,)(,)(,)p rt ttrp r trr t p r tr t (,)(,)(,)(,)p rt ttp r ttrp r ttp r tr (,)(,)r t p r tr t 42),(),(),(),(trptrttrprtrp (,)(,)(,)(,)(,)(,)p rt ttp r ttrp r ttp r trr t p r tr t 00(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)rtp rt ttp r ttrp r ttp r tr

33、r tr tr t p r t 43定解条件：定解条件：)()0,(0rprp)(),0(tftp 初始密度函数初始密度函数婴儿出生率婴儿出生率（可由人口调查资料得到）（可由人口调查资料得到）（对人口预测和控制起重要作用）（对人口预测和控制起重要作用）44连续型人口发展方程：连续型人口发展方程：0(,)(,)(,)(,),0,0,(,0)(),(0,)(),(,)0.mp r tp r tr t p r ttrrtp rp rptf tp rt 0(,)(,)rF r tp s t ds 00()exp(),0,(,)()exp(),.rrtrp rts dstrp r tf trs dstr

34、 450(,)(,)()(,),0,0,(,0)(),(0,)(),p r tp r tr p r ttrrtp rp rptf t ,(,)(,)(,)rtp r tp r rp rtttttt 令令 则则 0(,)()(,),0,(,)(),(0,)(),0,0p rr p rrrrp r rp rpfrt ttttttttttt (,)(,)(,),(,)(,),rrtp r tp rp rp r tp rtttttttttt 化为常微分方程求解460(,)()(,),0,(,)(),(0,)(),0,0p rr p rrrp r rp rpfrt ttttttttt (,)()(,)p

35、 rr p rrt ttt (,)()(,)dp rr drp rt t t t (,)0,()(,)rrdp ss dsp sttttt tttt t 当当时时()()0(,)(,)()rrs dss dsp rpepetttttt tttt tt00(,)0,()(,)rrdp ss dsp st tttt t 当当时时0()()(,)(0,)()rrs dss dsp rpefet ttttttt0()0()(),0,(,)(),.rr trs dss dsp rt etrp r tf tr etr 综综上上所所述述 473.生育率和生育模式生育率和生育模式婴儿出生率的进一步分析婴儿出生

36、率的进一步分析(,)k r t 女女性性性性别别比比函函数数21()(,)(,)(,)rrf tb r t k r t p r t dr 48(,)h r t 生生育育模模式式21()()(,)(,)(,)rrf tth r t k r t p r t dr (,)()(,),b r tt h r t 设设21(,)(,)1rrh r th r t dr 其其中中,满满足足21()(,)rrtb r t dr 则则称称为为总总和和生生育育率率.0()p rppprt (,)p r t()f t()t 人口正反馈控制系统示意图人口正反馈控制系统示意图494.人口指数人口指数 502211()1(

37、,)(,)(,)(,)llllL tk r tp r t drk r t p r t dr (5)依赖指数依赖指数 (t)()()()()N tL ttL t 平均每个劳动者要供养的人数平均每个劳动者要供养的人数51二、中国人口区域结构向量模型二、中国人口区域结构向量模型1:城市男性城市男性;2:城市女性城市女性;3:城镇男性城镇男性;4:城镇女性城镇女性;5:乡村男性乡村男性;6:乡村女性乡村女性.下标下标 i=1,2,3,4,5,6,分别表示分别表示 123456(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,)TP r tp r tp r tp r tp r tp r tp r t(,

38、):ip r ttr时时刻刻年年龄龄为为 的的人人口口密密度度(,):ib r ttr时时刻刻年年龄龄为为 的的生生育育率率(,)diag(,)iB r tb r t(,):ir ttr 时时刻刻年年龄龄为为 的的死死亡亡率率(,)diag(,)iM r tr t (,):ig r ttr时时刻刻年年龄龄为为 的的迁迁出出率率(,)diag(,)iG r tg r t(,):ik r tt时时刻刻新新生生婴婴儿儿死死亡亡率率(,)diag(,)iK r tk r t 5200.528000000.47200000000.541000000.45900000000.545000000.455A A:出生人口性别出生人口性别分配矩阵分配矩阵123456000000000000000diag000000000000000iaaaaaaa 其其中中53人口区域结构向量模型人口区域结构向量模型00,0,0,(,0)(),(0,)()(,)(,),(,)0.mmrmPPGM PtrrrtP rP rPtEK AB r t P r t drp rt 其中其中 E是单位矩阵是单位矩阵