第四讲应用MATLAB解决高等代数问题课件.ppt
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- 第四 应用 MATLAB 解决 高等 代数 问题 课件
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1、第四讲:应用第四讲:应用MATLAB解决高等代解决高等代数问题数问题1.1.交换矩阵中的两个行向量的位置;交换矩阵中的两个行向量的位置;2.2.用一个非零数乘以矩阵的某一行向量用一个非零数乘以矩阵的某一行向量3.3.把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵的另一行上的另一行上一、矩阵的初等变换与方程的一、矩阵的初等变换与方程的MATLAB求解求解例:求解线性方程组例:求解线性方程组2212353321321321xxxxxxxxx线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程212112113513A经过初等行变换将矩阵
2、经过初等行变换将矩阵A变为矩阵变为矩阵B 这时矩阵对应的方程组这时矩阵对应的方程组271322332321xxxxxx此方程组的解为此方程组的解为7/107/17/2321xxxA=3-1 5 3;1-1 2 1;1-2-1 2%输入矩阵的数据输入矩阵的数据A(1 3,:)=A(3 1,:)%交换第一行和第三行数据交换第一行和第三行数据A(2,:)=A(2,:)-A(1,:)%将第一行乘以将第一行乘以-1加到第二行加到第二行A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以将第一行乘以-3加到第三行加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:)%将第二行乘以将第二行乘以-5加到
3、第三行加到第三行 方法之一:初等变换法方法之一:初等变换法A=3-1 5 3;1-1 2 1;1-2-1 2%输入矩阵的数据输入矩阵的数据format rat%分数数据格式分数数据格式rref(A)%化简矩阵化简矩阵方法之二:方法之二:Cramer法则法则A=3-1 5;1-1 2;1-2-1%输入矩阵的数据输入矩阵的数据B=3 1 2;%输入线性方程组的常数项输入线性方程组的常数项S=0 0 0;%给解向量赋初值给解向量赋初值for i=1:3%for循环循环C=A;%将矩阵将矩阵A赋给临时矩阵赋给临时矩阵C C(:,i)=B;%将常数项赋给矩阵将常数项赋给矩阵C的第的第i列即求列即求Ai
4、S(i)=det(C)/det(A);%求求xiendformat rat%数据格式说明为分数形式数据格式说明为分数形式S%显示显示S方法之三:利用矩阵的左除方法之三:利用矩阵的左除“”A=3-1 5;1-1 2;1-2-1;b=3 1 2;x=Abx=10/7 -1/7 -2/7 二、线性方程组的解结构二、线性方程组的解结构1。齐次方程组的解结构。齐次方程组的解结构AX=0求解方程过程如下根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为向量形式量提取方程组右端各自由求知量的系数形成的向量组即为基础解系将系数矩阵化为最简行阶梯形矩阵02200432143214321xxxxxxxx
5、xxxx例:解线性方程组:例:解线性方程组:应用应用MATLAB计算过程如下:计算过程如下:A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 2 2%输入矩阵输入矩阵rref(A)%将矩阵化为最简阶梯形矩阵将矩阵化为最简阶梯形矩阵运行结果为:运行结果为:A=1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2ans=1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0由运行结果知化简的等价方程组为:由运行结果知化简的等价方程组为:004321xxxx取取x2,x4为自由求知量,得方程组的解的向量形为自由求知量,得方程组的解的向量形式为式为11000011424321xxxxxx00111所以齐次
6、方程组的通解为所以齐次方程组的通解为2211kkX11002所以基础解系为:所以基础解系为:2.非齐次方程组的解的结构非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下:求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下:1)、写出非次方程组的增广矩阵;)、写出非次方程组的增广矩阵;2)、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵;)、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵;3)、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等,若相等)、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等,若相等则方程组有解,若不相等则方程组无解;则方程组有解,若不相等则方程组无解;4)、写出对应的简化的线性方程组;)、写出对应的简化的线性方程组;5)、确定自由求
7、知量)、确定自由求知量6)、整理方程组为向量形式。)、整理方程组为向量形式。例:求解下列非齐线性方程组例:求解下列非齐线性方程组1227737389222543324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx122773738922254131321A矩阵为解非齐次方程组的增广在在MATLAB中输入的命令如下中输入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 5 2;2 9 8 3;3 7 7 2;b=3;2;7;12;format ratc=A b;rref(c);计算结果如下计算结果如下ans=1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6
8、 0 0 0 0 0 所以简化方程组为:所以简化方程组为:6721326312143241xxxxx所以原线性方程组的通解为:所以原线性方程组的通解为:444324167213263121xxxxxxx06732631121021kX即解为取取x4为自由求知量为自由求知量三、向量组的线性相关性判定三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义:向量组线性相关与线性无关的定义:m,21如果存在如果存在m个不全为零的一组数个不全为零的一组数k1,k2,km使使02211mmkkk成立,则称向量组成立,则称向量组m,21是线性相关的。是线性相关的。m,21如果仅当如果仅当k1=k2=k
9、m=0时时设有设有m个向量个向量1)将给定的)将给定的m个向量组的写成列向量形式,个向量组的写成列向量形式,组成一个组成一个nm阶的矩阵阶的矩阵21mA2.应用应用MATLAB进行向量组的线性相关性的进行向量组的线性相关性的判定步骤:判定步骤:才有上面的等式成立,则称向量组才有上面的等式成立,则称向量组线性无关线性无关2)判定是否存在不全为零的一组数判定是否存在不全为零的一组数k1,k2,km使得使得021222122121111nmmmmnnaaakaaakaaak即判定线性方程组即判定线性方程组000221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa
10、是否有非零解,从而有是否有非零解,从而有02211mmkkk这说明向量组线性相关。如果方程组只有零这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解,则说明该向量组线性无关。解,则说明该向量组线性无关。3)用命令)用命令rref将矩阵将矩阵A化为最简行阶梯形矩阵;化为最简行阶梯形矩阵;4)观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的)观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目数目是否小于向量组全部向量数目m,若小于若小于m则向量组线性相关;否则线性无关。则向量组线性相关;否则线性无关。例例 判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性1)、a1=4 3 1 1 1,a2=2 1 3
11、2 5 a3=1 3 0 1 2,a4=1 5 2 1 62)a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77(北京大学数学力学系高等代数北京大学数学力学系高等代数p151 16-4)解:解:1)先在先在MATLAB中将上面四个向量以中将上面四个向量以行向量数据形式输入,再转置为列向量组行向量数据形式输入,再转置为列向量组成的矩阵,然后用成的矩阵,然后用rref命令将其化为最简命令将其化为最简行阶梯形矩阵,命令如下行阶梯形矩阵,命令如下A=4 3-1 1-1;2 1-3 2-5;1-3 0 1-2;1 5 2
12、-1 6A=Arref(A)ans=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0最简行阶梯形矩阵的变量名为最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为它的不全为零为行向量数为零为行向量数为4,而向量组中向量数也是,而向量组中向量数也是4,所所以向量组是线性无关的。以向量组是线性无关的。a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77A=a1;a2;a3;a4;a5rref(A)2)可以应用矩阵拼接命令可以应用矩阵拼接命令得非零行数为得非零行数为3,所以该向量组线性相关。,所以
13、该向量组线性相关。ans=1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0四、向量组的最大无关组四、向量组的最大无关组1.极大无关组的定义:对于一个相关向量组极大无关组的定义:对于一个相关向量组T中最多有多少个向量是线性无关的,这就中最多有多少个向量是线性无关的,这就是极大无关组,是极大无关组,即一向量组的一个部分组本身是线性无关即一向量组的一个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添加一个向量的,并且从这向量组中任意添加一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关的。线性相关的。2.秩的定义:
14、极大线性无关组所含向量个数秩的定义:极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。称为向量组的秩。3.应用应用MATLAB求向量组的极大无关组的方法求向量组的极大无关组的方法借助向量组线性相关性分析的方法,可得求向量组借助向量组线性相关性分析的方法,可得求向量组m,21的极大无关组的步骤如下:的极大无关组的步骤如下:1).将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵A=a1 a2am2).把矩阵把矩阵A化为最简行阶形矩阵化为最简行阶形矩阵3).确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目r(即向量组(即向量组T的秩),在最简行阶梯形矩阵中寻
15、的秩),在最简行阶梯形矩阵中寻找找r个无关的列向量个无关的列向量r21,4).根据根据r21,所在位置确定矩阵所在位置确定矩阵A中列向量位置即得中列向量位置即得T的极大无关组的极大无关组在最简行阶梯形矩阵中寻找在最简行阶梯形矩阵中寻找r个线性无关的列向量个线性无关的列向量r21,时,只须在仅有一个非零元素的列向量中时,只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找,非零元素不在同一位置的这类向量是线寻找,非零元素不在同一位置的这类向量是线性无关的。性无关的。例:求下列向量组的秩和一个极大无关例:求下列向量组的秩和一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表出组并将其余向量用极大无关组线性表出1)a1=1
16、 2 1 3;a2=4-1-5-6;a3=1-3-4-7;a4=2-1 1 0;A=a1;a2;a3;a42)a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;解:解:1)输入向量及命令如下)输入向量及命令如下a1=1 2 1 3;a2=4-1-5-6;a3=1-3-4-7;a4=2-1 1 0;A=a1;a2;a3;a4A=Arref(A)北大高等代数北大高等代数P151 9-2得简化的行阶梯形矩阵为得简化的行阶梯形矩阵为ans=1 0 -11/9 0 0 1 5/9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 最简矩阵中的有三个不全
17、为零的行向量,所以最简矩阵中的有三个不全为零的行向量,所以向量组的秩为向量组的秩为3,显然第一列、第二列、第四,显然第一列、第二列、第四列线性无关,所以对应于原向量一个极大无关列线性无关,所以对应于原向量一个极大无关组为组为a1,a2 a4,最简矩阵中第三列向量有两,最简矩阵中第三列向量有两个非零元素个非零元素-11/9,5/9,它们是方程组,它们是方程组32211 xx的解(的解(x1=-11/9,x2=5/9),也是方程组,也是方程组32211 xx的解,所以的解,所以421,线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组342130959112)输入向量及命令如下:)输入向量及命令如下:a1=
18、1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;A=a1 a2 a3 a4 a5rref(A)得最简行阶梯形矩阵得最简行阶梯形矩阵ans=1 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 由此可知向量组的秩为由此可知向量组的秩为3,第,第1列,第列,第2列,列,第第4列的向量是线性无关的,所以列的向量是线性无关的,所以a1,a2,a4是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两个非零元素个非零元素3,1,它们是方程组,它们是方程组32211 xx的解(的解(x1=3,x2
19、=1),也是方程组,也是方程组32211 xx的解,所以的解,所以421,线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组3421303最简矩阵中第五列向量有三个非零元素最简矩阵中第五列向量有三个非零元素1,1,1,它们是方程组它们是方程组5442211xxx的解的解(x1=1,x2=1,x4=1),也是方程组,也是方程组的解,所以的解,所以5线性表出线性表出被最大无关组被最大无关组4215421,5442211xxx注意:两个例子中输入的向量和命令有所不同,请同学们思考为什么?五五.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量设设A是是n阶方阵,阶方阵
20、,k是一个数,如果存在一非是一个数,如果存在一非零的列向量零的列向量X使得使得AX=kX成立,则称数成立,则称数k为为A的征值,非零列向量的征值,非零列向量X称为方阵称为方阵A的属于特征的属于特征值值K的一个特征向量。的一个特征向量。用用MATLAB的命令的命令 eig可以求出矩阵可以求出矩阵A的特的特征值和特征向量的方法有两种征值和特征向量的方法有两种法一)只求法一)只求A的特征值命令为的特征值命令为eig(A)法二)同时求出特征值和特征向量用命令法二)同时求出特征值和特征向量用命令p d=eig(A)例求方阵例求方阵304060403A特征值和特征向量。特征值和特征向量。解:先输入矩阵的数
21、据,然后用解:先输入矩阵的数据,然后用eig的两的两种使用方法求解,命令如下种使用方法求解,命令如下A=3 0 4;0 6 0;4 0 3;eig(A)p d=eig(A)第一个命令第一个命令eig(A)的结果为的结果为ans=-1 6 7p=0.7071 0 0.7071 0 -1.0000 0 -0.7071 0 0.7071d=-1 0 0 0 6 0 0 0 7命令命令p d=eig(A)计算结果为计算结果为北京大学高等代数北京大学高等代数求矩阵求矩阵122212221A应用应用eig(A)得得ans=-1 -1 5 应用应用p d=eig(A)结果为结果为p=2131/3543 70
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