(高三数学一轮复习)由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题课件.ppt
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1、由递推公式求通项的由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的种方法及破解数列中的3类探索性问题类探索性问题 一、由递推公式求通项的一、由递推公式求通项的7种方法种方法 1、an1anf(n)型型 把原递推公式转化为把原递推公式转化为an1a nf(n),再利用累加法,再利用累加法(逐差相加法逐差相加法)求解,即求解,即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n 1)例例3已知数列已知数列an中,中,a11,an12an3,求,求an.解解设递推公式设递推公式an12an3可以转化为可以转化为an1t2(ant),即,即an12ant,则,则t3.故递推公式为
2、故递推公式为an132(an3)5、an1pananb(p1,p0,a0)型型 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较,解出,与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为从而转化为anxny是公比为是公比为p的等比数列的等比数列 例例5设数列设数列an满足满足a14,an3an12n1(n2),求求an.6、an1pa(p0,an0)型型 这种类型一般是等式两边取对数后转化为这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq型数列,再利用待定系数法求解型数列,再利用待定系数法求解 二、破解数列中的
3、二、破解数列中的3类探索性问题类探索性问题 1条件探索性问题条件探索性问题 此类问题的基本特征是:针对一个结论,条件未知需探此类问题的基本特征是:针对一个结论,条件未知需探求,或条件增删需确定,或条件正误需判定,解决此类问题求,或条件增删需确定,或条件正误需判定,解决此类问题的基本策略是:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再的基本策略是:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或认证找到结论成立的充分条件,在通过检验或认证找到结论成立的充分条件,在“执果索因执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件
4、当作充分条件,应引起注意否,误将必要条件当作充分条件,应引起注意 例例1已知数列已知数列an中,中,a12,a23,其前,其前n项和项和Sn满足满足Sn2Sn2Sn11(nN*);数列;数列bn中,中,b1a1,bn14bn6(nN*)(1)求数列求数列an,bn的通项公式;的通项公式;(2)设设cnbn2(1)n12an(为非零整数,为非零整数,nN*),试,试确定确定的值,使得对任意的值,使得对任意nN*,都有,都有cn1cn成立成立 思路点拨思路点拨处理第处理第(2)问中的问中的cn1cn恒成立问题,可通过恒成立问题,可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题,再来研究所构造的函构造函数将
5、问题转化为函数的最值问题,再来研究所构造的函数的最值数的最值 解解(1)由已知得由已知得Sn2Sn1(Sn1Sn)1,所以所以an2an11(n1)又又a2a11,所以数列所以数列an是以是以a12为首项,为首项,1为公差的等差数列为公差的等差数列 所以所以ann1.因为因为bn14bn6,即,即bn124(bn2),又,又b12a124,所以数列所以数列b22是以是以4为公比,为公比,4为首项的等比数列为首项的等比数列 所以所以bn4n2.(2)因为因为ann1,bn4n2,所以所以cn4n(1)n12n1.要使要使cn1cn成立,成立,需需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n1
6、0恒恒成立,成立,化简得化简得34n3(1)n12n10恒成立,恒成立,即即(1)n12n1恒成立,恒成立,当当n为奇数时,即为奇数时,即2n1恒成立,当且仅当恒成立,当且仅当n1时,时,2n1有最小值有最小值1,所以,所以2n1恒成立,当且仅当恒成立,当且仅当n2时,时,2n1有最大值有最大值2,所以,所以2,即,即2cn成立成立 点评点评对于数列问题,一般要先求出数列的通项,不对于数列问题,一般要先求出数列的通项,不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇到到Sn要注意利用要注意利用Sn与与an的关系将其转化为的关系将其转化为an
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