第二章一元函数微分学及其应用课件.ppt
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- 第二 一元函数 微分学 及其 应用 课件
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1、第二章 一元函数微分学及其应用第一节第一节 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分第二节第二节 导数的应用导数的应用第一节 一元函数的导数与微分一、导数的定义一、导数的定义二、求导法则和基本求导公式二、求导法则和基本求导公式三、函数的微分三、函数的微分1.导数的定义导数的定义 引例引例一、导数的定义 M,N为曲线为曲线C上不同点,作割线上不同点,作割线MN当点当点N沿曲线沿曲线C趋于点趋于点M时,如果割线时,如果割线MN绕点绕点M旋旋转而趋于极限位置转而趋于极限位置M,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的切线处的切线 T0 xxoxy)(xfy CNM极限位置即极限位置即.0,0
2、 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 导数的概念导数的概念,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处
3、取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy
4、 关于导数的说明:关于导数的说明:2.左、右导数左、右导数3.可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)
5、()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即4.求导举例求导举例例例2 2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(
6、lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee oxy)(xfy T0 xM几何意义:几何意义:)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 5.导数的几何意义导数的几何意义定理定
7、理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、求导法则和基本求导公式求导法则和基本求导公式1.导数的运算法则导数的运算法则例例1 1.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22secc
8、os1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2.反函数的求导法则反函数的求导法则11()()0,(),1().()yxxyIyyxIxy如果函数在某区间 内单调、可导且那么它的反函数在对应区间内也可导 且有即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3.基本初等函数的求导法则基本初等函数的求导法则xxxxxxxCtansec)(secsec)(t
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