《211合情推理》课件3优质公开课人教B版选修12.ppt

1、第二章推理与证明第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1合情推理合情推理在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉地根据一在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉地根据一个或几个已知事实得出一个判断个或几个已知事实得出一个判断.当我们看到天空乌当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时，会得到即云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时，会得到即将下雨的判断将下雨的判断.这种思维方式就是这种思维方式就是推理推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实，叫做知的事实，叫做前提前提；一部分是由已知判断推出的；一部分是由已知

2、判断推出的新的判断，叫做新的判断，叫做结论结论.推理一般分为合情推理与演绎推理推理一般分为合情推理与演绎推理.问题问题引航引航1.归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？2.类比推理的含义是什么？有怎样的特征？类比推理的含义是什么？有怎样的特征？3.合情推理的含义是什么？合情推理的含义是什么？1.归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理定定义义由某类事物的由某类事物的_具具有某些特征，推出该类事物有某些特征，推出该类事物的的_都具有这些特都具有这些特征的推理，或者由征的推理，或者由_概括出一般结论的推理，称概括出一般结论的推理，称为归

3、纳推理为归纳推理(简称简称_)由两类对象具有由两类对象具有_和其中一类对象的和其中一类对象的_，推出另一，推出另一类对象也具有类对象也具有_的的推理称为类比推理推理称为类比推理(简称简称_)特特征征归纳推理是由归纳推理是由_到到_、由由_到到_的推理的推理类比推理是由类比推理是由_到到_的推理的推理部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实归纳归纳某些类似某些类似特征特征某些已知特征某些已知特征这些特征这些特征类比类比部分部分整体整体个别个别一般一般特殊特殊特殊特殊2.合情推理合情推理含含义义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、比较

4、、比较、_，再进行，再进行_、_，然后提出，然后提出_的推理的推理.我们把它们统称为合情推理我们把它们统称为合情推理.通俗地说，合通俗地说，合情推理是指情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理过过程程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比 提出提出_观察观察分析分析联想联想归纳归纳类比类比猜想猜想猜想猜想1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理估计属于类比推理.()(2)类比推理得到的结

5、论可以作为定理应用类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)归纳推理是由个别到一般的推理归纳推理是由个别到一般的推理.()【解析解析】(1)错误错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理理.(2)错误错误.类比推理不一定正确类比推理不一定正确.(3)正确正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.答案答案:(1)(2)(3)2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)已知数列已知数列 an 中，中，a1=1，an+1=(nN*)，则可归纳猜想，则可归纳猜想 an 的通

6、项公式为的通项公式为.(2)数列数列5，9，17，33，x，中的中的x等于等于.(3)等差数列等差数列 an 中有中有2an=an-1+an+1(n2且且nN*)，类比以上结，类比以上结论，在等比数列论，在等比数列 bn 中类似的结论是中类似的结论是.nn2a2a【解析解析】2.(.(1)由条件可知由条件可知答案答案:(2)5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，猜想，猜想x=26+1=65.答案答案:65(3)类比等差数列，可以类比出结论类比等差数列，可以类比出结论 =bn-1bn+1(n2且且nN*).).答案答案:=bn-1bn+1(n2且且nN*)1231222a2

7、23a,a,22a34234n22224aa(nN*).25n124，由此可猜测n2a(nN*)n12nb2nb【要点探究要点探究】知识点知识点1 归纳推理归纳推理归纳推理的四个特点归纳推理的四个特点(1)前提前提:几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围一般现象，该结论超越了前提所包括的范围.(2)结论结论:具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)步

8、骤步骤:先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行和试验的基础上进行.(4)作用作用:具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段获得新结论，是科学发现的重要手段.【微思考微思考】你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？提示提示:其思维过程为其思维过程为:实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般

9、性结猜测一般性结论论.【即时练即时练】1.(.(2014太原高二检测太原高二检测)用火柴棒摆用火柴棒摆“金鱼金鱼”，如图所示，如图所示:按照上面的规律，第按照上面的规律，第n个个“金鱼金鱼”图需要火柴棒的根数为图需要火柴棒的根数为()A.6n-2 B.8n-2C.6n+2 D.8n+22.根据归纳推理，数列根据归纳推理，数列 ，括号中应该填括号中应该填.2,5,2 2,(),14,17,【解析解析】1.选选C.由图形的变化规律可以看出，后一个图形比由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为根火柴棒，第一个图形为8根，根，可以写成可以写成a1=8=6+

10、2.又又a2=14=62+2，a3=20=63+2，所以，所以可以猜测，第可以猜测，第n个个“金鱼金鱼”图需要火柴棒的根数为图需要火柴棒的根数为6n+2.2.因为因为2=31-1，5=32-1，8=33-1，14=35-1，17=36-1，由此归纳，由此归纳an=3n-1，故，故a4=34-1=11，所以应填，所以应填 .答案答案:1111知识点知识点2 类比推理类比推理类比推理的三个特点类比推理的三个特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠的事物的特征，所以类比

11、推理的结果具有猜测性，不一定可靠.(2)类比在数学发现中具有重要作用类比在数学发现中具有重要作用.例如，通过空间与平面、向量例如，通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研究的问题及其与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研究的问题及其研究方法研究方法.(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征面的类似特征.【知识拓展知识拓展】类比推理的基本逻辑形式及适用前提类比推理

12、的基本逻辑形式及适用前提(1)类比推理的基本逻辑形式类比推理的基本逻辑形式A类事物具有性质类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质类事物具有性质a，b，c所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.(.(a，b，c，d与与a，b，c，d相似相似或相同或相同)(2)类比推理的适用前提类比推理的适用前提两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性断另一类对象也可能具有的特性.运用类比推理常常先寻

13、找合适的类比对象运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.【微思考微思考】类比推理和归纳推理有何本质的不同？类比推理和归纳推理有何本质的不同？提示提示:类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理整体，由个别到一般的推理.【即时练即时练】类比平面内正三角形的类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等三边相等，三内角相等”的性质，可推的性质，可推知正四面体的性质，下列性质中，你认为可类比得到的是知正四面体的性质，下列性质中，你认为可类比得到的是.各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；各棱长相等，同一顶点上的任两条棱

14、的夹角相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等都相等.【解析解析】由正三角形与正四面体的相似性可知都可以类由正三角形与正四面体的相似性可知都可以类比得到比得到.答案答案:【题型示范题型示范】类型一类型一 归纳推理归纳推理【典例典例1】(1)()(2013陕西高考陕西高考)观察下列等式观察下列等式:(1+1)=21(2+1)()(2+2)=2213(3+1)()(3+2)()(3+3)=23135照此规律，第照

15、此规律，第n个等式可为个等式可为.(2)根据下图中线段的排列规则，试猜想第根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条个图形中线段的条数为数为.(3)已知数列已知数列 an 的前的前n项和为项和为Sn，a1=-，且，且Sn+2=an(n2)，计算计算S1，S2，S3，S4并猜想并猜想Sn的表达式的表达式.23n1S【解题探究解题探究】1.题题(1)中第中第n个等式等号左侧共多少项相乘？等个等式等号左侧共多少项相乘？等号右边的数有何特点？号右边的数有何特点？2.题题(2)中相邻的两个图形之间有何联系？中相邻的两个图形之间有何联系？3.题题(3)中中n2时时an与与Sn及及Sn-1的关系是

16、什么？怎样求的关系是什么？怎样求Sn的值的值.【探究提示探究提示】1.题题(1)左侧共有左侧共有n项相乘，等号右边分为两部分项相乘，等号右边分为两部分:一部分为一部分为2n，另一部分为，另一部分为1，3，5，的乘积的乘积.2.题题(2)中第中第n+1个图形比第个图形比第n个图形多个图形多2n+1条线段条线段.3.题题(3)中中n2时时an=Sn-Sn-1，利用，利用an=Sn-Sn-1来化简递推关系，来化简递推关系，然后求解然后求解.【自主解答自主解答】(1)观察规律可知，左边为观察规律可知，左边为n项的乘积，最小项和项的乘积，最小项和最大项依次为最大项依次为(n+1)，(n+n)，右边为连续

17、奇数之积乘以，右边为连续奇数之积乘以2n，则，则第第n个等式为个等式为:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).).答案答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1)(2)分别求出前分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到中线段的条数分别为图形到中线段的条数分别为1，5，13，29，因为，因为1=22-3，5=23-3，13=24-3，29=25-3，因此可猜想第，因此可猜想第8个图形中线段的条个图形中线段的条数应为数应为28+1-3=509.答案答案:509(3)因为因为Sn+2=an

18、(n2)，所以所以Sn+2=Sn-Sn-1(n2)，所以所以 =-2-Sn-1(n2).).当当n=1时，时，S1=a1=-；当当n=2时，时，=-2-a1=-，所以所以S2=-；n1Sn1Sn1S2321S4334当当n=3时，时，所以所以S3=当当n=4时，时，=-2-S3=所以所以S4=由此猜想由此猜想Sn=23152S,S4 4;541S6,55.6n1.n2【方法技巧方法技巧】1.由已知数式进行归纳推理的方法由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式要特别注意所给几个等式(或不等式或不等式)中项数和次数等方面的中项数和次数等方面的变化规律变化规律.(2)要特别注意所给几

19、个等式要特别注意所给几个等式(或不等式或不等式)中结构形式的特征中结构形式的特征.(3)提炼出等式提炼出等式(或不等式或不等式)的综合特点的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理归纳推理.解答该类问题的一般策略是：解答该类问题的一般策略是：【变式训练变式训练】1.(.(2014陕西高考陕西高

20、考)观察分析下表中的数据：观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是所满足的等式是_.多面体多面体 面数面数(F)顶点数顶点数(V)棱数棱数(E)三棱柱三棱柱 569五棱锥五棱锥 6610立方体立方体 68122.根据如图的根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈个图形有多少个圆圈.【解析解析】1.因为因为5+6-9=2，6+6-10=2，6+8-12=2，所以所以V+F-E=2.答案：答案：V+F-E=22.方法一方法一:图图(1)中的圆圈数为中的圆圈数为12-0，图，图(

21、2)中的圆圈数为中的圆圈数为22-1，图图(3)中的圆圈数为中的圆圈数为32-2，图，图(4)中的圆圈数为中的圆圈数为42-3，图，图(5)中的中的圆圈数为圆圈数为52-4，故猜测第故猜测第n个图形中的圆圈数为个图形中的圆圈数为n2-(-(n-1)=n2-n+1.方法二方法二:第第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有向，共有2(2-1)+)+1个圆圈；个圆圈；第第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有方向有两个圆圈，共有3(3-1)+)+1个圆圈

22、；个圆圈；第第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有方向有三个圆圈，共有4(4-1)+)+1个圆圈；个圆圈；第第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有方向有四个圆圈，共有5(5-1)+)+1个圆圈；个圆圈；由上述的变化规律，可猜测第由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向圆圈指向n个方向，每个方向有个方向，每个方向有(n-1)个圆圈，因此共有个圆圈，因此共有n(n-1)

23、+)+1=(n2-n+1)个圆圈个圆圈.【补偿训练补偿训练】已知数列已知数列 an 满足满足a1=1，an+1=2an+1(n=1，2，3，).).(1)求求a2，a3，a4，a5.(2)归纳猜想通项公式归纳猜想通项公式an.【解析解析】(1)当当n=1时，知时，知a1=1，由由an+1=2an+1得得a2=3，a3=7，a4=15，a5=31.(2)由由a1=1=21-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1.可以归纳猜想出可以归纳猜想出an=2n-1(nN*).).类型二类型二 类比推理类比推理【典例典例2】(1)在公比为在公比为4的等比数列的

24、等比数列 bn 中，若中，若Tn是数列是数列 bn 的前的前n项积，项积，则有，则有，也成等比数列，且公比为，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，；类比上述结论，相应地，在公差为相应地，在公差为3的等差数列的等差数列 an 中，若中，若Sn是是 an 的前的前n项和项和.可类比得到的结论是可类比得到的结论是.203040102030TTT,TTT(2)在在RtABC中，中，ABAC，ADBC于于D，求证，求证:那么在四面体那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由并说明理由.222111ADABAC，【解题探究解题探究】

25、1.题题(1)中等比数列的商在等差数列中类比什么？中等比数列的商在等差数列中类比什么？2.题题(2)中中 中的三条线段有什么特点？中的三条线段有什么特点？【探究提示探究提示】1.类比等差数列中的差类比等差数列中的差.2.AD，AB，AC这三条线段都出自同一顶点这三条线段都出自同一顶点A，且，且AD为三角形为三角形的高的高.AB，AC为共顶点的两直角边为共顶点的两直角边.222111ADABAC【自主解答自主解答】(1)因为等差数列因为等差数列 an 的公差的公差d=3，所以所以(S30-S20)-()-(S20-S10)=(a21+a22+a30)-()-(a11+a12+a20)=100d=

26、300，同理可得同理可得:(S40-S30)-()-(S30-S20)=300，所以数列所以数列S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为300.即结论为即结论为:数列数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为也是等差数列，且公差为300.答案答案:数列数列S20-S10，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为也是等差数列，且公差为3001010d10d10d 个(2)如图所示，由射影定理得如图所示，由射影定理得AD2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=CDBC，所以所以又又BC2=AB2+AC2，所以所

27、以类比猜想：类比猜想：四面体四面体ABCD中，中，AB，AC，AD两两垂直，两两垂直，AE平面平面BCD，则则211ADBD DC2222BCBC.BC BC BD DCAB AC222111.ADABAC22221111.AEABACAD如图，连接如图，连接BE交交CD于于F，连接，连接AF，因为因为ABAC，ABAD，ACAD=A，所以所以AB平面平面ACD，而而AF平面平面ACD，所以，所以ABAF，在在RtAEF中，中，AEBF，所以所以易知在易知在RtACD中，中，AFCD，所以所以所以所以 猜想正确猜想正确.222111AEABAF222111AFACAD，22221111AEAB

28、ACAD，【延伸探究延伸探究】题题(1)条件不变，试写出一个更为一般的结论条件不变，试写出一个更为一般的结论(不不必证明必证明).).【解析解析】对于任意对于任意kN*，都有数列，都有数列S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k是是等差数列，且公差为等差数列，且公差为k2d.【方法技巧方法技巧】运用类比推理的一般步骤运用类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论的结论.如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性如果类比的两

29、类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么由类比得出的结论就越可靠质之间越相关，那么由类比得出的结论就越可靠.事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互联系，相事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互联系，相互制约的，如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么它们互制约的，如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么它们在另一些性质上也可能相同或相似，因而类比的结论可能是真在另一些性质上也可能相同或相似，因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性的，类比也可能具有必然性.类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假.【变式训练变式训练】已

30、知已知O是是ABC内任意一点，连接内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于并延长，分别交对边于A，B，C，则，则这是一道平面几何题，其证明常采用这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法面积法”，即，即请运用类比推理，猜想对空间四面体请运用类比推理，猜想对空间四面体VBCD存在什么类似的结存在什么类似的结论，并用论，并用“体积法体积法”证明其正确性证明其正确性.OAOBOC1AABBCC，OBCOACOABABCABCABCABCABCSSSSOAOBOC1.AABBCCSSSS【解题指南解题指南】将边长的比扩展为面积的比，将面积的比扩展为将边长的比扩展为面积的比，将面积的比扩展为体

31、积的比，得到一个类似的结论并证明体积的比，得到一个类似的结论并证明.【解析解析】如图所示，如图所示，在四面体在四面体VBCD内，任取一点内，任取一点O，连接连接VO，DO，BO，CO并延长，并延长，分别交四个面于点分别交四个面于点E，F，G，H，则则OEOFOGOH1.VEDFBGCH证明如下：在四面体证明如下：在四面体OBCD与四面体与四面体VBCD中，中，设点设点O到平面到平面BCD的距离为的距离为h1，点，点V到平面到平面BCD的距离为的距离为h，BCD1OBCD1VBCDBCDOVBCOVCDOVBDVBCDVBCDVBCDOBCDOVBCOVCDOVBDVBCDVBCDVBCD1Sh

32、VhOE3,1VEhVSh3VVVOFOGOH,DFVBGVCHVOEOFOGOHVEDFBGCHVVVVV1.VV则同理可得所以【补偿训练补偿训练】如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥S-ABC中，中，SASB，SBSC，SASC，且，且SA，SB，SC和底和底面面ABC所成的角分别为所成的角分别为1，2，3，三侧面，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想.【解析解析】在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦的比相等，即相等，即

33、类比三角形，我们可以猜想类比三角形，我们可以猜想在三棱锥中，各侧面的面积和它所对角的正弦的比相等，在三棱锥中，各侧面的面积和它所对角的正弦的比相等，即即abcsin Asin Bsin C，312123SSS.sin sin sin【易错误区易错误区】对归纳推理的特征掌握不准而致误对归纳推理的特征掌握不准而致误【典例典例】对任意正整数对任意正整数n，猜想，猜想2n与与n2的大小关系是的大小关系是.【解析解析】当当n=1时，时，2112；当当n=2时，时，22=22；当当n=3时，时，2352；当当n=6时时，2662，所以可以猜想所以可以猜想:当当n=3时，时，2nn2；当当nN*且且n3时，时，2nn2.答案答案:当当n=3时，时，2nn2n=2时时2n=n2n3时时2nn2只列举了只列举了n=1，2，3的情况，忽视阴影的情况，忽视阴影处，由此得到的猜想不一定准确处，由此得到的猜想不一定准确【防范措施防范措施】防止以偏概全防止以偏概全在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，要对所在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合，从而得到更加全面、科学、归纳的命题加以分析、归纳、综合，从而得到更加全面、科学、正确的猜想，如本例中，要注意猜想正确的猜想，如本例中，要注意猜想n=3，n=2和和4及及n2，3，4的所有情况的所有情况.