22三角形中的几何计算2课件(高中数学必修五北师大版).ppt

1、1.1.用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些三角形几用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些三角形几何计算问题何计算问题.(.(重点重点)2.2.在理解题意的基础上将实际问题数学化在理解题意的基础上将实际问题数学化.(.(难点难点)3.3.利用正、余弦定理进行边角互化及正、余弦定理与有关利用正、余弦定理进行边角互化及正、余弦定理与有关性质的综合应用是本节课的难点性质的综合应用是本节课的难点.（难点、易混点）（难点、易混点）一、正、余弦定理可解决的问题一、正、余弦定理可解决的问题1.1.正弦定理可解决的两类问题：正弦定理可解决的两类问题：（1 1）已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形）已

2、知三角形的两边及其中一边的对角解三角形.（2 2）已知三角形的两角和任一边解三角形）已知三角形的两角和任一边解三角形.2.2.余弦定理可解决的两类问题：余弦定理可解决的两类问题：（1 1）已知三角形的两边和它们的夹角解三角形）已知三角形的两边和它们的夹角解三角形.（2 2）已知三角形的三边解三角形）已知三角形的三边解三角形.已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形，能已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形，能用余弦定理解决吗？用余弦定理解决吗？提示：提示：可行可行.例如在例如在ABCABC中，已知中，已知a,ba,b和和A A解三角形，可以解三角形，可以根据余弦定理得根据余弦定理得a a2

3、2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA列出关于列出关于c c的一元二次方的一元二次方程求程求c.c.关于三角形中的几何计算：关于三角形中的几何计算：三角形中几何计算问题，主要是利用正、余弦定理求三角三角形中几何计算问题，主要是利用正、余弦定理求三角形的边长、面积、角度等问题，正弦定理和余弦定理的应形的边长、面积、角度等问题，正弦定理和余弦定理的应用并不是孤立的，解题时要根据题目条件合理选用，有时用并不是孤立的，解题时要根据题目条件合理选用，有时还要交替使用，三角形中的几何计算问题有时还要和三角还要交替使用，三角形中的几何计算问题有时还要和三角函数联系起来函数联系起来.二

4、、三角形面积公式二、三角形面积公式1.S=(h1.S=(ha a、h hb b、h hc c分别表示分别表示a a、b b、c c边上边上的高的高)2.S=absinC=bcsinA=acsinB2.S=absinC=bcsinA=acsinB3.S=r(a+b+c)3.S=r(a+b+c)（r r为内切圆半径）为内切圆半径）4.S=4.S=（p=p=为三角形的半周长）为三角形的半周长）abc111a hb hc h22212121212p papb(pc)abc2 三角形中与长度有关的问题三角形中与长度有关的问题 三角形中与长度有关的问题的求解思路三角形中与长度有关的问题的求解思路解决三角形

5、中与长度有关的问题，若在一个三角形中，则解决三角形中与长度有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解定理求解.方程思想是求解长度问题常用的思想方法方程思想是求解长度问题常用的思想方法.【例例1 1】在在ABCABC中，中，AB=5AB=5，AC=4AC=4，D D为为BCBC中点，且中点，且AD=4AD=4，求，求BCBC边长边长.【审题指导审题指导】设设BCBC边长为边长为x x，因为，因为D D

6、为为BCBC中点，则中点，则BDBD、DCDC可可表示为表示为 ，利用余弦定理建立关于，利用余弦定理建立关于x x的方程，然后再利用互的方程，然后再利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程求解补角的余弦互为相反数这一性质建立方程求解.x2【规范解答规范解答】设设BCBC边长为边长为x x，则由，则由D D为为BCBC中点，可得中点，可得BD=DC=BD=DC=，在在ADBADB中，中，cosADB=cosADB=在在ADCADC中，中，cosADC=cosADC=x2222222x45ADBDAB2.x2AD BD2 42（）222222x44ADDCAC2x2AD DC2 42（）又又AD

7、BADBADC=180ADC=180cosADB=coscosADB=cos（180180-ADC-ADC）=-cosADC.=-cosADC.解得，解得，x=x=所以，所以，BCBC边长为边长为 .222222xx454422xx2 42 422 （）（）3 23 2【互动探究互动探究】在本例中，若把条件在本例中，若把条件ACAC4 4改为改为BDBD2,2,其他条其他条件不变，求件不变，求ACAC边长边长.【解析解析】由题意可得由题意可得cosADB=cosADB=又又ADB+ADCADB+ADC,cosADC=-cosADB=,cosADC=-cosADB=,222BDADAB4 162

8、52BD AD2 2 4 5,16 516根据余弦定理得根据余弦定理得ACAC2 2ADAD2 2+DC+DC2 2-2AD-2ADDCcosADCDCcosADC=16+4-2=16+4-24 42 2=15,=15,AC=.AC=.51615 三角形中与面积有关的问题三角形中与面积有关的问题 三角形面积公式的应用三角形面积公式的应用（1 1）三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求，）三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求，或三角形中哪个角的正弦值可求或三角形中哪个角的正弦值可求.（2 2）在解决三角形问题时，面积公式）在解决三角形问题时，面积公式S=absinC=S=absin

9、C=acsinB=bcsinA acsinB=bcsinA最常用，因为公式中既有角又有边，容最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来易和正弦定理、余弦定理联系起来.121212 解题时要准确把握条件，合理选择面积公式解题时要准确把握条件，合理选择面积公式.【例例2 2】在在ABCABC中，已知中，已知tanB=,cosC=,AC=tanB=,cosC=,AC=，求，求ABCABC的面积的面积.【审题指导审题指导】本题可利用正弦定理和三角公式进行恒等变本题可利用正弦定理和三角公式进行恒等变换求换求c c、A A，再利用三角形面积公式，再利用三角形面积公式S SABCABC

10、=bcsinA=bcsinA求解求解.3133 612【规范解答规范解答】设设ABAB、BCBC、CACA的长分别为的长分别为c c、a a、b b，由由tanB=,tanB=,得得B=60B=60,sinB=,cosB=.,sinB=,cosB=.又又sinC=,sinC=,应用正弦定理应用正弦定理sinA=sinsinA=sin（B+CB+C）=sinBcosC+cosBsinC.=sinBcosC+cosBsinC.故所求面积故所求面积S SABCABC=3321222 21 cos C32 23 6bsinC3c8.sinB321bcsinA6 28 3.23112 232 2.232

11、36【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中，a=2,C=a=2,C=，求求ABCABC的面积的面积S.S.【解析解析】由题意，得由题意，得cosB=2coscosB=2cos2 2B B为锐角，为锐角，sinB=sinB=sinA=sinsinA=sin（B+CB+C）=sinBcos +cosBsin =sinBcos +cosBsin =由正弦定理得由正弦定理得c=c=S=S=4B2 5cos25，B3125，45，447 2,10asinC10,sinA7111048acsinB2.22757 三角形中的综合问题三角形中的综合问题 解三角形综合问题的方法解三角形综合问题的方法（1 1

12、）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起.（2 2）此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理，三角）此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理，三角形面积公式为工具综合考查，解题时要正确形面积公式为工具综合考查，解题时要正确“翻译翻译”题目题目条件，选择合适的公式或定理条件，选择合适的公式或定理.【例例3 3】在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，设设S S为为ABCABC的面积，满足的

13、面积，满足S S (a(a2 2+b+b2 2-c-c2 2).).（1 1）求角）求角C C的大小；的大小；（2 2）求）求sinA+sinBsinA+sinB的最大值的最大值.【审题指导审题指导】利用面积公式求角利用面积公式求角C C，再利用三角形的内角和，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式化简求最大值定理和两角和的正弦公式化简求最大值.34【规范解答规范解答】（1 1）由题意可知）由题意可知 2abcosC.2abcosC.所以所以tanC=,tanC=,因为因为0 0C C,所以所以C C .(2)(2)由已知由已知sinA+sinBsinA+sinB=sinA+sin(-A-

14、)=sinA+sin(-A)=sinA+sin(-A-)=sinA+sin(-A)=sinA+=sinA+=sin(A+)(0=sin(A+)(0A A )当当A A 时，即时，即ABCABC为等边三角形时取等号为等边三角形时取等号所以所以sinA+sinBsinA+sinB的最大值为的最大值为 .13absinC24333232331cosAsinA2236333【变式训练变式训练】ABCABC中，中，D D为边为边BCBC上的一点，上的一点，BD=33BD=33，sinB=sinB=，cosADC=cosADC=，求，求AD.AD.【解题提示解题提示】由已知可得由已知可得cosBcosB，

15、利用两角差的正弦，利用两角差的正弦公式可得公式可得sinBAD.sinBAD.在在ABDABD中用正弦定理求中用正弦定理求AD.AD.51335【解析解析】由由cosADC=0cosADC=0知，知，B .B .由已知得由已知得cosB=,sinADC=.cosB=,sinADC=.从而从而sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinBsinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=由正弦定理得由正弦定理得所以所以AD=25.AD=25.3521213454123533.51351365ADBD,sinBsin BAD533BD

16、sinB1333sin BAD65【例例】已知已知ABCABC的角的角A A、B B、C C所对的边分别是所对的边分别是a a、b b、c c，设，设向量向量 =(a,b),=(sinB,sinA)=(a,b),=(sinB,sinA)，=(b-2,a-2).=(b-2,a-2).(1)(1)若若 ,求证：求证：ABCABC为等腰三角形；为等腰三角形；（2 2）若）若 ,边长边长c=2,c=2,角角C=,C=,求求ABCABC的面积的面积.【审题指导审题指导】（1 1）由）由 可推出可推出asinA=bsinBasinA=bsinB，进而可证，进而可证结论结论.（2 2）由）由 可知可知 =0

17、,=0,而要求而要求S SABCABC只需求出只需求出ab.ab.mnpmnmp3mnmpm p【规范解答规范解答】（1 1）,asinA=bsinB,asinA=bsinB,即即 ,其中其中R R是是ABCABC外接圆半径，外接圆半径，a a2 2=b=b2 2,a=b,a=b,ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.（2 2）由题意可知）由题意可知 =0,=0,即即a(b-2)+b(a-2)=0,a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab,a+b=ab,mnabab2R2Rm p 由余弦定理可知，由余弦定理可知，4=a4=a2 2+b+b2 2-ab=(a+b)-ab=(a+b)2 2-3

18、ab,-3ab,即即(ab)(ab)2 2-3ab-4=0,-3ab-4=0,ab=4(ab=4(舍去舍去ab=-1).ab=-1).S=S=11absinC4 sin3.223【变式备选变式备选】在四边形在四边形ABCDABCD中，中，BC=a,DC=2a,BC=a,DC=2a,四个角四个角A A、B B、C C、D D的度数之比为的度数之比为3741037410，求，求ABAB的长的长.【解析解析】设四个角设四个角A A、B B、C C、D D的度数分别为的度数分别为3x3x、7x7x、4x4x、10 x10 x，则有则有3x+7x+4x+10 x=3603x+7x+4x+10 x=360

19、，解得解得x=15x=15，A=45A=45,B=105,B=105,C=60,C=60,D=150,D=150.连结连结BDBD，在，在BCDBCD中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BDBD2 2=BC=BC2 2+DC+DC2 2-2BC-2BCDCDCcosCcosC=a=a2 2+4a+4a2 2-2-2a a2a2a =3a =3a2 2 12BD=BD=此时，此时，DCDC2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2，BCDBCD是以是以DCDC为斜边的直角三角形，为斜边的直角三角形，CDB=30CDB=30,BDA=150BDA=150-30-30=120=120在在ABDABD

20、中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：AB=AB=ABAB的长为的长为3a,33aBD sin BDA3 22asinA222，3 2a.2【典例典例】（1212分）在分）在ABCABC中，若中，若AB=ACAB=AC，试求，试求cosA+cosB+cosA+cosB+cosCcosC的取值范围的取值范围.【审题指导审题指导】用余弦定理可把原式化成用余弦定理可把原式化成“边边”的形式，又的形式，又AB=ACAB=AC，即，即b=c,B=Cb=c,B=C，则可进一步转化为以，则可进一步转化为以 为自变量的二为自变量的二次函数次函数.ab【规范解答规范解答】用用a,b,ca,b,c分别表示角分别表示

21、角A A，B B，C C所对的边，所对的边，由题意得由题意得b=c,B=C b=c,B=C 2 2分分由余弦定理得由余弦定理得cosA+cosB+cosC=cosA+cosB+cosC=4 4分分=1-=1-=6 6分分222222bcaacb22bc2ac 22222baa2bab21 aa2 bb（）21 a312 b2（）由于由于b+cb+ca,a,即即2b2ba,a,所以所以0 0 2 28 8分分于是于是1 1 1010分分所以所以cosA+cosB+cosCcosA+cosB+cosC的取值范围是（的取值范围是（1,1,.1212分分ab21 a3312 b22（）32【误区警示误

22、区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误常见错误错误原因错误原因取值范围是取值范围是(-,(-,忽视了隐含条件的应用，实际上在三角形中两忽视了隐含条件的应用，实际上在三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大边对大角，最大内角的取值范围是边对大角，最大内角的取值范围是 ,），），最小内角的取值范围是最小内角的取值范围是(0,(0,等等.3233【即时训练即时训练】如图，如图，A A、B B是单位圆是单位圆O O上上的动点，的动点，C C是单位圆与是单位圆与x x轴正半轴的交点，轴正半轴的交点，设设C

23、OA=.COA=.（1 1）当点）当点A A的坐标为的坐标为 时，求时，求sinsin的值；的值；（2 2）当）当0 ,0 ,且当点且当点A A、B B在圆上沿逆时针方向移动时，在圆上沿逆时针方向移动时，总有总有AOB=AOB=，试求，试求BCBC的取值范围的取值范围.3 45 5（，）23【解析解析】（1 1）A A点坐标为点坐标为 ，根据三角函数定义知根据三角函数定义知x=,y=,r=1,x=,y=,r=1,sin=sin=（2 2）AOB=,COA=,AOB=,COA=,COB=+,COB=+,3 45 5（，）3545y4.r533由余弦定理得由余弦定理得BCBC2 2=OC=OC2

24、2+OB+OB2 2-2OC-2OCOBcosBOCOBcosBOC=1+1-2cos=1+1-2cos（+）=2-2cos=2-2cos（+）0 ,+0 ,+12-2cos12-2cos（+）2+,2+,即即1BC1BC2 22+,2+,亦即亦即1BC1BCBCBC的取值范围是的取值范围是1,1,.333235,631cos,232（）33323.231.1.ABCABC的三边满足的三边满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2-ab-ab，则此三角形的最大内，则此三角形的最大内角为角为()()(A)150(A)150 (B)135 (B)135 (C)120 (C)120 (D)60 (

25、D)60【解析解析】选选A.aA.a2 2+b+b2 2=c=c2 2 ,aa2 2+b+b2 2-c-c2 2=，角角C C是是ABCABC中的最大角，由余弦定理有中的最大角，由余弦定理有cosC=cosC=C=150C=150,故选故选A.A.3222abc3ab3,2ab2ab2 3ab3ab2.2.如果等腰三角形的周长是底边长的如果等腰三角形的周长是底边长的5 5倍，那么它的顶角的倍，那么它的顶角的余弦值为余弦值为()()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选D.D.设等腰三角形的底边为设等腰三角形的底边为a a，顶角为，顶角为，则腰长，则腰长为为2a.2a.由余弦定

26、理得由余弦定理得cos=cos=22224a4aa7.8a85183432783.3.在在ABCABC中，已知中，已知BC=3,AB=10,ABBC=3,AB=10,AB边上的中线为边上的中线为7 7，则，则ABCABC的面积为的面积为_._.【解析解析】如图，设如图，设D D为为ABAB的中点，则在的中点，则在BCDBCD中，由余弦定中，由余弦定理得理得cosB=cosB=，所以，所以B=120B=120.SSABCABC=答案：答案：222BCBDCD2BC BD22235712 3 52 11315 3AB BCsinB10 3.2222 15 324.4.在在ABCABC中，已知中，已

27、知BC=8,AC=5BC=8,AC=5，三角形面积为，三角形面积为1212，则，则cos2C=_.cos2C=_.【解析解析】由三角形面积公式，得由三角形面积公式，得 BCBCCACAsinC=20sinC=12sinC=20sinC=12，即，即sinC=sinC=于是于是cos2C=1-cos2C=1-2sin2sin2 2C=.C=.答案：答案：12357257255.5.如图，如图，ACDACD是等边三角形，是等边三角形，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB=90ACB=90，BDBD交交ACAC于于E E，AB=2.AB=2.(1)(1)求求cosCBEcosCBE的值；的值；(2)(2)求求AE.AE.【解析解析】(1)(1)因为因为BCD=90BCD=906060=150=150，CB=AC=CDCB=AC=CD，所以，所以CBE=15CBE=15，所以所以cosCBE=cos15cosCBE=cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45=cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30=62.4(2)(2)在在ABEABE中，中，AB=2AB=2，由正弦定理由正弦定理故故AE=AE=AE2sin(4515)sin(9015)，122sin30262.cos15624