高中数学校本课程一立体几何中的数学思想.ppt

1、主讲：李主讲：李XX数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为人们常把数学形容为思维的体操思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！慧！哲学、诗歌哲学、诗歌不要求每人都会不要求每人都会 数学数学每人必须会每人必须会 数学在培养和提高人的思数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的数学不仅仅是一种重要的“工工具具”或者

2、或者“方法方法”，更重要的，更重要的是一种思维模式，表现为数学是一种思维模式，表现为数学思想。思想。看懂下面这些图，数学就变得很容易请数一数上面有多少个黑圆点。（答案：一个没有）你看见了一个旋涡吗？（其实它们是一个个同心圆）这两条线是平行的直线吗？这两条竖线哪一条长？实际上一样长线段AB长还是BC长？说说看。不信吧？图中的圆确实是一个正圆形。这个菱形的边是直的你看见什么？一张女人的脸，还是一个吹萨克斯风的人？你看见六个杯子吗？还是看见六对不同态度的脸？你看见一个男人正对你虎视耽耽。还是看到一个英文单词“Liar”？里面哪个人最高？其实他们一样高其实他们一样高仔细看，你看见什么？（那倒过来看又是

3、什么呢？）这就是倒过来的图案。你看到了什么？一个老头还是一群人？有人说抽象思维与形象思有人说抽象思维与形象思维是密不可分的，形象思维体维是密不可分的，形象思维体现在数学上就是用图形说话，现在数学上就是用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论用图形描述问题，用图形讨论问题，这是基本的数学素质。问题，这是基本的数学素质。如果仅仅把几何理解为培养形如果仅仅把几何理解为培养形式的载体，那就太小看几何了。式的载体，那就太小看几何了。立体几何中的数学思想立体几何中的数学思想几何是数学中这样的一个部几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，分，其中视觉思维占主导地位，而代数是数学中有序思维占主导而代

4、数是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即外一对词更好，即“洞察洞察”与与“严格严格”，两者在真正的数学研，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。究中都起着本质的作用。英国数学家M.阿蒂亚几何主要培养：把握图形的几何主要培养：把握图形的能力能力、空间想象能力、直观洞察空间想象能力、直观洞察能力、用图形的语言来思考问题能力、用图形的语言来思考问题的能力。的能力。几何是直观逻辑，代数是有序几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。几何学不只是数学的一个分逻辑。几何学不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，它应该支，而且是一种思维方式，它应该渗透到数学

5、的所有分支。渗透到数学的所有分支。建议建议1：以长方体为载体导出立体：以长方体为载体导出立体几何的八大定理几何的八大定理建议建议2：处理几何证明时，要充分：处理几何证明时，要充分发挥几何直观的作用发挥几何直观的作用建议建议3：要把提高图形语言的分析：要把提高图形语言的分析能力贯穿于几何证明的始终。能力贯穿于几何证明的始终。建议建议4：坚持从整体到局部，从局：坚持从整体到局部，从局部到整体，从外到里，从里到外，部到整体，从外到里，从里到外，全方位地认识、剖析图形。全方位地认识、剖析图形。建议建议5：公理定理体系化公理定理体系化四大公理、八大定理四大公理、八大定理推理思路模式化推理思路模式化线线线

6、线线面线面面面面面线面线面线线线线书写表达符号化书写表达符号化空间概念降维凸显化空间概念降维凸显化在整个高中几何学习过在整个高中几何学习过程中，同学们要把程中，同学们要把“把握图把握图形的能力形的能力”作为指导思想，作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。贯穿在整个数学课程的始终。数学思想是数学的灵魂，数学思想是数学的灵魂，是同学们学习过程中最需要总是同学们学习过程中最需要总结的法宝，掌握有关的数学思结的法宝，掌握有关的数学思想方法，有助于学生降低学习想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维律，提高数学素养，发展思维能力能力。下面

7、例析数学思想方法下面例析数学思想方法在立体几何中的应用。在立体几何中的应用。一、一、转化的思想方法转化的思想方法 研究问题时，将研究对象在研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法的、基本的研究对象的思维方法称为称为转化的思想方法转化的思想方法。这种思想这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：主要体现在如下几个方面：1、空间问题向平面问题转化、空间问题向平面问题转化 将空

8、间问题转化为熟知的平面问题是将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之研究立体几何问题最重要的数学方法之一。立体几何中的三种角一。立体几何中的三种角异面直线所成异面直线所成的角、线面角、面面角的角、线面角、面面角的计算，最终都的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。行的。实现空间问题向平面问题转化的方法实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。展开法和辅助面法等等。异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角

9、的定义异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线直线a,ba,b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点o o，分别引直线，分别引直线a a1 1a,ba,b1 1b,b,我们把直线我们把直线a a1 1和和b b1 1所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a a和和b b所成的角。所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1

10、b1ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1EPABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=2，求求PA与与BC所成的角？所成的角？E斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影所成的所成的锐角锐角AOB斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角（0,

11、90）直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0,90异面直线所成的角异面直线所成的角（0,90求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形，求出所成角的相应函数值解此直角三角形，求出所成角的相应函数值在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1

12、 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，O为下底为下底面面AC的中心，求的中心，求A1O与平面与平面BB1D1D所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1OO正四面体正四面体PABC中，求侧棱中，求侧棱PA与与底面底面ABC所成的角所成的角PABCHDPAH为侧棱侧棱PA与底面与底面ABC所成的角所成的角PA=a,AH=aCOSPAH=3333从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱从一条

13、直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O

14、正四面体正四面体PABC中，求侧面与中，求侧面与底面底面ABC所成的角所成的角PABCHDPDH为二面角为二面角P-BC-A的平面角的平面角PD=3HDCOS PDH=31ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？ODOD1为所求为所求二面角的平面角二面角的平面角DD1=2，DO=2tan DOD1=2 ABP M N C DO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OC AB交交PM 于于C，在在 内作内作OD AB交交PN于于D，连结连结CD，可得：，可得：设设PO=a ，BPM=BPN=45CO=a，

15、DO=a，PC a，PD a22又又MPN=60 CD=PC a2 COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90二面角例例1.如图如图,已知已知P是二面角是二面角 棱上一点，过棱上一点，过 P 分别在分别在、内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。求此二面角的度数。AB COD是二面角是二面角 的平面角的平面角 AB一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”小小结结一、二面角的定义一、二面角的定义：二、二面角的表示方法二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：五

16、、二面角的计算：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1 1、二面角的平面角必须满足、二面角的平面角必须满足 三个条件三个条件2 2、二面角的平面角的大小与、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关其顶点在棱上的位置无关3 3、二面角的大小用它的平面、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量角的大小来度量 1、定义法、定义法2、三垂线（逆

17、）定理法、三垂线（逆）定理法3、垂面法、垂面法1 1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2 2、证明、证明 1 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3 3、计算所求的角、计算所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”2、位置关系的转化、位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直）直）线面平行（或垂直）线面平行（或垂直）;面面平行面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面

18、面的平行线线、线面、面面的平行;线线、线线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。分体现。线线线线线线面面面面面面线线线线线线面面面面面面3.三种语言的转化三种语言的转化图形语言图形语言 文字语言文字语言 符号语言符号语言 立体几何所有定理的学习，按照图形立体几何所有定理的学习，按照图形语言语言文字语言文字语言符号语言三种数学语符号语言三种数学语言的综合描述的顺序来学习。先给出图言的综合描述的顺序来学习。先给出图形，再用文字和符号进行描述，使抽象形，再用文字和符号进行描述，使抽象和直观结合起来

19、，更好地理解定理。和直观结合起来，更好地理解定理。空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-线线平行的判定线线平行的判定1、平面内两条不相交的直线互相平行。、平面内两条不相交的直线互相平行。2、平行公理、平行公理 4：平行于同一条直线的两条直线互平行于同一条直线的两条直线互相平行。相平行。bcab3、直线和平面平行的性质定理直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平相交，那么这条直线就和交线平行。行。a ba 空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-线线平行

20、的判定线线平行的判定4、平面和平面平行的性质定理平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。个平面相交，则它们的交线平行。若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。5、直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的性质 aba 空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-线面平行的判定线面平行的判定1、直线和平面平行的定义：、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。么就说这条直线和这个平面平行。a a

21、 2、直线和平面平行的判定：、直线和平面平行的判定：若平面外的一条直线和平面内的一条直若平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。线平行，则这条直线和这个平面平行。a 3、平面和平面平行的性质定理：平面和平面平行的性质定理：如果两个平面平行，则其中一个平如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。面内的直线必平行于另一个平面。a ba a空间平面和平面空间平面和平面-位置关系位置关系-面面平行的判定面面平行的判定1、平面和平面平行的定义：、平面和平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行，也叫平面平行。

22、个平面互相平行，也叫平面平行。2、平面和平面平行的判定一：、平面和平面平行的判定一：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。两个平面平行。a 3、平面和平面平行的判定二：、平面和平面平行的判定二：若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。的两条相交直线，则这两个平面平行。abp空间平面和平面空间平面和平面-位置关系位置关系-面面平行的判定面面平行的判定3、平面和平面平行的判定二：、平面和平面平行的判定二：若一个平面内有两条相交

23、直线分别平行于另一个平面内若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。的两条相交直线，则这两个平面平行。baPbaQa b=Qa a,b b 4、平面和平面平行的判定三：、平面和平面平行的判定三：如果两个平面同时与第三个平如果两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面互相平行。面平行，则这两个平面互相平行。空间平面和平面空间平面和平面-位置关系位置关系-面面平行的判定面面平行的判定5、直线和平面垂直的性质：、直线和平面垂直的性质：如果两个平面都和同一如果两个平面都和同一条直线垂直，则这两个平面条直线垂直，则这两个平面互相平行。互相平行。a 空间直线和平面空

24、间直线和平面-位置关系位置关系-线线垂直的判定线线垂直的判定1、直线和直线垂直的定义：、直线和直线垂直的定义：若两条直线所成的角为直角，若两条直线所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直。则称这两条直线互相垂直。ab aba 2、直线和平面垂直的性质：、直线和平面垂直的性质：若一条直线和一个平面垂直，若一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的任一直则这条直线和这个平面内的任一直线垂直。线垂直。ba b 3、平行线的性质：、平行线的性质：若两条平行线中的一条和第三条直线垂若两条平行线中的一条和第三条直线垂直，则另一条也和第三条直线垂直。直，则另一条也和第三条直线垂直。ab a 4、三垂线定

25、理、三垂线定理逆定理逆定理空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-线面垂直的判定线面垂直的判定1、直线和平面垂直的定义：、直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则称这内的任何一条直线垂直，则称这条直线和这个平面垂直。条直线和这个平面垂直。ba b (a任意)2、直线和平面垂直的判定：、直线和平面垂直的判定：如果一条直线和一个如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都平面内的两条相交直线都垂直，则称这条直线和这垂直，则称这条直线和这个平面垂直。个平面垂直。m 3、平行线的性质：、平行线的性质：如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，如果两条平

26、行线中的一条和一个平面垂直，则另一条直线也和这个平面垂直。则另一条直线也和这个平面垂直。abab a np mLl空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-线面垂直的判定线面垂直的判定4、平面和平面平行的性质：、平面和平面平行的性质：如果一条直线和两如果一条直线和两个平行平面中的一个垂个平行平面中的一个垂直，则这条直线也和另直，则这条直线也和另一个平面垂直。一个平面垂直。a a 5、平面和平面垂直的性质：、平面和平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。6、平面和平面

27、垂直的性质：、平面和平面垂直的性质：如果两个相交平面和第三个平如果两个相交平面和第三个平面垂直，则它们的交线也和第三个面垂直，则它们的交线也和第三个平面垂直。平面垂直。a 空间直线和平面空间直线和平面-位置关系位置关系-面面垂直的判定面面垂直的判定1、平面和平面垂直的定义：、平面和平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫互相垂直的平面。相交成直二面角的两个平面，叫互相垂直的平面。二面角二面角N-OE-MN-OE-M的平面的平面角角 0 2、平面和平面垂直的判定：、平面和平面垂直的判定：如果一个平面经过另如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。这两个

28、平面互相垂直。a 3、平面和平面平行的性质：、平面和平面平行的性质：如果两个平行平面中的一个和如果两个平行平面中的一个和第三个平面垂直，则另一个也和第第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直。三个平面垂直。a如图，空间四面体如图，空间四面体P-ABC,M,N分分别是面别是面PCA和面和面PBC的重心的重心 求求证：证：MN/面面BCAEFPMN/EF MN/面面BCA线线平行线线平行线面平行线面平行如图，两个全等的正方形如图，两个全等的正方形ABCD和和ABEF所在平面交于所在平面交于AB，AM=FN求证：求证：MN/面面BCEABCDEFMNGHMN/GH MN/面面BCE线线平行线线平行

29、线面平行线面平行ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，中，E为为DD1的中的中点，求证：点，求证：DB1/面面A1C1EEFDB1/EF DB1/面面A1C1E线线平行线线平行线面平行线面平行如果一条直线和两个相交平面都平如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行行，则这条直线与它们的交线平行abc l已知：已知：a/，a/，=l求证：求证：a/la/a/ba/a/cb/cb/b/l a/l11abABOMNPD如图，如图，a,b是异面直线，是异面直线，O为为AB的中点，的中点，过点过点O作平面作平面 与两异面直线与两异面直线a,b都平行都平行MN交平面于点交平面

30、于点P，求证：，求证：MP=PN 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求证：面求证：面AB1D1面面BDC1ABCDA1B1C1D1证明：证明：BDB1D1BD 面面BDC1B1D1 面面BDC1B1D1面面BDC1同理：同理：AB1面面BDC1B1D1AB1=B1面面AB1D1面面BDC1线线线线线线面面面面面面四面体四面体ABCD中，面中，面ADC面面BCD，面，面ABD 面面BCD，设，设DE是是BC边上的高，边上的高，求证：求证：平面平面ADE 面面ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面AD

31、E面面ABC 面面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线垂直线线垂直如图，如图，ABCD是正方形，是正方形，PA 面面ABCD，连接连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互问图中有几对互相垂直的平面？相垂直的平面？ABDPC面面PAC面面ABCD面面PAB面面ABCD面面PAD面面ABCD面面PAD面面PAB面面PAD面面PCD面面PBC面面PAB面面PBD面面PAC11求证：如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面 labmnmamnbnmnm =LmLmaL11求证：

32、如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面 lPABabPAaPA PBbPB PALPBLL .(.(位置关系的转化位置关系的转化)已知三棱锥已知三棱锥 SABC 中，中，ABC9090，侧棱，侧棱SA底面底面 ABC，点，点 A 在棱在棱 SB 和和 SC 上的射影分别是上的射影分别是点点 E E、F F,求证求证:EFSC.11分析：分析：A、E、F 三点不共线，三点不共线，AFSC，要证要证 EFSC，只要证，只要证 SC平面平面 AEF，只要证只要证 SCAE（如图（如图 1

33、）。）。又又BCAB，BCSA，BC平面平面 SAB，SB 是是 SC在平面在平面 SAB 上的射影。上的射影。只要证只要证 AESB（已知），（已知），EFSC。(位置关系的转化位置关系的转化)已知三棱锥已知三棱锥 SABC 中，中，ABC9090，侧棱，侧棱SA底面底面 ABC，点，点 A 在棱在棱 SB 和和 SC 上的射影分别是上的射影分别是点点 E E、F F,求证求证:EFSC.11二、分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法 分类讨论的思想方法在数学中较为普分类讨论的思想方法在数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：空遍。如立体几何中的一些知识和问题：空间两直线的位置关系分为相

34、交、平行、异间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种；线面、面面的位置关系以它们公面三种；线面、面面的位置关系以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、相交两种，而对线在面内的三种和平行、相交两种，而对于相交的情形，根据其交角是否为直角又于相交的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两种；简单几何体可划分分为斜交和直交两种；简单几何体可划分为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又可分为若干个子类。除球外）又可分为若干个子类。平行于同一平面的二直线的平行于同一平面的二直线的位置关系是位置关

35、系是 （）（A）一定平行一定平行（B）平行或相交平行或相交（C）相交相交（D）平行，相交，异面平行，相交，异面D（1）点）点A是平面是平面 外的一点，过外的一点，过A和平面和平面 平行的直线有平行的直线有 条。条。A无数无数11已知：两异面直线已知：两异面直线a,b所成的角是所成的角是60，P P为为空间中一定点，则过点空间中一定点，则过点P P且与且与a,ba,b都成都成6060角的角的直线有直线有 条。条。abp3.（6）如果两直线）如果两直线a,b 相交，相交，a平行平行于平面于平面，则，则b与平面与平面 的位置关系的位置关系是是 。a bb相交或平行相交或平行空间四面体空间四面体ABC

36、D，问和点，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？距离相等的平面有几个？ABCD4把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在的一侧1个，另一侧3个，此类有4个。空间四面体空间四面体ABCD，问和点，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？距离相等的平面有几个？ABCD3第二类，如图2所示，4个定点分布在的两侧各2个，此类有3个。综上，共有4+3=7（个），l 直线上有两点到平面直线上有两点到平面的距离相等，这条的距离相等，这条直线和平面直线和平面的位置如何？的位置如何？11三三、运动变化的思想方法、运动变化的思想方法 运动变化的思想方法是数学

37、中重要的思想方法。运动变化的思想方法是数学中重要的思想方法。运用它易于提示概念的本质，便于认识事物的性质运用它易于提示概念的本质，便于认识事物的性质，发现规律。立体几何中，不少的知识和问题蕴含，发现规律。立体几何中，不少的知识和问题蕴含着这一思想方法。如圆柱、圆锥、圆台、球面和旋着这一思想方法。如圆柱、圆锥、圆台、球面和旋转面的含义；二面角可看作是一个半平面以其棱为转面的含义；二面角可看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的；圆柱（或圆锥）亦可看作是当圆台轴旋转而成的；圆柱（或圆锥）亦可看作是当圆台上底面半径和下底面半径相等（或缩小到其半径等上底面半径和下底面半径相等（或缩小到其半径等于零）时，转

38、化而成的。教学线面平行的性质时，于零）时，转化而成的。教学线面平行的性质时，在定义的条件下，让该直线和平面运动起来，在运在定义的条件下，让该直线和平面运动起来，在运动中保持不变的性质就是线面平行的性质。研究平动中保持不变的性质就是线面平行的性质。研究平面图形折叠问题时，需要从运动变化的角度出发，面图形折叠问题时，需要从运动变化的角度出发，弄清图形中涉及的元素在折叠前后的数量及位置关弄清图形中涉及的元素在折叠前后的数量及位置关系的变化等。系的变化等。11四、四、函函数与方程的思想方法数与方程的思想方法函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程，具有广泛应

39、用性。它们是根据问题的数量特征，具有广泛应用性。它们是根据问题的数量特征及其相互关系设定变量，建立函数关系或方程，及其相互关系设定变量，建立函数关系或方程，通过对函数性态或方程的研究而求得原问题的解通过对函数性态或方程的研究而求得原问题的解的一种思维方法。的一种思维方法。函数与方程的思想方法在立体几何中亦大有函数与方程的思想方法在立体几何中亦大有“用用武之地武之地”。如立体几何中求某些量的最值问题大。如立体几何中求某些量的最值问题大都需要用函数的思想方法去处理，多面体和旋转都需要用函数的思想方法去处理，多面体和旋转体的表面积与体积的计算中，也经常要用方程的体的表面积与体积的计算中，也经常要用方程的思想方法去解决有关问题。思想方法去解决有关问题。11五、类比的思想方法五、类比的思想方法 所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。它是想，并由此寻求问题的解决途径或结论。它是中学数学中重要的思想方法之一。立体教学中中学数学中重要的思想方法之一。立体教学中，类比的思想方法被广泛采用。由平面上直线，类比的思想方法被广泛采用。由平面上直线ab，bac，可类比出空间内的平面，可类比出空间内的平面，;；