2020人教A版新课程数学第一册第五章512弧度制课件.ppt

1、 1 1、在平面几何中研究角的度量时，、在平面几何中研究角的度量时，1 1的的 角是如何定义的？角是如何定义的？周角的周角的 叫做叫做1 1度角度角,记为记为1 13601复习回顾复习回顾2 2、角度制下弧长公式与扇形面积公式是、角度制下弧长公式与扇形面积公式是 什么？什么？2,180360n rn rls 问题问题：由：由 ，得到，得到 ，请同学们，请同学们分析式子分析式子 的意义。的意义。2Cr2Cr2Cr 对于整个圆周无论半径如何，周长多长，对于整个圆周无论半径如何，周长多长，我们总能把它分成我们总能把它分成360360等份，每一份的弧所对等份，每一份的弧所对的圆心角就是的圆心角就是1

2、1度的角。度的角。结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论周长如何都只能分成周长如何都只能分成 份。份。2 定义定义：长度等于半径长的圆弧长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度弧度(radian)(radian)的角的角，用符号，用符号radrad表示，读作表示，读作弧度弧度.这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制弧度制。1弧度rl=rOAB设弧AB的长为l，若l=r，则AOB=lr=1 弧度若l=2r，则AOB=lr=2 弧度2弧度弧度OABl=2r若l=3r，则AOB=lr=3 弧度B3弧度

3、弧度OAl=3rl=3rOABr-3弧度若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则AOB的弧度数的绝对值是lr=3，即AOB=lr=3弧度 思考思考:如果一个半径为如果一个半径为 的圆的圆心角的圆的圆心角 所对的所对的弧长是弧长是 ,那么那么 的弧度数是多少的弧度数是多少?rl一般地，我们规定：一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，如果半径为，如果半径为r的圆的圆的圆心角的圆心角所对弧的长为所对弧的长为l，那么那么角角的弧度的弧度数的数的绝对值是绝对值是=lr这里，的正负由角的终边的旋转方向

4、决定.正角零角负角正实数零负实数角的集合与实数集之间的一一对应关系：角的集合与实数集之间的一一对应关系：追问追问（1）我们把半径为）我们把半径为1的圆叫做单位圆既然角的大小与半径无的圆叫做单位圆既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定关，那么在单位圆中如何确定1 rad的角呢？的角呢？（2）在半径为）在半径为r的圆中，弧长为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角的弧度数是多少？的弧度数是多少？（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？在半径为在半径为r的圆中的圆中 ；lr类比角度制，类比角度制，的正负由角的正负由角的终边的旋转方向决定的终边

5、的旋转方向决定新知探究得出单位圆中长度为得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；（如图）；追问追问请你说说弧度制与角度制有哪些不同？请你说说弧度制与角度制有哪些不同？第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第四，无论是以第四，无论是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位，角的大小都是一个与为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等半径大小无关的定值，等等第三，第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小

6、，而弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1的角是周的角是周角的角的 ；1360新知探究 3602 rad180 rad1rad1801rad57.30180新知探究问题问题既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？（1）精确值；）精确值；（2）精确到）精确到0.001的近似值的近似值（2）利用计算器有）利用计算器有67301.178 rad所以所以6730 rad rad135218038新知探究例例1：按照下列要求，把按照下列要求，把67

7、30化成弧度：化成弧度：解：解：（1）由于）由于6730 ，1352 解：解：利用计算器有利用计算器有3.14 rad179.909新知探究例例2：将将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到换算成角度（用度数表示，精确到0.001）角角度度 弧弧度度 0601201352704265230写出一些特殊角的弧度数写出一些特殊角的弧度数 6453903243150180233600注意：注意：今后在具体运算时，今后在具体运算时，“弧度弧度”二字二字和单位符号和单位符号“rad”可以省略可以省略 如：如：3表示表示3rad 11 8 0ra d1801()rad锐角：锐角：直角：直角：钝角：

8、钝角：平角：平角：周角：周角：例例3：请用弧度制表示下列角度的集合|02|2|2|2|090|90|90180|180|360 例例4:4:用弧度制表示用弧度制表示（1 1）终边落在）终边落在4545角的终边上的所有角的集合角的终边上的所有角的集合（2）第）第象限角的集合象限角的集合|2,4kkZ|22,2kkkZ（1）；（2）；（3）1 1把下列各角化成的形式：把下列各角化成的形式：练习练习 kk，2023163157112.2.下列角的终边相同的是（）下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk，33.3.若若是第四角限角，则是第四角限角，

9、则-是是()()A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角5.55.5弧度的角所在的象限为弧度的角所在的象限为()()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限4.4.将分针拨快将分针拨快1515分钟，则分针转过的弧度数是分钟，则分针转过的弧度数是()()A.-A.-B.B.C.-C.-D.D.3232CD7.7.已知已知+，-，求求2-2-的范围的范围.343（1）；（2）；（3）lR212SR12SlR其中其中R是圆的半径，是圆的半径，(0)为圆心角，为圆心角，

10、l是扇形的弧长，是扇形的弧长，S是扇形的是扇形的面积面积证明：证明：（1）由公式）由公式 可得可得 lRlR下面证明（下面证明（2）（）（3）新知探究例例5：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中其中R是圆的半径，是圆的半径，(0)为圆心角，为圆心角，l是扇形的弧长，是扇形的弧长，S是扇形的是扇形的面积面积证明：证明：圆心角为圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，180n Rl 2360n RS，将将n转换为弧度，转换为弧度，得得 ，180n 于是于是 212SR将将lR代入上式，即得代入上式，即得 212SR新知探究（

11、1）；（2）；（3）lR212SR12SlR例例5：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：弧长公式与扇形面积公式【1】若用R表示圆的半径，(02)为圆心角，是扇形弧长，S是扇形面积.则有：显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.例例6：已知扇形的周长为：已知扇形的周长为10cm,面积为面积为4cm2,求求扇形的中心角扇形的中心角.根据题意:分析:要求中心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R.lR解 设扇形的中心角的弧度数为 ,弧长为l,半径为R,02210lR142lR 由得 ,102lR代入得2540RR1

12、21,4RR舍去当R=1时,l=8cm时,82lR当R=4时,l=2cm时,12lR所求扇形的中心角的弧度数为12变式变式1:在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的弧的中心角所对的弧长为长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的中心角的扇形的中心角等于等于 弧度。弧度。变式变式2:已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？弧度？合多少度？扇形的面积是多少？例例7:7:已知扇形的周长为已知扇形的周长为30cm30cm，当它的半径和圆心角各，当它的半径和圆心

13、角各取什么值时，才能使扇形的面积最大取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?（2 2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数心角的弧度数 练习练习（1 1）若三角形的三个内角之比是）若三角形的三个内角之比是2 2：3 3：4 4，求其三个内角，求其三个内角的弧度数的弧度数8cm24cm（3 3）已知扇形）已知扇形OABOAB的圆心角的圆心角为为120120，半径长为，半径长为6.6.求求 的弧长；求弓形的弧长；求弓形OABOAB的面积的面积.AB（4 4）蒸汽机飞轮的直径为）蒸汽机飞轮的直径为1.2m1.2m，以，以300

14、300周周/分的速度作分的速度作逆时针旋转，求：逆时针旋转，求：(1)(1)飞轮每飞轮每1 1秒转过的弧度数；秒转过的弧度数；(2)(2)轮周上一点每轮周上一点每1 1秒所转过的弧长秒所转过的弧长.【知识探究学习】【知识探究学习】如图，已知一长为如图，已知一长为 dmdm，宽，宽1dm1dm的长方形木块在桌面的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成使木块底面与桌面成3030的角的角.问点问点A A走过的路程的长及走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积走过的弧度所在扇形的总面积.3解：解：所对的圆半径是2,圆心角为 ，所对圆半径是1，圆心角是 ，所对的圆半径是 ，圆心角是 ，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2 +1 +=(dm);3段弧所对的扇形的总面积是 2+=(dm2)21AA32AA336329471AA2213322223321212213 你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？归纳小结问题问题通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？背景背景引入弧度制的必要性引入弧度制的必要性定义的合理性定义的合理性弧度制弧度制定定义义表表示示关关系系应应用用