194综合与实践多边形镶嵌课件.ppt

1、 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌制作人：王伟制作人：王伟学习目标学习目标1 1、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验（课件展示）（课件展示），探究平面镶嵌的条件，探究平面镶嵌的条件2 2、探究能用哪两种不同的正多边形可以、探究能用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌进行组合镶嵌3 3、探究用三角形与四边形能否进行平面、探究用三角形与四边形能否进行平面镶嵌镶嵌重点难点：重点难点：正多边形镶嵌的条件（或原理）正多边形镶嵌的条件（或原理）好漂亮的地板好漂亮的地板!这是怎么铺这是怎么铺设的设的?一点空隙也没有一点空隙也没有.感知生活感知生活美哉！生活美哉！生活在你身边

2、看到过吗？在你身边看到过吗？学习新知学习新知 镶嵌镶嵌 定义定义：这种用形状相同或不同的平面封闭这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。（简单理解成：用一些不重叠摆放的多边形把平面的简单理解成：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌平面镶嵌。镶嵌也叫。镶嵌也叫密铺密铺。）。）注意：注意：各种图形拼接后各种图形拼接后要既要既无缝隙无缝隙，又，又不重叠不重叠什么是镶嵌？什么是镶嵌？仅用仅用一种一种正多边形

3、镶嵌，哪几种正正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？多边形能镶嵌成一个平面区域？探究探究 （一）（一）平面镶嵌条件平面镶嵌条件(一）正三角形的平面镶嵌一）正三角形的平面镶嵌6060606060606 6个正三角形可以镶嵌个正三角形可以镶嵌观察同一个顶观察同一个顶点处有几个内点处有几个内角恰好拼成一角恰好拼成一个周角？个周角？6个个初步感知：同一顶点处的几个内角之和初步感知：同一顶点处的几个内角之和360度度（二）正方形的平面镶嵌（二）正方形的平面镶嵌904 4个正方形可以镶嵌个正方形可以镶嵌观察同一个顶观察同一个顶点处有几个内点处有几个内角恰好拼成一角恰好拼成一个周角？个周角？4个

4、个（三）正六边形的平面镶嵌（三）正六边形的平面镶嵌120 120 120 3 3个正六边形个正六边形可以镶嵌可以镶嵌3个个观察同一个顶观察同一个顶点处有几个内点处有几个内角恰好拼成一角恰好拼成一个周角？个周角？1231+2+3=1+2+3=（四）用边长相同的（四）用边长相同的正五边形正五边形能否镶嵌？能否镶嵌？观察同一个顶点观察同一个顶点处有几个内角恰处有几个内角恰好拼成一个周角？好拼成一个周角？不能拼成不能拼成周角周角1080108010803243240 0正五边形不能镶嵌正五边形不能镶嵌思考：思考：为什么边长相等的为什么边长相等的正五边形正五边形不能不能镶嵌，而边长相等的镶嵌，而边长相等

5、的正六边形正六边形能能镶嵌？镶嵌？要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，一个平面区域，需需使得使得拼接点拼接点处处的的所有内角之和等于所有内角之和等于360。还有还有其它其它正多边形能镶嵌吗？正多边形能镶嵌吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？。k(n-2)180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 k k 个正个正 n n 边形的角，则有边形的角，则有 k 为正整数，为正整数，n 为大于等于为大于等于 3 的正整数的正整数解为解为即即6个正三角形、个正三

6、角形、4个正方形、个正方形、3个正六边形个正六边形K个角个角用一种正多边形可以镶嵌的条件用一种正多边形可以镶嵌的条件每个内角都能整除每个内角都能整除360360o o。用用两种两种正多边形镶嵌，哪些能镶正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域嵌成一个平面区域?探究（二）探究（二）平面镶嵌条件平面镶嵌条件（一）正三角形与正方形（一）正三角形与正方形2 m+3 n=12m=3n=2 m60+n90=360设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n,n 个正方形的角，则有个正方形的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为m个正个正三角形三角形角，角，n个正方个正方

7、形角形角3 3个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形（二）正三角形与正六边形m+2n=6 m60+n120=360设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n,n 个正六个正六边形的角，则有边形的角，则有 m,n 为正整数为正整数m=4n=1m=2m=2n=2n=2解为解为m个正个正三角形三角形角，角，n个正六个正六边形角边形角2 2个个正三角形正三角形+2+2个个正六边形正六边形4 4个个正三角形正三角形+1+1个个正六边形正六边形1 1个个正方形正方形+2+2个个正八边形正八边形（三）正方形与正八边形2 2个个正五边形正五边形+1+1个个正十边形正十

8、边形（四）正五边形与正十边形（五）正三角形与正十二边形1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正十二边形正十二边形我的收获我的收获当拼接点处的当拼接点处的所有角之和所有角之和是是360360 时，时，就能拼成一个平面图形。就能拼成一个平面图形。思考：思考：能否用能否用三种三种正多边形，如用正多边形，如用正三角正三角形，正方形，正六边形形，正方形，正六边形（边长相同）（边长相同）能铺满地面？能铺满地面？1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形+1+1个个正六边形正六边形探究（三）探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？多边形能进行平面

9、镶嵌吗？231231231231231231231231231231（一）同一种任意三角形的镶嵌（一）同一种任意三角形的镶嵌结论：结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。平面图形。通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意形状、大小相同的三角形都任意形状、大小相同的三角形都_镶嵌镶嵌,2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角个角的和恰好是这个三角形的内角和的的和恰好是这个三角形的内角和的_倍，倍，也就是它们的和为也就是它们的和为_._.可以可以六六六六两两360o2413241324132413241324132

10、41324132413241324132413（二）同一种任意四角形的镶嵌（二）同一种任意四角形的镶嵌结论：结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。在每一个拼接点，四边形的每一个在每一个拼接点，四边形的每一个内角用了一次，它们的和等于内角用了一次，它们的和等于3600，即等于四边形的内角和。即等于四边形的内角和。通过探究我发现：通过探究我发现：1.1.任意形状大小相同的四边形任意形状大小相同的四边形_镶嵌镶嵌.2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个个角的和恰好是这个四边形的四个内角之角的和恰好是这个四边形的四个内

11、角之_,_,也就是它们的和为也就是它们的和为_._.可以可以四四四四和和360360上面我们讨论的一般上面我们讨论的一般三角形和四三角形和四边形边形都可以平面镶嵌，因为三角都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是形的内角和是180，四边形内，四边形内角和是角和是360它们的内角和是整它们的内角和是整数倍都是数倍都是360，那么其它的一，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？般多边形能进行镶嵌吗？例如：例如：在在五边形中，五边形中，内角和内角和540，已，已经超过经超过360，即每一个内角拼接在一，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内

12、角和也越大，含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于更不符合要求，因此边数大于4的的一般一般多边形不可以平面镶嵌。多边形不可以平面镶嵌。示例说明示例说明结论结论1 1、要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区、要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得域，需使得拼接点处拼接点处的所有角之和等于的所有角之和等于360360。2 2、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌3 3、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌4 4、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形正方形、正六边形5 5、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正三角形和正方形、正方形、正三角形和正六边形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形正方形和正八边形 、正五边形与正十边形、正三角形与正十二边形等。等。6、用用三种三种正多边形，如用正多边形，如用正三角形，正方形，正三角形，正方形，正六边形正六边形（边长相同）也可镶嵌。（边长相同）也可镶嵌。谢谢您的热情参与谢谢您的热情参与