142正弦函数、余弦函数的性质-2课件.ppt

1、第一章三角函数第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质7天后星期几？天后星期几？今天星期几？今天星期几？14天后呢？天后呢？100天后呢？天后呢？世界上有许多事物都呈现世界上有许多事物都呈现“周而复始周而复始”的的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为这种现象在数学上称为周期性周期性，在函数领域，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质里，周期性是函数的一个重要性质.情景导学y2o424xxy2o46241、三角函数、三角函数线线的的“周而复始周而复始”变化变化2、三角函数、三角函数图像图像的的“周

2、而复始周而复始”变化变化3、三角函数、三角函数值值的的“周而复始周而复始”变化变化 oxy11PMsin=sin(+2k),cos=cos(+2k),R，k Z 三角函数的周期性周期函数的定义：周期函数的定义：一一般地，对于函数般地，对于函数f(x)f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数，使得当，使得当x x取定义域内的取定义域内的每一个值每一个值时，都有时，都有f(x+T)f(x+T)f(x)f(x)，那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做周期函数非就叫做周期函数非零常数零常数T T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期Sin(x+2k)=)=sinx (k z)sinx (k

3、z)f(x+T)f(x)对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它所有的周期中如果在它所有的周期中存在一个存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正数就，那么这个最小的正数就叫做叫做f(x)f(x)的的 概念解析正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数正弦函数y=sinx(xR)是周期函数，是周期函数，2k(kZ且且k0)都是它的周期。最小正周期是都是它的周期。最小正周期是2。余弦函数余弦函数y=cosx(xR)是周期函数，是周期函数，2k(kZ且且k0)都是它的周期。最小正周期是都是它的周期。最小正周期是2。今后提到的三角函数的周期，如果不加特别今后

4、提到的三角函数的周期，如果不加特别说明说明,一般是指它的最小正周期。一般是指它的最小正周期。?sin24sin)24sin(,sin1的周期是如果成立，能否说成立？是否有）对于函数（xyRxxy:sin()sin,sin()sin.41.,()()()2423.3f xTf xTyf xxx 定定义义是是对对定定义义域域中中的的值值来来说说的的只只有有值值:是是的的周周期期注注意意:每每一一个个个个别别的的满满足足但但是是不不能能说说例例如如 概念辨析(2)由诱导公式由诱导公式 ，是否可是否可以说以说 的周期为的周期为2?xxcos(2)cos33 xycos3本身加的常数才是周期强调等式xx

5、fTxf),()(例例 1.求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)y=3cosx，xR(2)y=sin2x，xRRx)6x21sin(2y)3(，T是相对于自变量是相对于自变量 x 而言的！而言的！学以致用 函函 数数 周周 期期 T=2 T=T=4你能从上面的解答过程你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些周期与解析式中的哪些量有关系吗？量有关系吗？y=)621sin(2xxysin3xy2sin2221212 观察与思考例例 2 求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)y=3cosx，xR(2)y=sin2x，xRRx)6x21sin(2y)3

6、(，20,0,),cos(),sin(TAARxxAyRxxAy）的最小正周期数，且为常、（其中函数及一般地，函数 学以致用1、求下列函数的周期求下列函数的周期:Rxxy,43sinRxxy,4cosRxxy,cos21Rxxy),431sin(（2）（1）（3）（4）当堂检测2sin(),43yx xR3、函数的最小正周期是，求 的值。、设函数、设函数)(Rxxf是以为最小正周期的周期函数，是以为最小正周期的周期函数，的值。和求时且)27()3(,2)(2,0ffxxfx1、周期函数的定义、周期函数的定义注：注：注意定义中注意定义中“每一个值每一个值”的要求的要求 周期函数的周期不唯一周期函

7、数的周期不唯一周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期如果不作特别说明，教科书中提到的周如果不作特别说明，教科书中提到的周期，一般是指最小正周期。期，一般是指最小正周期。2、正弦、余弦函数的最小正周期为、正弦、余弦函数的最小正周期为2 3、求函数周期常用的方法是（）公式法：、求函数周期常用的方法是（）公式法：RxxAyRxxAy),cos(),sin(|2|T函数函数的周期的周期（）定义法（）定义法小结正弦函数的图象正弦函数的图象探探 究究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：你能从它们的图象看出它们有问题：你能从它们的图象看出它们有何何奇偶性奇偶性吗？吗？x22322523yO2

8、3225311x22322523yO23225311 探究新知y=sinxyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx (x R)图象关于原点对称图象关于原点对称 函数的奇偶性是如何定义的？函数的奇偶性是如何定义的？你能从这个角度证明正弦函数你能从这个角度证明正弦函数和余弦函数的奇偶性吗？和余弦函数的奇偶性吗？探究新知奇偶性奇偶性(1)()sin,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ()f x ()sin,f xx xR为为奇奇函数函数(2)()cos,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x()f x()cos,f x

9、x xR为为偶偶函数函数 探究新知正弦函数的单调性及单调区间正弦函数的单调性及单调区间单单 调调 性性x22322523yO23225311x22322523yO2322531125232223,25，、，、当当 在区间在区间上时，上时，x 曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，其其值由值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、，、当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，其其值由值由 减小到减小到 。11正弦函数的单调性正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数的增区间为：正弦函数的增区间为：)(22,22Zkkk其值从其值从1增大到增大到1

10、；正弦函数的减区间为：正弦函数的减区间为：32,2()22kkkZ其值从其值从1减小到减小到1。余弦函数的单调性及单调区间余弦函数的单调性及单调区间x22322523yO23225311x22322523yO23225311 3,2 0 2 3,4、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，其其值由值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，其其值由值由 减小到减小到 。11 2,0 23 、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311其值从其值从1减小到减小到1。其值从其值从1增大到

11、增大到1；余弦函数的增区间为：余弦函数的增区间为：)(2,2Zkkk余弦函数的减区间为：余弦函数的减区间为：)(2,2Zkkk正弦函数的最大值和最小值正弦函数的最大值和最小值x22322523yO23225311最大值和最小值最大值和最小值正弦函数当且仅当x=_ 时取得最大值1，当且仅当x=_ 时取得最小值-1；Zkk,22Zkk,22余弦函数的最大值和最小值余弦函数的最大值和最小值最大值和最小值最大值和最小值x22322523yO23225311余弦函数当且仅当x=_时取得最值1，当且仅当x=_ 时取得最小值-1；Zkk,2Zkk,2;,1cos)1(Rxxy;,2sin3)2(Rxxy例例

12、1.1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量请写出取最大值、最小值时的自变量x x的集合，的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？并说出最大值、最小值分别是什么？学以致用（1）y=cosx+1,xR2,x xkkZy=cosx+1,xRy=cosx，xR使函数 取得最大值的x集合,就是使函数 取得最大值的x的集合解：使函数 取得最小值的x集合,就是使函数 取得最小值的x的集合y=cosx+1,xRy=cosx，xR(21),x xkkZ函数 的最大值是1+1=2，最小值是 -1+1=0y=cosx+1,xR(2)y=-3sin

13、2x,xR令z=2x,使函数y=-3sinz,z R 取得最大值的z的集合是2,2z zkkZ 22zk 由 2x=4k 得 x使函数y=-3sinz,zR 取得最大值的z的集合是x,4xkkZ 同理，使函数y=-3sinz,zR 取得最小值的z的集合是x,4xkkZ函数y=-3sinz,zR 最大值是3，最小值是-3例例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin(),sin()18102317(2)cos(),cos()54 学以致用的单调递增区间。求函数2,2),321sin(.1xxy)(22,22sin,321)1(Zkkkzy

14、xz的单调递增区间是函数令解：得由kxk2232122Zkkxk,43435,2,2A设ZkkxkxB,434353,35BA易知.3352,2),321sin(，的单调递增区间是所以函数xxy变式训练变式训练的单调递增区间吗？你能求Rxxy),213sin(.2的单调递增区间吗？你能求Rxxy),213sin(.2)321sin()213sin(xxy解：因为)(223,22sin,321Zkkkzyxz的单调递减区间是函数令kxk22332122则只需的单调递减区间是所以函数)321sin(xy)(4311,435Zkkk的单调递增区间是所以函数Rxxy),213sin()(4311,43

15、5Zkkk变式训练变式训练.,3cos2)2(;,sin2)1(RxxyRxxy1、求下列函数取得最大值、最小值的自变量的、求下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少？集合，并写出最大值、最小值各是多少？跟踪训练2 2、利用三角函数的单调性，比较下列各组中两、利用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大小。个三角函数值的大小。).863sin()754sin()4(;530cos515cos)3(;914cos815cos2260sin250sin)1(与与与）（；与o正弦曲线：正弦曲线：sin yxxRxy1-1 最高点：最高点：(2,1)2 kkZ最

16、低点：最低点：(2,1)2 kkZ单调性：单调性：在区间在区间 上是增函数上是增函数2,2,22kkkZ在区间在区间 上是减函数上是减函数32,2,22kkkZ最值：最值：22xk当当 时，时，max1y22xk min1y 当当 时，时，课堂小结对称性：对称性：对称轴：对称轴：,xkkZ对称中心：对称中心：(,0)2 kkZ奇偶性：奇偶性：偶函数偶函数余弦曲线：余弦曲线：cos yxxRxy1-1 余弦曲线：余弦曲线：cos yxxRxy1-1 最高点：最高点：(2,1)kkZ最低点：最低点：(2,1)kkZ单调性：单调性：在区间在区间 上是增函数上是增函数2,2,kkkZ在区间在区间 上是减函数上是减函数2,2,kkkZ 最值：最值：当当x=2k 时，时，max1ymin1y 当当x=k 时，时，