五章节留数及其应用课件.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《五章节留数及其应用课件.ppt》由用户(晟晟文业)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 章节 及其 应用 课件
- 资源描述:
-
1、张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程主讲:主讲:郑修才郑修才Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数
2、不解析的点称为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.11e0.zzz例如函数和都以为孤立奇点函数的奇点并非都是孤立的.例如 z=0 是函数 1()sin 1f zz的非孤立奇点。换句话说,在 z=0 的不论怎样小的去心邻域内总有 f(z)的奇点存在.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 将函数 f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式中所含负幂项的不同情况
3、对孤立奇点分类如下:1.可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则称孤立奇点z0为 f(z)的可去奇点.f f(z z)=)=c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.+)+.+c cn n(z z-z z0 0)n n+.,0|+.,0|z z-z z0 0|d d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f(z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.00000lim(),lim()zzzzf zcf zcf z显然可补充定义Complex Analysis and Integral TransformComplex
4、Analysis and Integral Transform3524sin00sin11111()13!5!3!5!sin.01,sin0.zzzzzzzzzzzzzzzzzz 例如 是的可去奇点。因为函数在的去心邻域内的洛朗级数中不含负幂项如果定义在 的值为则在点便为解析的了Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform2.2.极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个如果在洛朗级数中只有有限多个z z-z z0 0的负幂项的负幂项,且其中关于且其中关于(z z-z z0 0)-1 1
5、的最高幂为的最高幂为 (z z-z z0 0)-m m,即即f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2 2(z z-z z0 0)-2 2+c c-1 1(z z-z z0 0)-1 1+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.()+.(m m 1,1,c c-m m 0),0),则则称称孤立奇点孤立奇点z z0 0为函数为函数 f f(z z)的的m m级极点级极点.上式也可写成上式也可写成:01()()*(-)mfzg zzz,()其中其中 g g(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0 0)+)+
6、c c-m m+2+2(z z-z z0 0)2 2+.,+.,在在|z z-z z0 0|d d 内是解析的函数内是解析的函数,且且 g g(z z0 0)0.0.反过来反过来,当任何一个函数当任何一个函数 f f(z z)能表示为能表示为(*)的形式的形式,且且g g(z z0 0)0 0 时时,则则z z0 0是是 f f(z z)的的m m级极点级极点.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform如果如果z z0 0为为 f f(z z)的极点的极点,由由(*)式知式知0li
7、m().zzf z 232,(),(1)(1)1,.zf zzzzzi 例如 对有理分式函数是它的三级极点是它的一级极点310zezz思考:是的几级极点?(展洛朗级数判)0()zf zm为的 级极点0lim()().zzf z,不存在但为01()()(-)mfzg zzzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.1112()0.1112!znzf zezezzzn例如以为它的本性奇点
8、因为有无穷多负幂项。0()zf z为的本性奇点0lim()().zzf z不存在 也不为0limz1z例如e 不存在且不为.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform综上所述:000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzf zf zzf zf zzf zf z 如果 为的可去奇点存在且有限如果 为的极点如果 为的本性奇点不存在且不为我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.Complex An
9、alysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 ,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.0mf zzzz()()()z()0z()0Complex Analysis and
10、Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 因为,若 f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+,易证 z0是 f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0,cm0,等价于 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。例如 z=1是f(z)=z31的零点,由于 f(1)=3z2|z=1=3 0,从而知z=1是f(z)的一级零点.0mf zzzz()()()Complex Analysis and I
11、ntegral TransformComplex Analysis and Integral Transform000001|()|,|,211|()()|()|,|()|()|.22zzzzzzzz必存在当时 有由此得 所以 在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.0mf zzzz()()()由于 中的 在z0解析,且 故 必在z0连续,所以给定0mf zzzz()()()z()0z()0z()Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform该定理为判断函数的极点
12、提供了更为简单的判别方法.001()()zf zmzmf z定理:是的 级极点是的 级零点1284推论 及推论 见教材PComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform!211)(11mzzzzfmn01zn为阶极点.)0(12keikzz的一阶零点为2()(0).zk if zk为的一阶极点()(0)1nzzf zne例2求的极点。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform
13、例例3 3为解析点;0:0zm为可去奇点;0:1zm)!1(!21)(:112mzmzzzzzfmmmm)!1(!11!21111mzmzzmm01zm为阶极点。mzzezf1)(对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。处的性态。mZ0z Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform5.2 5.2 留数留数1.1.留数的定义留数的定义 如果函数如果函数f f(z z)在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析,那么根据柯西积分定理那么根据柯西积分定理()0.Cf z dz ()C
14、f z dz 但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform.2d)(1iczzfC两端沿C逐项积分:1010010nnf zcz zcz zcc z z()()()()00|nnc z zzR+(),1LaurentC即是积分过程中唯一残留下来的系数,为此1()2Cf z dzi 定义定义 0000()(),0|,z
15、zf zCzzz 设是的孤立奇点为去心邻域内任一条围绕 的正向简单闭曲线 则称积分Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformDz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则1()d2Res(),.nkkCf zzif z z 0001()R es(),1R es(),()2Cfzzfzzfzzfz d zci 为在的 留 数,记 作,即2.留数定理留数定理Complex
16、 Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform证明证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有12()d()()().nCCCCf zzf z dzf z dzf z dz121()dRes(),Res(),Res(),2nCf zzf z zf z zf z zi1()d2 Res(),.nkkCf zzif zz 即注意检查定理中的条件要满足。例如211lnzdzz求积分不能应用留数定理。Complex Analysis and I
17、ntegral TransformComplex Analysis and Integral Transform 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可.但如果知道奇点的类型,对求留数会更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0 是本性奇点,则只好将其展开成洛朗级数.如果z0 是极点,则有如下规则:Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform3.(3.(极点极点)留数的计算规则留数的计算规
18、则000Res(),lim()()zzf z zzzf z010011Res(),lim()()(1)!mmmzzdf z zzzf zmdz规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m级极点级极点,则则事实上事实上,由于由于f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2 2(z z-z z0 0)-2 2+c c-1 1(z z-z z0 0)-1 1+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.,)+.,(z z-z z0 0)m m f f(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0
19、0)+.+)+.+c c-1 1(z z-z z0 0)m m-1 1+c c0 0(z z-z z0 0)m m+.,+.,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的一级极点的一级极点,则则Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform101001()()(1)!(1)3 2()mmmdzzf zmcc m mzzdz令令 z zz z0 0,右端的极限是右端的极限是(m m-1)!1)!c c-1 1,两端除以两端除以(m m-1)!1)!就是就是ResResf
20、f(z z),),z z0 0,即得即得规则规则2 2,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform即得 规则规则3 3。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 1
21、 计算积分21zCzedzz ,C 为正向圆周|z|=2.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform由规则1,得211eeeRes(),1lim(1)lim112zzzzzzf zzzz1211eeeRes(),1lim(1)lim.112zzzzzzf zzzz12eeed2()2 ch1122zCzziiz 因此我们也可以用规则3来求留数:111eeeeRes(),1;Res(),1.2222|zzzzzzf zf zzz比用规则比用规则1 1更简单更简单!Complex An
22、alysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 2 计算积分41Czdzz ,C 为正向圆周|z|=2.),(Res),(Res 1),(Res 1),(Res2d14izfizfzfzfizzzC.324()11111,2 ()0.()4414444CP zzzdziQ zzzz 由规则3故Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例3 计算积分2(1)zCedzz z,C为正向圆周|z|
展开阅读全文